Transcript Pitagóricos - IHMC Public Cmaps

Grecia
Matemáticas
2010-1
http://www.usu.edu/markdamen/ClasDram/images/05/mapAthens&Sparta.jpg
Dieudonné, J Mathematics the Music of Reason
SpringerBerlín, 1998
Heath, Sir Thomas The thirteen books of Euclid's
Elements translated from the text of Heiberg with
introduction and commentary. Cambridge,
University Press 1908. Dover NY, 1956.
Heath, T A History of greek Mathematics. Dover
NY 1981
Kline, M. Mathematicas Thought form Ancient to
Modern Times Oxford University Press 1972
http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/Indexes/Greeks.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/ele
ments/toc.html
http://www.perseus.tufts.edu/hopper/
http://www.arrakis.es/%7Emcj/teorema.
htm
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html
Siglo VIII AC
Cambio, desplazamiento de los centros de
actividad “cultural”: Mesopotamia, Egipto
hacia el Mediterráneo
Alfabeto griego se difunde por el comercio y
la fundación de colonias
Pensadores griegos viajan a Egipto y
Mesopotamia
S VII desarrollo de la literatura
SVI Tales y Pitágoras
Principales períodos
Clásico 600 AC – 300 AC
Alejandrino 300AC – 400DC
Principales “temas”
Aritmética
Geometría
Lógica
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html
Principales Escuelas Período Clásico
600 AC – 300 AC
Mileto 650 -550 : Tales, Anaximandro,
Anaxímenes
Pitagóricos 580 – 400 Pitágoras, Filolaus
Heráclito 500
Eliática 550 – 450 Jenófanes, Parménides,
Zenón,
Sofistas 450 - 400
Platónica 400
Eudosio 360
Aristotélica 340
Principales períodos
Alejandrino 300AC 400DC
Euclides
Aristarco,
Hipatia,
Pappus,
Arquímedes
Diofanto,
Herón,
Ptolemeo,
Apolonio,
Eratóstenes,
Menelao,
Teón …
Centro: Biblioteca de Alejandría
642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!
Período clasico: 600AC - 300AC
Escuela Jónica, Tales de Mileto, 600AC
Escuela Pitagórica, sur de Italia, 550AC
Academia de Platón, Atenas, 400AC
Liceo de Aristóteles, Atenas, 350AC
Personajes Matemáticos
Griegos
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Thales 600 AC
Pitágoras SVI AC
Euclides 300 AC
Arquímedes 250 AC
Apolonio 250 AC
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kapitoli
nischer_Pythagoras_adjusted.jpg
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Thales
Altura de la Pirámide
Teorema de Thales
Proporcionalidad
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Pitagóricos (S V AC)
Abstracción
Ternas pitagóricas, primos, progresiones
Números Inconmensurables
Números
Geometría
FORMA !!!
Problema 1:
Dadas dos figuras, determinar si tienen o no
la “misma forma”
Problema 2:
Dada una figura, dibujar otra con la “misma
forma”. Ampliar o comprimir una figura
Mapas, planos, maquetas, prototipos, …
Diseño!!!
http://thalesmachine.com/Quickstart/ImageLib/Thales_
theorem_1.png
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Thales%
27_Theorem_Simple.svg
-Si las figuras son triángulos
Tales, 600AC, Euclides, 300AC.
-Si las figuras son
polígonos
Libro VI Prop. 20.
Polígonos semejantes se
dividen en triángulos
semejantes...,
Triángulos semejantes si
y solo si ángulos
correspondientes
iguales, si y solo si lados
correspondientes
proporcionales.
-Si son figuras rectilíneas
Libro VI Def 1.Figuras rectilíneas similares son
aquellas que tienen los ángulos
correspondientes iguales y los lados respectivos
proporcionales.
K=1.5
Pitagóricos: (S V AC)
Pitágoras (Samos ca 570)
Todo es número
La armonía musical depende de razones
numéricas particulares: 2:1, 3:2, 4:3
La música de las esferas
Estudio de razones y proporciones entre
números
Pitagóricos:
Reconocen las matemáticas como ideas y objetos
abstractos. Aritmética ligada a la geometría.
Triplas pitagóricas: m, (m2 - 1)/2 y (m2 + 1)/2,
soluciones a: x2 + y2 = z2
Ej 5, 12, 13
La suma de los números impares
consecutivos da un número cuadrado:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Matemáticas, Música, Astronomía
Números Triangulares
1
3
6
10
La suma de dos números
triangulares consecutivos
es un número cuadrado:
3+6=9, 6+10=16
Inconmensurables
Mesurables
Si tengo dos longitudes y puedo
encontrar una tercera con la cual pueda
medirlas a ambas.
Problema: la diagonal y el lado
de un triángulo rectángulo isósceles
son inconmensurables.
