Transcript Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état VI-1 Introduction VI-2 Représentation d’état VI-3 Obtention des équations d’états VI-4 Solution générale.

Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires
invariants (SLI) - Représentation d’état
VI-1 Introduction
VI-2 Représentation d’état
VI-3 Obtention des équations d’états
VI-4 Solution générale des équations d'états
VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la
représentation d'état ( Matrice de transfert)
VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné
VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI
Master - Automatique - Chap. VI : 1
VI-1 Introduction
Nous allons dans les chapitres VI et VII introduire un nouvel outil pour l’étude des systèmes
: LA REPRESENTTION D’ETAT
Cet outil utilise l’algèbre linéaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont :
Un même formalisme pour les systèmes analogiques ou échantillonnés.
Un même formalisme pour les systèmes mono- ou multi-variable.
Une analyse interne des systèmes.
L’utilisation généralisée de l’ordinateur.
VI-2 Représentation d’état
Prenons par exemple un système d’ordre n :
n équations du 1er ordre
+
s=f(e,x)
équation différentielle d’ordre n
e
s
Equation d’état
Equation d’observation
dx
 Ax  Be
dt
s  Cx  De
Master - Automatique - Chap. VI : 2
avec :
p : entrées
n
n
A : matrice de dynamique ou matrice d’état
n
B : matrice de commande
q
C : matrice d’observation
q
q : sorties
p
A, B, C et D constitue la
représentation d’état
n
p
D sera nulle pour un système
physique réel
D : matrice de transfert direct
Exemple 1 1er Ordre
variable d’état : v (tension aux bornes du condensateur)
xv
C
e
équation d’observation : s  e  v  v  e
v
R
s
équation d’observation :
C  1

D  1
1
dv 1 dQ i 

A


 
RC
dt C dt C  dv  s   v  e  


s
RC
 dt RC
B  1
i


R
RC
Master - Automatique - Chap. VI : 3
dy
v
dt
équation d' état : 2
d y dv
K
F dy et 



y


dt 2 dt
M
M dt
M
1  y   0 
 y   0
e
   
  K
F
 v    M  M  v   1 M 
0 
1 
 0

 et B  
 A   K
F

1
 M  M




 M
Exemple 2 : 2ème Ordre
K
Amortissement
(f)
y
M
y
équation d' observatio n : y  1 0  
v 
 C  1 0  et D  O
e(t)
Equation du mouvement :
my  Ky  Fy  et 
Prenons les variables suivantes :
entrée : et 
sortie : yt 
y
état : x 
y  v
On prend pour variables
celles qui définissent les CI
Pour un système le vecteur
d'état n'est pas unique : il
existe une infinité de
représentation pour un
même système.
Master - Automatique - Chap. VI : 4
Exemple 3 :
entrée : e 
d2
d1
h1
sortie : s 
h2
S1
d2
q1
q2
vecteur d' état : x 
S2
q1
d1
h1
h2
q2
q1  k1 .h1  h2  équation d' état : S1 .dh1  d1 .dt  k1 h1  h2 .dt
équation d' observatio n :
S2 .dh2  k1 h1  h2 .dt  k2h2 .dt  d2 .dt
q2  k2 .h2
   k1 h  h   d1
 q1   k1  k1  h1 
h
1
1
2
   0
   
S
S1
1
 q2   0 k2  h2 

k1
k2h2 d2



h

h

h


k

k
 1
2
1
2
1 
 et D  0
S2
S2 S2
 C  
0
k
2 

k1
  k1

1

0 

S1
S1 
 S1

A
et B  

1 
k  k2  
k
 0
 1S
 1
S2 

S2 

2
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VI-3 Obtention des équations d’états
VI-3-1 Cas Continu
a. directement (voir exemples précédent)
b. A partir de la transmittance
Principe : Transmittance  schéma bloc
• variables d'états = sortie des intégrateurs
• réécrire n équations différentielles du 1er ordre
1ère Réalisation Compagne (Matrice de commandabilité)
n
On part de la forme normalisée : Fp  
aipi

