Transcript Divisibilidad DIVISIBILIDAD Matemáticas 1º ESO Index 1. Múltiplos y divisores de un número 2. Cálculo de todos los divisores de un número 3.

Divisibilidad
1
DIVISIBILIDAD
Matemáticas
1º ESO
Index
1. Múltiplos y divisores de un número
2. Cálculo de todos los divisores de un número
3. Criterios de divisibilidad
4. Números primos y compuestos
5. Descomposición de un número en factores primos
6. Máximo común divisor de varios números
7. Mínimo común múltiplo de varios números
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Divisibilidad
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Recuerda. Multiplicación y división
Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas.
54 : 6 = 9
54 = 6 × 9
54 : 9 = 6
Una división exacta proporciona:
Un producto.
Otra división exacta.
18 = 3 × 6
18 : 3 = 6
18 : 6 = 3
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Divisibilidad
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Observa:
Esta división es exacta
Múltiplos y divisores
35 7
0 5
Decimos que 7 es divisor de 35. También decimos que 35 es múltiplo de 7.
Esta división no es exacta
47 9
2 5
Así que 9 no es divisor de 47. También decimos que 47 no es múltiplo de 9.
Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras:
· Dividiendo el mayor entre el
· Escribiendo el segundo número
menor:
como producto del primero por
otro número.
7 es divisor de 56
7 es divisor de 56
porque la división
porque
56 : 7 es exacta
56 = 7 × 8
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Divisibilidad
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Como sabes:
11 = 55
Múltiplos de un número
5·0=0
5 · 2 = 10
5 · 7 = 35
5·
Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro
número que es múltiplo de 5.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando
ese número por los números naturales
Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7)
44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4
44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número
natural no da 44
0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15,
pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ...
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0 es múltiplo de
todos los números
Divisibilidad
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Divisores de un número
44 dividido entre 11 da 4
Se dice que 11 es divisor de 44
44 : 5 no es exacta
5 no es divisor de 44
Un número es divisor de otro cuando la división del segundo
por el primero es exacta.
Observa:
44 : 4 = 11
44 = 4 · 11
44 = 4 · 11
4 es divisor de 44 (También 11 es divisor de 44)
44 es producto de los factores 4 y 11
44 es múltiplo de 4 y de 11
Divisor y factor significa lo mismo.
Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
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Divisibilidad
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Cálculo de los divisores de un número (I)
Vamos a calcular todos los divisores de 66.
Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es
exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores.
66 1
06 6 6
0
Divisiones exactas:
66 : 1 = 66
66 : 66 = 1
Divisores: 1 y 66
66 5
16 1 3
1
No es exacta:
5 no es divisor
66 2
06 3 3
0
Divisiones exactas:
66 : 2 = 33
66 : 33 = 2
Divisores: 2 y 33
66 6
06 11
0
Divisiones exactas:
66 : 6 = 11
66 : 11 = 6
Divisores: 6 y 11
66 3
06 2 2
0
Divisiones exactas:
66 : 3 = 22
66 : 22 = 3
Divisores: 3 y 22
66 7
3 9
No es exacta:
7 no es divisor
66 4
26 1 6
2
No es exacta:
4 no es divisor
66 8
2 8
No es exacta:
8 no es divisor
FIN
Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor.
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Los divisores o factores de 66 son: D (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}
Divisibilidad
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Cálculo de los divisores de un número (III)
Un número puede tener varios divisores
Compruébalo
Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Para hallar todos los divisores de un número:
Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1.
Se termina cuando se repitan los factores.
Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
Ejemplo:
45 = 1 · 45
1 y 45 son factores
45 = 3 · 15
45 = 5 · 9
45 = 9 · 5
3 y 15 son factores
5 y 9 son factores
Se repiten los factores
Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45
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Divisibilidad
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Criterios de divisibilidad
Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6.
También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8.
¿Sabes si 29058 es divisible por 3?
¿Habría que dividir?
No es necesario, pues la suma de las cifras
de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3
Esto es un truco,
que llamamos
criterio.
Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer,
sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.
Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un
número en sus factores primos.
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Divisibilidad
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Cálculo de los divisores de un número (II)
Para calcular todos los divisores de un número:
Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente,
de menor a mayor.
Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores.
El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor.
Para practicar hallemos todos los divisores de 45.
45 1
05 4 5
0
Divisores: 1 y 45
45 5
0 9
Divisores: 5 y 9
45 2
05 2 2
1
45 3
15 1 5
0
45 4
05 11
1
2 no es divisor
Divisores: 3 y 15
4 no es divisor
45 6
3 7
45 7
3 6
6 no es divisor
7 no es divisor
FIN
Los
divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}
06.11.15
Terminamos porque
el cociente (6) es menor
que el divisor (7)
Divisibilidad 10
Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
Observa: 438 = 43 · 10 + 8
10 es divisible por 2, por 5 y por 10
Luego, 438 será divisible por
2, por 5 o por 10 si lo es 8
Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2.
Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es.
Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado
por la cifra de las unidades. Luego:
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplos:
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1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10.
10395 es divisible por 5.
280 es divisible por 10, y por 5, y por 2.
232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
Divisibilidad
11
Por 3:
Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 3.
Ejemplos:
Por 9:
Ejemplo:
Criterios de divisibilidad por 3 y por 9
a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es
1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3.
b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 9.
5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es
5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9.
Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3;
