¿Cómo medir el radio de la Tierra con una vara?

Con una vara mágica?!!

Con una vara infinita?!!

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En el taller “Modelos matemáticos y Ciencia” se realizó Simulación Sentó base para desarrollar Proyecto Eratóstenes

Simulación

Objetivo

:

realizar la experiencia propuesta por Eratóstenes en un modelo físico usando esferas de telgopor

Dispositivo experimental

: (por grupo)

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Esfera de telgopor de 21cm de diámetro (10,5 cm de radio)

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Dos escarbadientes

•

Metro de carpintero flexible

Para medir el radio de las esferas de telgopor cada grupo procedió:

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Colocaron dos escarbadientes alineados en el ecuador de la esfera, separados una cierta distancia.

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Alinearon uno de los escarbadientes con los rayos solares de forma tal que no proyectara sombra.

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Midieron la longitud del escarbadientes que quedaba descubierta y la sombra que proyectaba este mismo.

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Calcularon la tangente del forman la vara ángulo θ que con los rayos del sol a partir de las mediciones obtenidas. Para obtener el valor del ángulo aplicaron la operación inversa de la tangente.



Con el valor del ángulo se puede obtener el perímetro de la esfera.



Y a partir del perímetro, sabiendo que P= 2

p

R, se despeja el radio (R).

Grupo 1 2 3 Fabricante Radio [cm] 10,0 11,7 10,3 10,5 ►

¿Cómo es posible que los valores de los radios que obtuvo cada grupo sean distintos si las esferas era todas iguales?

►

Teniendo en cuenta que Eratóstenes desarrolló este método para determinar el radio terrestre ¿Será correcto usarlo para medir el radio de las pequeñas esferas de telgopor? o para utilizar el método satisfactoriamente ¿Se deberán cumplir determinadas condiciones?

►

¿En qué nos equivocamos al tomar los datos?.El procesamiento de estos datos ¿Influirá en el resultado?

►

Las medidas se realizaron con luz natural pero ¿Será mejor realizarlas con luz artificial?

►

Las longitudes de las varillas y las distancias de separación entre ellas elegidas para realizar la experiencia resultaron distintas entre los grupos ¿Influirá esto en los resultados obtenidos?

Proyecto Eratóstenes

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Organizado por el Departamento de Física de la Universidad de Buenos Aires y la Asociación de Físicos de la Argentina

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El principal objetivo de la actividad es que estudiantes de secundaria calculen el valor del radio de la Tierra por el método del célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen probablemente caldeo, Eratóstenes (Cirene, 276 adC Alejandría, 194 adC) hace más de dos mil años.

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Como objetivos más específicos se enuncian los siguientes:

 Describir la geometría de cómo los rayos del Sol inciden sobre la Tierra a distintas latitudes.  Describir cómo el perímetro de la Tierra fue medido por primera vez miles de años atrás.  Describir cómo determinar cuándo es el mediodía en el lugar donde uno vive.  Medir el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical en un lugar dado al mediodía.

 Formar parte de un proyecto colectivo, en el cual, con el aporte de varios grupos se puede alcanzar un objetivo (en este caso, medir el radio de la Tierra).

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Los organizadores nos brindaron material de apoyo tanto para los alumnos como para los docentes y nos asignaron el Colegio General San Martín de Corrientes como escuela compañera para llevar adelante el proyecto.

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Contábamos con una página web para cargar nuestros datos y consultar cualquier inquietud.

www.difusion.df.uba.ar

Proyecto Eratóstenes Introducción

Eratóstenes :

 Determinó el valor de el radio terrestre con gran exactitud, en una época en la que mayormente se pensaba que el mundo era plano. situada muy cerca del trópico de Cáncer  Tenía conocimiento que en Siena en el solsticio de verano los rayos del sol al medio día incidían perpendicularmente sobre la tierra, no proyectando sombra, pero que en Alejandría a la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7 ° con respecto a la vertical. Eratóstenes director de la biblioteca de

 Asumió que los rayos solares llegaban paralelos entre sí a la Tierra  Obtuvo la distancia entre Siena y Alejandría.  Admitió que Siena y Alejandría estaban en el mismo meridiano

Mediante una regla de tres se puede calcular el Perímetro Terrestre Perímetro terrestre: 41152 km

y, de aquí, el radio de la Tierra:

Radio Terrestre: 6549 Km

Nota : para obtener el valor del ángulo q se pude recurrir a la Geometría del problema y a la Trigonometría.

