Новое – это хорошо забытое старое.

…

СКОЛЬКО СТОИТ ВРЕМЯ?

Ю. Соколовский, Известия, ноябрь 1973, рубрика "Вуз 70-х годов"

Создание учебника или курса лекций нередко включает в себя и онтодидактические открытия. Однако не каждый новатор в этой области становится автором, а новинки лекционного курса крайне редко выходят за стены одного вуза. Подобно изобретениям, они вообще даются не так-то легко. А чтобы привести в современный вид учебную дисциплину, их нужно гораздо больше, чем может предложить в одиночку автор (или даже авторский коллектив)… . Да и не всякая новинка укладывается в программу, составленную до этого. Поэтому … при разработке программ и учебных планов надо … иметь в поле зрения широкий ассортимент подобных предложений.

При конструировании самолета нужны облегченные детали. И все специалисты думают об этом. Такова же примерно и роль "облегчения" трактовок в преподавании. Поэтому важен широкий фронт исследований, результаты которых должны оперативно публиковаться и обсуждаться, чтобы постепенно накапливался своего рода "онтодидактический фонд" – насущно необходимая основа для творческой разработки учебных планов, программ, учебников.

Примеры, включенные в эту главу, находятся русле идей автора приведенной цитаты. Часть из них заимствована из труднодоступных изданий. Современные возможности позволяют реализовать эти идеи без особых бюрократических осложнений.

Пример 1. Эллиптическая зубчатая передача

Г.М. Фихтенгольц. Математика для инженеров.

Передача состоит из двух одинаковых зубчатых колес эллиптической формы с отверстиями для валов в одном из фокусов. Валы разнесены на расстояние, равное большой оси эллипса. Если первоначально привести колеса в зацепление в положении, когда их большие оси образуют одну линию, то при последующем вращении зацепление будет сохраняться. Само по себе устройство

–

техническое решение для превращения равномерного вращения в неравномерное: ведомый вал будет вращаться то быстрее, то медленнее ведущего.

Но рассказ о нем при изучении свойств эллипса оказывает сильное эмоциональное воздействие, ибо первая реакция неподготовленного слушателя: " этого не может быть !". И дело не в этом конкретном примере (механизм достаточно редкий), а в осознании масштаба возможностей математики.

Пример 2. Слышан от проф. С.М. Тарга Присоединенный момент Если взять палку рукой за конец и удерживать горизонтально, то сразу почувствуется сила, которая выворачивает руку. Если держать за середину, то никакого момента не будет: почувствуется только вес. Так сразу, без всяких формул, можно прочувствовать содержание теоремы о присоединенном моменте.

Пример 3. Кориолисовы сила и ускорение возникают при окружном переносном движении Их существование доказывается абстрактными теоретическими построениями, но наглядное представление о их физической природе можно получить, рассматривая предельные случаи 1. Если относительное движение радиальное равномерное: Абсолютная скорость при движении от центра к периферии возрастает из-за увеличения радиуса вращения. Это и есть кориолисово ускорение, и с ним связана сила от стенок жолоба, по которому движется тело. Именно эта сила подмывает берега рек, неравномерно изнашивает рельсы и формирует ураганы.

Кориолисовы сила и ускорение – продолжение 2. Если относительное движение окружное при равных линейных скоростях окружного и переносного движений: здесь тело в абсолютной системе координат неподвижно, между тем центробежные силы от обоих движений направлены в одну и ту же сторону. Чтобы результирующая сила была нулевой, должно быть еще одно слагаемое, направленное противоположно. Это опять кориолисова сила. Центробежная сила от переносного движения Центробежная сила от относительного движения

Кориолисова сила

Пример 4.

Энтропия – характеристическая функция в термодинамике, одно из наиболее абстрактных понятий в науке. Характеризует направление самопроизвольных процессов в изолированной системе. Считается весьма труднодоступной для понимания, ей даже приписывают мистические свойства.

(См. следующий кадр) >>>

1

q T 1 > T 2

2

dS

1 

dS dq

1

T

1 

dq

 

T dq T

1

dS

2 

dq

2

T

2  

dq T

2

dS



dS

1 

dS

2 

dS dq T

2  

dq T

1 0 

dq

   1

T

2  1

T

1  

Пример 5.

