Transcript INFINITOS NÚMEROS PRIMOS
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INFINITOS NÚMEROS PRIMOS:
DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES
Um exemplo interessante envolvendo números
primos é a demonstração criativa e simples
encontrada por Euclides de Alexandria (século II
a.C), em um de seus 13 volumes de sua famosa
obra “Os Elementos” para demonstrar que o
conjunto dos números primos era INFINITO.
Professor Ilydio Pereira de Sá
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
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Euclides usou o método de “redução ao
absurdo” e sua demonstração é
considerada uma das mais belas de
todos os tempos. Vejamos como foi esta
demonstração:
Vamos partir da suposição de que existe
um número finito de números primos. Se
isso for verdade, então deve existir um
último número primo. Seja x este
número. A sequência de números primos
até o x é a seguinte:
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
x (SUPOSTO ÚLTIMO)
Depois disto Euclides imaginou um número composto muito
grande formado pelo produto de todos os números primos, do
primeiro ao “último”, ou seja:
N 2.3.5.7.11
.13.17. ... .x
Verificamos que tal número, assim construído, seria um número
composto, já que seria divisível por 2, por 3, por 5, por 7, ...
Euclides imaginou ainda um outro número, maior do que
N, e é claro que maior do que x, definido por M = N + 1. É
claro que este número M não é divisível por qualquer
dos números primos de 1 até x, pois deixaria resto 1 ao
ser dividido por 2, por 3, por 5, por 7, .....por x (que
supostamente seria o “último” primo).
Slide 4
Temos então aqui duas possibilidades: ou M é primo
(e maior que x) ou é composto e seus fatores primos
são maiores que x. Em ambos os casos temos uma
contradição com o fato de x ser o último número
primo, o que comprova a nossa hipótese.
Assim, de forma relativamente simples e bastante
criativa, Euclides provou, por redução ao absurdo,
que o conjunto dos números primos é infinito.
Slide 5
Para alunos do Ensino Fundamental ou Médio, seria
interessante completar a demonstração com alguns
exemplos:
Para x = 7, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 + 1 = 211 (primo)
Para x = 11, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 + 1 = 2311 (primo)
Para x = 13, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 . 13 + 1 = 30031
(composto). Veja, 59 x 509 = 30031.
Com esses exemplos, o aluno perceberia que a
expressão criada por Euclides pode gerar números
primos (maiores que x) ou números compostos que
possuem fatores primos também maiores que x.
INFINITOS NÚMEROS PRIMOS:
DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES
Um exemplo interessante envolvendo números
primos é a demonstração criativa e simples
encontrada por Euclides de Alexandria (século II
a.C), em um de seus 13 volumes de sua famosa
obra “Os Elementos” para demonstrar que o
conjunto dos números primos era INFINITO.
Professor Ilydio Pereira de Sá
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Slide 2
Euclides usou o método de “redução ao
absurdo” e sua demonstração é
considerada uma das mais belas de
todos os tempos. Vejamos como foi esta
demonstração:
Vamos partir da suposição de que existe
um número finito de números primos. Se
isso for verdade, então deve existir um
último número primo. Seja x este
número. A sequência de números primos
até o x é a seguinte:
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
x (SUPOSTO ÚLTIMO)
Depois disto Euclides imaginou um número composto muito
grande formado pelo produto de todos os números primos, do
primeiro ao “último”, ou seja:
N 2.3.5.7.11
.13.17. ... .x
Verificamos que tal número, assim construído, seria um número
composto, já que seria divisível por 2, por 3, por 5, por 7, ...
Euclides imaginou ainda um outro número, maior do que
N, e é claro que maior do que x, definido por M = N + 1. É
claro que este número M não é divisível por qualquer
dos números primos de 1 até x, pois deixaria resto 1 ao
ser dividido por 2, por 3, por 5, por 7, .....por x (que
supostamente seria o “último” primo).
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Temos então aqui duas possibilidades: ou M é primo
(e maior que x) ou é composto e seus fatores primos
são maiores que x. Em ambos os casos temos uma
contradição com o fato de x ser o último número
primo, o que comprova a nossa hipótese.
Assim, de forma relativamente simples e bastante
criativa, Euclides provou, por redução ao absurdo,
que o conjunto dos números primos é infinito.
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Para alunos do Ensino Fundamental ou Médio, seria
interessante completar a demonstração com alguns
exemplos:
Para x = 7, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 + 1 = 211 (primo)
Para x = 11, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 + 1 = 2311 (primo)
Para x = 13, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 . 13 + 1 = 30031
(composto). Veja, 59 x 509 = 30031.
Com esses exemplos, o aluno perceberia que a
expressão criada por Euclides pode gerar números
primos (maiores que x) ou números compostos que
possuem fatores primos também maiores que x.