lo contrario no siempre es cierto.
50067 es divisible por 9 (y por 3).
78105 es divisible por 3, pero no por 9
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Divisibilidad 12
Divisibilidad por 11
La división 44968 : 11 es exacta.
44968 es múltiplo de11.
Distingamos en 44968 las cifras que ocupan lugares pares y las que
ocupan lugares impares: 4 4 9 6 8
Las cifras que ocupan lugares impares suman: 4 + 9 + 8 = 21
21 – 10 = 11
Las cifras que ocupan lugares pares suman: 4 + 6 = 10
Para saber si un número es divisible por 11:
Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares
y los impares en la escritura del número.
Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número
dado es divisible por 11.
Ejemplo:
709181
709181 es múltiplo de 11, pues:
Cifras que ocupan lugares pares: 7 + 9 + 8 = 24
Cifras que ocupan lugares impares:
0+1+1=2
Diferencia:
24 - 2 = 22
Como 22 es múltiplo de 11, el número 709181 también lo es.
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Divisibilidad 13
Divisibilidad por 7
Ejemplo:
2058
Seleccionamos el último dígito del número (8) y lo multiplicamos
por 2
8 x 2 = 16
El resultado (16) se lo restamos a la parte no utilizada del número
205 – 16 = 189
Seleccionamos el último dígito del número (9) y lo multiplicamos
por 2
9 x 2 = 18
El resultado (18) se lo restamos a la parte no utilizada del número
18 – 18 = 0
Si el resultado final de las restas es 0 o múltiplo de 7;
El número será divisible por 7
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Divisibilidad 14
Números primos y compuestos (I)
¿De cuántas maneras se pueden colocar 17 canicas en bolsas, de modo que en
cada bolsa haya el mismo número de canicas?
Hallamos todos los divisores de 17:
17 1
17 2
17 3
17 4
0 17
1 8
2 5
1 4
Sólo tiene dos divisores: 1 y 17.
Colocamos las 17 canicas en 1 bolsa o en 17 bolsas con 1 canica en cada una.
Se dice que 17 es un número primo.
Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores.
2, 7, 11 … son números primos.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
4, 6, 24 … son números compuestos.
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¿Cuántos divisores tiene 1?
Sólo uno, así que ni es primo ni compuesto.
Es un caso especial.
Divisibilidad 15
Números primos y compuestos (II)
Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45
En cambio:
17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17.
43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43
Cuando un número tiene solamente
dos divisores se llama primo.
Los números 17 y 43
son primos.
Cuando un número tiene más de dos
divisores se llama compuesto.
45 y 18 son números
compuestos
Los primeros números primos son:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103 107 109
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Divisibilidad 16
Escribir un número como producto de primos
Por divisiones sucesivas
Vamos a escribir el número 45 como producto de sus divisores o factores primos.
Se divide 45 por el menor número primo que
haga la división exacta: 45 : 3 = 15.
Se divide 15 por el menor número primo que
haga la división exacta: 15 : 3 = 5.
Se divide 5 por el menor número primo que
haga la división exacta: 5 : 5 = 1.
Se acaba cuando el cociente da 1.
Otro ejemplo:
Escribir 60 como
producto de factores
primos.
Luego: 60  2 2  3  5
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60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 3
15 3
5 5
1
45  32  5
A la derecha de la raya vertical
quedan todos los factores
primos.
Divisibilidad 17Descomposición de un número en sus factores primos
Comprueba que 360 = 23 · 32 · 5
2, 3 y 5 son los factores primos de 360.
Descomponer un número en factores primos es
expresarlo como producto de factores primos.
Disposición
práctica
Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos:
132 = 2 · 66 = 2 · 2 · 33 = 2 · 2 · 3 · 11 =
22
· 3 · 11
66 = 2 ·33
33 = 3·11
Para descomponer un número en factores primos:
Se divide el número por un factor primo.
Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se
repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los
que se ha ido dividiendo.
06.11.15
132
66
33
11
1
2
2
3
11
A la derecha de la
raya vertical
quedan todos los
factores primos
Divisibilidad 18
Divisores comunes a varios números
Consideremos los números 24 y 60.
Vamos a calcular los divisores de ambos:
Divisores de 24:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores de 60:
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Los divisores comunes a 24 y 60 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Para hallar los divisores comunes a dos o más números:
Se hallan los divisores de cada número.
Se toman los comunes.
Observa: El número 1 es divisor de todos los números.
Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único
divisor común es el 1. 3 y 19 son primos entre sí.
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Divisibilidad 19
El máximo común divisor de varios números
Calculamos los divisores comunes a 36 y 24
Divisores de 36:
Divisores de 24:
D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores comunes (36, 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
El mayor de estos divisores comunes es 12. Por eso a 12 se le llama
máximo común divisor de 36 y 24.
Se escribe así: m.c.d. (36, 24 ) = 12
El máximo común divisor de varios números es el mayor de
los divisores comunes.
Suele designarse abreviadamente por m.c.d.
Otro ejemplo:
Calculemos el m.c.d. (45, 60)
D (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
06.11.15
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
m.c.d. (45, 60) = 15
Divisibilidad 20
El máximo común divisor. m.c.d.
Consideremos los números 30 y 18.
Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30
Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18
El mayor de ellos es el 6.
El máximo común divisor de varios números
es el mayor de sus divisores comunes.
Divisores comunes son:
1, 2, 3 y 6
Escribimos: m.c.d. (30 y 18) = 6
Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos:
30 = 2 · 3 · 5
18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es.
2·3=6
El máximo común divisor de varios números es igual al producto
de los factores primos comunes elevados al menor exponente.
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Divisibilidad 21 Cálculo del máximo común divisor de varios números
Calculemos los divisores comunes a 36 y 24 a partir de la expresión de cada
número como producto de primos.
36  2  2  3  3  2 2  32
24  2  2  2  3  23  3
22 y 3 son divisores comunes a 36 y 24.
2
Luego 2  3 también es factor común a 36 y 24.
2 2  3 es el mayor de los divisores comunes a 36 y 24.
2
m.c.d. (36, 24 ) = 2  3  12
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
Se escribe cada número como producto de sus factores primos.
El máximo común divisor es igual al producto de los factores
primos comunes elevados al menor exponente.
Otro ejemplo:
Calculemos el m.c.d. (20, 90, 600)
Factores comunes: 2 y 5
20  2  2  5  2 2  5
2
Menor exponente: 1
90