i 0
n 1
pn   bipi

Sp Sp Xp

.
Ep Xp Ep
i 0
On peut poser :
Sp n
  aipi
Xp i0
et
Xp
1

n 1
Ep pn   bpi
i
i0
On revient maintenant dans le domaine temporel :
n
 Sp 
i 


t 
TL1 

s
t

a
x

i

i

0
 Xp
et
n 1
 Xp
n 
i 




t 
TL1 

x
t

e
t

b
x

i

i

0
 Ep 
Master - Automatique - Chap. VI : 6
Schéma de la transmittance :
+
+
+
an
e(t)
+
-
1/p
+
+
+
an-1
x(n)
+
an-2
x(n-1)
1/p
xn
a0
a1
x(n-2)
x’
xn-1
x2
bn-1
bn-2
+
+
+
+
s(t)
b1
+
1/p
x(t)
x1
b0
+
+
+
Intégrateur
Master - Automatique - Chap. VI : 7
Equation d'état :
Equation d'observation :
s  a0 x1  a1x2    an-1xn  an e - b0 x1  b1x2    bn-1xn 
x1  x2
x2  x3

xn-1  xn
n-1
xn  e -  bixi
1ère Forme Compagne
i 0




A





0
0


0
 b0
1
0
0
1

0
 b1


Si D=O
0





0
1
0
 bn2
0 

 
 

 
1 

 bn1 
an  0
et
0
 

B 
0
 
1
C  a0  anb0
a1  anb1  an1  anbn1 
D  an
C  a0
a1  an1 
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2ème Réalisation Compagne (Matrice d'observabilité)
On part de la forme normalisée :
n
Fp 
 ap
i 0
i
i
n
p   bip
n
i
avec
bn  1
i0
n
Fp 
 ap
i
Sp
 i 0 n
Ep pn  b pi
 i
i
i0
n

 n
n
i
 Ep aip   Spp   bipi   0



 i0
i 0
 pn S  anE  pn1 bn1S  an1E    b0S  a0E  0
S  anE 
1
an1E  bn1S    1n a0E  b0S
p
p
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Schéma de la transmittance :
e(t)
a0
+
1/p
an-2
an-1
+
+
xn
1/p
-
b0
x2
an
1/p
-
-
bn-2
bn-1
x1
+
s(t)
Equation d'observation :
s  x1  an e
 C  1 0  0 
et
D  an
Master - Automatique - Chap. VI : 10
Equation d'état : x1  an-1e - bn-1s  x2 
x1  -bn-1x1  x2  an-1  anbn-1 e
s  x1  an e

x2  -bn-2x1  x3  an-2  anbn-2 e

xn-1  -b1x1  xn  a1  anb1 e
xn  -b0 x1  a0  anb0 e
  bn1

  bn2
 
A
 
 b
1

 b
0

 an1


B

 a0
1

0
0
 anbn1 






 anb0 
0
1



0





0

0
0
Si D=O
0



1
0










2ème Forme Compagne
an  0
et
 an1 
 
  
B 

 
 a0 
Master - Automatique - Chap. VI : 11
Réalisation Diagonale ou modale ou de Jordan
Ici on va décomposer la transmittance F(p) en éléments simples.
Cas de n pôles simples
n
Fp  an  
i1
ri
pp
i
n
Sp  anEp  
i1
ri
Ep
pp

rXi p
i
i
Xi p 
Ep
TL1

 xi t   pixi t   et 
pp

xi t   et   pixi t 
i
Intégrateur
e(t)
xi t 
+
graphe
xi
+
Donc le graphe de F(p) sera
décrit par une succession de ces
graphes élémentaires
pi
Master - Automatique - Chap. VI : 12
e(t)
+
an
x1 t 
+
s(t)
+
x1
+
r1
+
+
p1
xn t 
+
+
Equation d'état :
x1 t   et   p1x1 t 

xn t   et   pn xn t 
xn
rn
+
+
Equation d'observation :
n
st   an et    rxi t 
i1 i
pn
0
 p1


A


0
pn 

1 
 

B 

 
1 
C  r1   rn 
D  an
Master - Automatique - Chap. VI : 13
Cas d'un pôle multiple : p1 d'ordre 
n
1

ri




Sp  anEp 
E
p



E
p

Ep

i 1 p  p
p  p 
p  p 

rXi p
i
1
Quel est le graphe de X1 
Ep
p  p 
i
1
i
1
E(p)
+
+
+
+
+
+
p1
p1
p1
 cellules
Le graphe de X2 
1
p  p
1