Problema: discreto (cantidades) vs
continuo (longitudes)
Zenon (450AC)
Visión del espacio tiempo:
Infinitamente divisible: movimiento
continuo
Formado por pequeños intervalos
indivisibles: movimiento sucesión de
pequeños saltos
Tarea
Averigüe acerca de uno de los sgtes temas.
Envíeme un comentario a más tardar el
próximo viernes antes del medio día.
-Paradojas de Zenón?
Qué dicen las paradojas de Zenón? En qué
contexto se formularon? Qué nos dicen hoy?
-Influencia de Aristóteles o de Platón en la
historia de las matemáticas
-Nacimiento, influencia y muerte de la
Biblioteca de Alejandría
-Eratóstenes, medición del radio de la tierra
Platón (400AC)
… la aritmética tiene un efecto
magnífico, eleva la mente y la
impulsa a razonar sobre
números abstractos y la rebela
contra la introducción de
objetos tangibles o visibles en
los argumentos
Período
Alejandrino 300AC 400DC
Euclides
Aristarco,
Hipatia,
Pappus,
Arquímedes
Diofanto,
Herón,
Ptolemeo,
Apolonio,
Eratóstenes,
Menelao,
Teón …
Centro: Biblioteca de Alejandría
642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!
Período Alejandrino 300AC – 400DC
Euclides, Alejandría 300AC:
Los Elementos
Arquímedes, Alejandría 250AC Método
exhaustivo
Período Alejandrino 300AC – 400DC
Arquímedes, Alejandría 250AC Método
exaustivo
Diofanto 250 AC Ecuaciones diofantinas.
Álgebra, sin depender de la geometría.
Hiparcus, Menalao y Tolomeo: 120AC
Trigonometría
Alejandría
Fundada por Alejandro Magno en 332 AC se
convirtió en el centro cultural del mundo antiguo.
Ptolomeo I mandó construir el gran palacio y su hijo,
el edificio conocido como El Museo, santuario de las
Musas, diosas de las artes y las ciencias. En él
estaba la biblioteca, un jardín botánico, zoológico,
observatorio…
Había habitaciones para sabios y estudiantes
Atrae estudiosos y documentos de todo el mundo:
de Grecia, Egipto, Mesopotamia, India, Persia,…
Traducen y guardan toda la ciencia conocida!
Cómo terminó??
Algunos sabios que pasaron por allí
Euclides, quien desarrollo allí su Geometría,
Arquímedes, científico y matemático, met. exhaustivo
Hiparco quien desarrollo la trigonometría,
Aristarco, que defendió el sistema heliocéntrico,
Eratóstenes, quien se dedicó a la geografía y
consiguió medir la circunferencia terrestre con un error
inferior al 1%,
Herófilo de Calcedonia un fisiólogo que llegó a la
conclusión de que la inteligencia está en el cerebro y
no en el corazón,
Apolonio de Pérgamo , quien estudió las cónicas,
Herón de Alejandría, inventor de engranajes.
Posteriores al S II DC
Ptolomeo Claudio, 100-178 quien escribiò El
Almagesto, Teoría geocéntrica, astrónomo y
geógrafo
Galeno, (130- 200) quien escribió sobre
anatomía
Pappus de Alexandria (c. 320) geómetra
Theon de Alexandria (c. 390) y su hija
Hypatia de Alexandria (c. 370-415) escribieron
una versión de los Elementos de Euclides
Proclus (412 – 485) Filosofo neo-platònico
Elementos de Euclides
Euclides 325 - 265
Alejandría
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java
/elements/toc.html
Fragmento de Los Elementos, libro II ca 100AC
http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/tha.jpg
Los Elementos
Anterior al 450 AC, tradición oral
Primeros escritos en rollos de papiro.
Frágiles, corta vida
Hay que copiarlos repetidamente, se
introducen errores, cambios, adiciones
S II DC
aparecen los primeros códices, primero de
papiro, luego de pergamino
Letras: Pasan de mayúsculas sin separación
entre palabras a minúsculas, con separación
Los Elementos Acerca del libro.
Copia más antigua actual: Manuscrito de 888DC,
(cerca de 1200 años después de ser escrito)
Escrito en minúsculas, por el escriba Stefanusa a
solicitud del Aretas, obispo de Cesarea, Capadocia
(hoy en Turquía ) para la biblioteca de libros
religiosos y matemáticos. Contiene anotaciones.
Hay fragmentos de manuscritos del 225AC
Hay aluciones a Los Elementos en textos más
antiguos.
Los Elementos Acerca del libro.
Muchos de los manuscritos se basan en la versión
de Teón y su hija Hipatias, Alejandría SIV DC
Primeras versiones conocidas en Europa en la edad
media: (Adelard de Bath, 1120) traducciones al latín
del árabe, de la versión de Teón
Uno de los libros más importantes en la historia de la
humanidad.