2

3

3

5

2

3

5
06.11.15
m.c.d. (20, 90, 600) = 2 x 5 = 10
600  2  2  2  3  5  5  23  3  52
Divisibilidad 22
El mínimo común múltiplo. m.c.m.
Consideremos los números 35 y 25.
0 35 70 105 140
Múltiplos de 25:
0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ...
Múltiplos comunes son:
0, 175, 350, 525 ...
175
210 … 350 …525, ...
Múltiplos de 35:
El menor de ellos, excluido el 0, es 175
Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor
de sus múltiplos comunes, excluido el cero.
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
35 = 5 · 7
06.11.15
25 = 52
Factores comunes: 5
m.c.m(35 y 25) = 52 · 7 = 175
Mayor exponente: 2
Factores no comunes: 7
Divisibilidad 23
Cálculo del mcd y del mcm
Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600.
Los descomponemos en factores primos:
780
390
195
65
13
1
600
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
13
2
2
2
3
5
5
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
Máximo común divisor:
Factores comunes:
2
Menor exponente respectivo: 2,
3 5
1 y 1
m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60
Mínimo común múltiplo:
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
06.11.15
Factores comunes:
2
Mayor exponente respectivo: 3,
3 5
1 y 2
Factores no comunes:
13
m.c.m.(780, 600) = 23 · 3 · 52 ·13 = 7800
Divisibilidad 24
Aplicación del máximo común divisor
Problema: Una habitación rectangular de 7,8 m de largo por 3 m de ancho se
quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá
medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna?
Se da:
Largo y ancho: 780 y 300 cm.
Se pide:
La medida de las baldosas, lo más
grandes posibles, que cabe tanto a lo
largo como a lo ancho (sin romperlas).
Para no romper ninguna, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300.
Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300).
780 = 22 · 3 · 5 · 13
600 = 23 · 3 · 52
m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60
La descomposición en factores primos es:
El lado de cada baldosa debe ser de 60 cm.
06.11.15
Divisibilidad 25
Resolución de problemas
Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy
curioso. Si se divise entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1.
Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo de Yolanda?
1º. Tantear para comprender mejor
¿Podrían ser 901 habitantes? Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría ser
Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale.
2º. Pensar un problema más fácil
Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos.
Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11.
Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1.
¡Pues 1!
¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1?
El número será: 9 · 11 + 1 = 100
3º. Comprobar el resultado
100 : 9 da de resto es 1.
06.11.15
100 : 11 da de resto 1.