 1
Ep sera la cascade de -1 cellules
Donc le graphe final sera
Master - Automatique - Chap. VI : 14
e(t)
+
an
+
+

x
+
x-1
+
+
x1
+
1
+
+
p1
+
+
p1
p1
x 1 t 
+
+
+
-1
+
s(t)
x+1
+
+
r+1
+
p+1
+
xn t 
+
+
pn
xn
rn
+
Master - Automatique - Chap. VI : 15
Equation d'état :
x1 t   x2  p1x1 t 
x2 t   x3  p1x2 t 

x 1 t   x  p1x1 t 
x  t   et   p1x t 
x 1 t   et   p1x1 t 

xn t   et   pn xn t 






A






p1
0
Bloc de Jordan
1
0
p1
1


0
0





0


p1
0
0
1

p1
0
0

0
0
p1
0


0
0 




  -1



0 
pn 
0
 


 
0
B 
1
 
1

 
1
 
Equation d'observation :

n
st     xi t    rxi t   an et 
i1
i 1 i
i
C  1
2  
r1  rn 
D  an
Master - Automatique - Chap. VI : 16
Exemple :
Soit la transmittance suivante : Fp  

1ère Réalisation compagne :
1
0 
 0


A 0
0
1 
  12  16  7 


p1
p  3p  22
p1
p3  7 p2  16p  12
0
 
B  0
1
 
C  1 1 0 
0
 
B  1
1
 
C  1 0 0 
2ème Réalisation compagne :
  7 1 0


A    16 0 1 
  12 0 0 


Master - Automatique - Chap. VI : 17
Réalisation Modale :
Fp 
p1
r3
1
2



p  3p  22 p  22 p  2 p  3
 p1 
r3  
 2
2
 p  2  p3
 p1 
1  
 1

 p  3 p2
 d  p  1 
  2
2   
 dp  p  3  p2
0 
 2 1


A   0 2 0 
 0
0  3 

0
 
B  1
1
 
C   1 2  2
Master - Automatique - Chap. VI : 18
VI-3-2 Cas Discret
dx
 Ax  Be
dt
Equation d’état
Continu :
s  Cx  De
Equation d’observation
D
e(t)
+
B
x
x
+
+
C
+
s(t)
A
xk1  Axk  Bek
Equation d’état
Discret :
sk  Cxk  Dek
Equation d’observation
D
Retard d'un échantillon =
xk 1
Z 1
xk
ek
B
xk 1
+
+
Z 1
xk
C
+
+
sk
A
Master - Automatique - Chap. VI : 19
VI-4 Solution générale des équations d'états
VI-4-1 Cas Continu
Equation d’état
dx
 Ax  Be
dt
Solution = Solution générale sans entrée (e=0) + Solution particulière avec entrée (e)
a - Solution générale sans entrée (e=0)
dx
 Ax
dt
xt   e A  tt xt0 
0
où t0 est l'instant initial
At
La matrice t  e s'appelle la matrice de transition d'état
Propriétés de  : t2  t1 .t2  t0   t2  t0 
nt0   t0 n
 t0   t0 1
  A
x  x0 
x   x0 
Master - Automatique - Chap. VI : 20
Calculs de  :
 Par le calcul de la série :
 Si A est diagonale :
At2
Atn  Atn
t  e  I  At 


n 1 n!
2!
n!
At
 1


A


0

2
0







n 
e


At
t   e  


0

1

e
2
0







e  
n
 Par la transformée de Laplace :
Si
 
e At  ai,j
alors
avec
1  i, j  n
 
TLe At   pI  A  TL ai,j
1
avec
1  i, j  n
La méthode consiste donc à calculer la matrice pI  A puis à prendre la transformée de Laplace
inverse de chacun des termes de la matrice
1
eAt  tTL1 pI  A
1

Master - Automatique - Chap. VI : 21
 Par le théorème de Caley-Hamilton :
Le théorème exprime que toute matrice carrée A est solution de l'équation
caractéristique :
QA p  det pI  A  pn  an1pn1  an2pn2    a1p  a0
Donc :
An  an1An1  an2An2    a1A  a0I  O
An s'exprime donc en combinaison linéaire de I,A, A2, …, An-1. Il en découle que le
développement :
At2
Atn  Atn
e  I  At 