Обоснование способа получения второго независимого решения дифференциального уравнения при равных корнях характеристического уравнения.

Взято из статьи Пак В.В., Казакова Е.И., и др.

Инженер и математика

. Конференция «

Методы совершенствования фундаментального образования в школах и вузах

»

Севастополь 1998 приведено с незначительной редакционной правкой.

Рассмотрим решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В случае неравных корней характеристического уравнения все просто: имеем два независимых решения

y



Для случая в виде

u

k 1 =k 2

  

e k

1 

x

и

y



e k

2 

x

рекомендуют искать решение

e k



x

,

где

u

– неизвестная функция, подлежащая определению .

Можно сделать иначе. Пусть корни характеристического уравнения отличаются друг от друга на малую величину



k.

Линейная комбинация

e



k

 

k

 

x



e k



x

будет естественным решением, так же, как и результат ее деления на получим

lim 

k

 0

e



k

 

k

 

x



k

 

e

k.

k



x

Переходя к пределу,



de k dk



x



x



e k



x

Полученное выражение является решением – проверку можно дать в качестве упражнения. Этот способ лучше традиционного в нескольких отношениях: 1) Исключается немотивированное действие: не навязываем заранее вида решения, а находим его. 2) Работают доказанные ранее теоремы и доказывается их необходимость. 3) Обучаем студента научному поиску.

Пример 6.

Известен дискомфорт у начинающих от поня тия мнимого (и комплексного) числа. Он проходит не от понимания, а от привыкания. Проф. Ю.В. Линник вводил его способом, свободным от всякого дискомфорта.

Будучи студентом, я слышал его лекции по ТФКП для аспирантов ЛПИ в 1948 г.

Комплексное число - это плоский, то есть двухкоординатный вектор, а сама ТФКП средство упростить решение плоской задачи: обтекание воздухом крыла самолета, фильтрация воды через грунт под плотиной, электрическое и магнитное поля вокруг линии электропередачи.

Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали откладывают обычную единицу, а по вертикали – единицу той же длины, называемую комплексные числа по

i

– и никаких упоминаний о ее мнимости. Складывают общим сложения векторов: покомпонентно.

правилам

Также, для описания векторов (и комплексных чисел) используют

полярные

координаты, задавая длину вектора (

модуль

) и угол наклона (

аргумент

), отсчитываемый против часовой стрелки от горизонтальной оси.

Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком виде: произведение

c

получается из множимого получается из

единицу

a

тем же путем, каким множитель

единицы

.

растягивают в

b

А именно: для получения раз; для получения

c b b

то же проделывают с множимым

a

.

Чтобы распространить это правило на комплексные числа, нужно его дополнить: ведь чтобы получить

b

,

единицу

угол a не только растянули, но и аргумент множителя. Поступая так же и с множимым, приходим к правилу:

аргументы складывают.

повернули на

при умножении комплексных чисел их модули перемножают, а

–

1

i

1 Согласно этому правилу, для получения

i

повернули

единичный вектор

на часовой стрелки. Для 90 о против умножения

i

на

i

его нужно еще раз повернуть на тот же угол, при этом получаем –1.

i



Отсюда сразу следует :

i



i

2   1 , или

i

  1

Этот определение здесь получено естественно ,

.

как результат обобщения на векторы правил умножения обычных чисел, а не принято изначально . И никакой мистики!

Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как мнимая единица уже названа так и введена, как  –1 .

Линник, начав с векторов, пришел к тому же корню как к

следствию

видит разницы, тот лишен педагогического чувства.

, то есть, усилил мотивировку, сделав ее более содержательной. Кто не За прошедшие с тех пор 60 лет я ни разу не встречал этого вывода ни в учебниках, ни в лекционных курсах математики.

По-прежнему начинают с мнимой единицы, А.Д.Мышкиса "Элементы прикладной математики".

а потом (неизвестно почему!) откладывают ее на графике по вертикали, правило умножения выводят чисто алгебраически, а геометрия уже вытекает из него, и т.д. Особенно досадно, что исключением не стала и книга Я.Б.Зельдовича и Но обнаружил его в неожиданном месте – в книге Р.В.

Поля "Оптика".

Физик, притом профессионалами, и не мог смолчать.

в специальной монографии, отвлекся на чисто математический вопрос.

Значит, он не был удовлетворен его изложением