Ángulos internos alternos entre paralelas

Eratóstenes conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente vertical al mediodía.

Pero…. ¿ Dé no ser así?

Se trabaja de forma análoga al procedimiento anterior usando diferencia de ángulos Cada ángulo se calcula por separado  Usando las siguientes expresiones: Se procede igual para calcular θ A

Luego se calcula el perímetro terrestre: Por último de la fórmula del perímetro se obtiene la expresión para el radio: Para el desarrollo de esta experiencia se obtuvo radio terrestre a partir de la diferencia de ángulos. Uno de dichos ángulos se calculó en el marco del Taller “Modelos matemáticos y ciencia” perteneciente al primer año de la Escuela Nacional Ernesto Sábato. El Otro fue calculado por los alumnos de el Colegio Gral. San Martín de Corrientes. Posteriormente se realizó el intercambio de los valores de los ángulos para que ambos grupos pudieran calcular el valor del radio terrestre. La distancia entre ciudades en nuestro caso se obtuvo a partir del Google Earth y su valor corresponde a

1020 Km

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Experimental

Para cada grupo de estudiantes • varilla (lápiz) de alrededor de 20 centímetros de largo • base de telgopor (de 3 cm de espesor) de 50cmx30cm de lado.

• escuadra • metro de carpintero • nivel

Institución

Localidad Provincia Latitud Longitud MEDICIONES Día 1

Esc. Nac. Ernesto Sábato

27/6/08 Tandil Buenos Aires 37º 19´ 0” S 59º 9´ 0” O 2 27/6/08 3 27/6/08

Colegio Gral. San Martín

Corrientes Corrientes 27º 27´ 0” S 58º 50´ 0” O 1 20/6/08 2 30/6/08 Hora Longitud de la vara Longitud de la sombra Ángulo θ 12:56

(23 ± cm 0.1) (38.6 ± cm 0.1)

59.21º 12:56

(22.1 ± cm 0.1) (39.5 ± cm 0.1)

60.77º 12:56

(15.6 ± cm 0.1) (27.7 ± cm 0.1)

60.71º 12:57

(58.3 ± cm 0.1) (70.1 ± cm 0.1)

39.75º 12:57

(58.7 ± 0.1) cm (68.7 ± 0.1) cm

40.41º La medición 2 de la ENES y la medición 1 de el CGSM son las que se utilizaron para el proyecto

Resultados

Eratóstenes Referencia actual Perímetro terrestre 41152 Km (*) Radio terrestre 6549 Km 40067 Km (*) 6377 Km Proyecto 40998 Km 6525 Km

(*) Estos valores fueron sacados de la página :

www.encuentro.gov.ar

Cuestiones para seguir pensando...

Posibles fuentes de error • Fallas del operador • Precisión del instrumento • Medidas indirectas (propagación del error en las cuentas) 

Los rayos del Sol ¿Llegan paralelos a la Tierra?

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Las longitudes de las varas son distintas para cada escuela ¿Afecta esto los resultados?

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¿Influye en la toma de datos y en los resultados que la Tierra no es una esfera perfecta? ¿Es necesario tener en cuenta el relieve de la Tierra?

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A diferentes latitudes ¿Qué pasa con el valor del radio? ¿Es el mismo?.

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¿Cuánto influye la atmósfera en la trayectoria de los rayos solares? ¿Es significativa la refracción de dichos rayos? ¿Y la nubes?



¿Tiene sentido medir en un horario distinto al del medio día solar? ¿Y en otro día del año? La sombra ¿Varía linealmente con el tiempo?



¿Es imprescindible que las dos ciudades estén en el mismo meridiano? ¿Tienen el mismo horario de cenit?