n 1 n!
2!
n!
At
est limité au degré n-1 :
eAt  0 t I  1 t A    n1 t An1
Les coefficients i vérifient pour chaque valeur propre i l'équation :
e  t  0 t   1 t i    n1 t in1
i
b - Solution particulière pour e0
dx
 Ax  Be
dt
On utilise la technique classique de variation de la constante, donc on
cherche une solution particulière de la forme :
xp t   qt t 
Master - Automatique - Chap. VI : 22
dx
 Ax  Be
dt
xp t   qt t 
 q  q  Aq  Be
on sait que :   A
q  Be
 q  1Be
t
 qt    1  .B.e .d
t0
t
 xp t   t qt   t   1   .B.e  .d
t0
t
t
 xp t    t   .B.e  .d   t   .B.e .d
1
t0
t0
Donc la solution est :
t
xt   t  t0 xt0    t  .B.e.d
t0
t
Généralement on peut toujours se ramener à t0=0 : xt   t x0    t  .B.e.d
0
Si de plus on a e(t) causale : xt   t x0   t B  et 
Master - Automatique - Chap. VI : 23
c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle
st   Cx  De
réponse forcée  x0   0
Réponse impulsionnelle : et   t 
st   Ct x0   t B  et   De
RIt   Ct B  D0 
st   Ct B  D0   et 
VI-4-2 Cas Discret
a – Régime libre x  Ax
k 1
k
xk2  Axk1  A2xk
xk  Akk xk
0
xk3  Axk2  A xk
3
0
k  k0   Akk
0

xkm  Amxk
b – Solution Globale xk 1  Axk  Bek
0
0
0
xk 2  Axk 1  Bek 1  A2xk  ABek  Bek 1
0
0
0
0
0
0
xk 3  Axk 2  Bek 2  A3xk  A2Bek  ABek 1  Bek 2
0
0
0
0
0
0
0

m1
xk m  Amxk   Ami1Bek i
0
0
i 0
0
Master - Automatique - Chap. VI : 24
On pose k  k0  m et j  k0  i
xk  A
k 1
xk   Akj1Bej
k k0 
0
jk0
xkT   Ak x0   Ak1B  ekT 
Si e est causale
c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle
sk  CAk1B  ek  De
RI  CAk1B  Dk, 0
sk  CA B  Dk , 0   ek
k 1
Calcul de Ak :
xk1  Axk  Bek
1
2
sk  Cxk  Dek
Prenons la TZ de (1) : Instant initial : k  0
TZxk1   ZXZ   Zx0
ZXZ   Zx0  AXZ   BEZ 
ZI  AXZ   Zx  BEZ 
XZ   ZI  A Zx  BEZ 
XZ   ZI  A Zx  ZI  A
0
1
0
1
1
0
BEZ 
Master - Automatique - Chap. VI : 25
xk  TZ 1 ZI  A Zx0  TZ 1 ZI  A BEZ 
1
1
En utilisant les deux expressions connues de xk on obtient :
xk  TZ 1 ZI  A Zx0  TZ 1 ZI  A BEZ 
1
xk  A
k k0 
1
k 1
xk   Akj1Bej
0
jk0
Ak  TZ 1 ZI  A Z 
1
VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état
( Matrice de transfert)
On considère le système suivant : x  Ax  Be
s  Cx  De
En prenant la TL :pXp  AXp  BEp

Sp  CXp  DEp
 pI  AXp  BEp
 Xp  pI  A BEp
1
e est de taille p
s est de taille q
n ordre du système
Sp  CpI  A BEp  DEp
1
Fp 
Sp
1
 CpI  A B  D
Ep
Master - Automatique - Chap. VI : 26
p
Dans le cas général F(p) sera une matrice :
S1 p  
   

 
 Si p  
   

 
Sq p 
q Fp 
Fi,j p
 E1 p
  


 Ej p 
  


 Ep p
avec
 Si p
Fi,j p  



E
p
0
 j  Epour
kj
k
Remarque importante:
Les éléments de la matrice ont tous le même dénominateur égale à : det pI  A
Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions de l'équation
det pI  A  0
et sont aussi les pôles de la transmittance
VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné
ek
B0
F(p)
A,B, C, D
s(t)
T
sk
Ae, Be, Ce, De
F(Z)
Réalisation à l'aide d'une des trois
méthodes décrites
Master - Automatique -
Chap. VI : 27
Calcul de Ae,Be, Ce, De :
On sait que le système continu A, B, C, D a pour solution :
t
xt   t  t0 xt0    t  .B.e.d
t0
On prend t0  kT et t  k  1T
k 1 T
xk  1T   T .xkT    k  1T  .B.e.d
kT
 xk1
k 1 T
 e .xk    eAk1 T   .B.dek
 kT