Junto con la Biblia, de los primeros impresos y con
mayor número de ediciones.
Texto de educación básica por 2000 años!
Iluminación de la
letra P.
Parte del texto de los
Elementos traducido
al latín del árabe por
Adelardo de Bath
ca 1300
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid's_Elements
Palimpsesto de un texto
de Arquímedes, copiado
en el siglo X por un
monje en Constantinopla.
Descubierto en 1899 en
Estambul
En el SXII borran y
escriben encima textos
religiosos. Libro de
174pgs de 20 cm por 15.
Contiene 4 trabajos de
Arquímedes: Cuerpos
que Flotan, Métodos de
Teoremas Mecánicos.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Greek_sources_1.html
EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)
Vivió en la época de Ptolomeo primero,
porque Arquímedes, que vivió después
del primer Ptolomeo menciona a
Euclides.
http://www.fisicanet.co
m.ar/biografias/cientific
os/e/img/euclides.jpg
También se cuenta que Ptolomeo le
preguntó una vez Euclides si no había
un camino más corto a la geometría que
a través de los Elementos y Euclides
respondió que no había ningún camino
real a la geometría. Era por lo tanto
posterior al grupo de Platón, pero
anterior a Eratóstenes y Arquímedes,
que eran contemporáneos.
EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)
Euclides reunió en “Los Elementos”, la sistematización
de muchos de los teoremas de Eudoxio, perfeccionò
muchos de los de Teeteto, y puso en forma de
demostraciones irrefutables, proposiciones que había
sido más bien vagamente establecidas por sus
predecesores.
Euclides estaba a gusto con las ideas filosóficas de
Platón y es por eso que pensaba que el objetivo de los
elementos en su conjunto era la construcción de los
llamados sólidos platónicos.
Euclides 300AC
Los Elementos
A partir de 23 definiciones, 5 postulados y 5
nociones comunes,
prueba 465 proposiciones
Libro V: Proporciones, razones entre
inconmensurables
Libro VI: Semejanza
Libros VII, VIII y IX: teoría de números.
Propiedades de enteros y razones
Libro X, inconmensurables
Ejemplo: Elementos de Euclides, libro 2 prop 6:
Si un segmento (FE) es bisectado (I) y se le agrega
un segmento en linea recta (ED), entonces el
rectángulo formado por el total con el segmento
agregado y el segmento agregado, junto con el
cuadrado de la mitad (AD+FH) es igual al
cuadrado formado por la mitad y el segmento
agregado (SC).
Resolver,
completando el cuadrado,
la ecuación
x2 + bx = n,
(x + b)x +(b/2)2 = (x + b/2)2
= n +(b/2)2
Elementos de Euclides
Teorema de Pitágoras
Libro I Proposición 47
En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado
opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los
cuadrados de los lados que comprenden el ángulo
recto.
Libro I Proposición 48
Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados
es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados del triángulo, entonces el ángulo
comprendido por los otros dos lados del triángulo
es recto.
Libro 1 proposición 47 y 48
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem2.svg
Prueba del Teorema de Pitágoras
atribuida a los Pitagóricos
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pythagorean_proof_(1).svg
Otras pruebas del Teorema de Pitágoras
Bhaskara India (1114-1185)
Leonardo da Vinci.
Ideas Griegas
Búsqueda explicación racional de la naturaleza
Relación entre las matemáticas y la naturaleza.
Pitagóricos, la naturaleza está regida por relaciones
numéricas
Creación de las matemáticas como ciencia abstracta,
basada en el razonamiento deductivo
Estudio de la lógica, leyes del razonamiento, reflexión
acerca de cómo razonar
Fundamento de la verdad, pasa del experimento
a la no contradicción.
Griegos:
Énfasis en el poder de la mente
Matemáticas como una manera de
predecir y describir la naturaleza ( o
como su estructura misma!)
Universo diseñado, inteligible y
controlado por leyes matemáticas
Dificultades:
Sistema de numeración: Base 10 pero no
notación de posición. Letras como números.
En el período alejandrino usaron para los
fraccionarios los sexagesimales de los babilonios.
Solo aceptan racionales positivos, lo que pesó
sobre occidente por siglos. De ahí el uso de la
geometría para manipular ideas algebráicas.
Restricción geométrica a la regla y el compás,
para garantizar la existencia.
Evitar el infinito
Problemas:
• Cuadratura del círculo
• Trisección del ángulo
• Duplicación del cubo
• V Postulado, Postulado?
Problemas:
• No aceptar los irracionales
• Uso de la geometría para probar
afirmaciones aritméticas
• Infinito potencial – actual
• Falta fundamentación a los
números
Otras pruebas del Teorema de Pitágoras
Chou Pei China (aprox. 300 a.C.).
Kou Ku
lado más corto (kou)
el más largo (ku)