AT
Ae
On utilise un bloqueur d'ordre zéro
donc e() est constant entre les
instants k et k+1, et vaut ek
Be
sk  Cxk  Dek
Ce
De
Si le système A, B, C, D est invariant  le système Ae, Be, Ce, De est invariant également
 Donc Be ne dépend pas de k
T
Be   e AT   .B.d
0
Master - Automatique - Chap. VI : 28
VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI
Définition : Commandabilité ou Gouvernabilité
Un système d’équations x  Ax  Be est commandable à l’instant t0 si :
Quelque soit les états x(t0) et x(t) pour t>t0, il existe une loi de commande
e(t0 à t) capable de transférer le système de x(t0) à x(t).
On dit donc que le système est commandable à l’instant t0
Le système est complètement commandable ou commandable s’il l’est quelque
soit t0 (Cas des systèmes invariants)
Définition : observabilité
Un système A, B, C, D est observable à l’instant t0 :
S’il existe un instant t> t0 tel que x(t0) puisse être déterminé à partir de la
connaissance de s(t0 à t) quelque soit e(t).
Le système est complètement observable ou observable s’il l’est quelque soit t0
(Cas des systèmes invariants)
Master - Automatique - Chap. VI : 29
VI-7-a Critère de Commandabilité
Le système A, B, C, D est commandable si en représentation diagonale B n’a pas de ligne nulle.
0  x1   b11  b1 p  e1 
 x1   p1
 
  
  

  
      bij    
 x   0
pn  xn   bn1  bnp  ep 
 n 

p
xi  pixi   bijej
j1
Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que xi ne dépend d’aucunes entrées ej

xi  pixi
Critère général de Commandabilité
On construit la matrice de commandabilité : C  B, AB, A B, , A B
2
n 1
Le système est commandable si C est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0
Master - Automatique - Chap. VI : 30
VI-7-b Critère d’Observabilité
Le système A, B, C, D est observable si en représentation diagonale C n’a pas de colonne nulle.
 s1   c11  c1n  x1 
 
  
      cij    
 s   c  c  x 
qn  n 
 q   q1
Si la colonne j de la matrice C est nulle implique qu’aucunes des sorties (s1 à sq) ne dépendra de xj
Critère général d’Observabilité
C 


CA
On construit la matrice d’observabilité :


2
  CA 





CAn1 


Le système est observable si  est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0
Master - Automatique - Chap. VI : 31
VI-7-c Deux cas de perte d’Observabilité
1 – Par échantillonnage (concerne les systèmes possédant au moins
une paire de pôles complexes conjugués)
Prenons l’exemple d’un deuxième ordre échantillonné par un bloqueur d’ordre zéro.
Système continu
ek
1ère Réalisation Compagne
B0
20
p2  20
s(t)
T
sk
 0 1
0 
A 2
 B  1 

0
 0

 
C  20 0 D  0
On constate bien que le système A, B, C, D est observable, car  est de rang 2 donc Observable

 0
0
2
Système échantillonné
0
20 


20
FZ   1  Z TZ  2
2 
 pp  0 
1  cos 0T 1  Z 
FZ  
1  2Z cos 0T   Z 2
1
Master - Automatique - Chap. VI : 32
1ère Réalisation Compagne
1
0

Ae  

 1 2 cos 0T 
Ce  1  cos 0T 1 1
1
1

  1  cos 0T 

 1 1  2 cos 0T 
Calculons le déterminant de  pour discuter de l’observabilité du système :
Observable si det   0
det   21  cos 0T 1  cos 0T 
 cos 0T   1
 21  cos 0T 
2
 0T  k
k

k e
T
2
 20  ke
 0 
La distance verticale entre
les deux pôles complexes
conjugués ne doit pas être
un multiple de e
2 – Par compensation de pôles et zéros
E
Fp  p   
1
p  a p  b
p   

1
p  a p  b
S
p
p2  a  bp  ab
Master - Automatique - Chap. VI : 33
1ère Réalisation Compagne
1
 0

A

 ab  a  b 
C   1 D  0
0 
B 
1 
 1
C 

 

CA  ab   a  b
det     a  b   ab    a   b 
  a

det   0   ou
  b

Perte d’observabilité si un
zéro est égale à un pôle
Master - Automatique - Chap. VI : 34