Transcript ДИАГРАММЫ ЛАМЕРЕЯ Качественный анализ дискретных ДС Динамическая система Уравнение Nt+1 = F(Nt ), t = 0,1,... (1) может быть использовано для описания динамики популяции с неперекрывающимися поколениями. Функция.

ДИАГРАММЫ ЛАМЕРЕЯ
Качественный анализ дискретных ДС
Динамическая система
2
Уравнение
Nt+1 = F(Nt ), t = 0,1,...
(1)
может быть использовано для описания динамики популяции с
неперекрывающимися поколениями.
Функция F(N) обладает следующими свойствами:
1) F(N) > 0  допустимого N > 0;
2) F(0) = 0;
3) F(N) возрастает в окрестности точки N = 0;
4) F(N)  k = const  0 при N  +.
Определение 1. Решением уравнения (1) называется числовая
последовательность
{Nt}t=0,1,2,…., члены которой удовлетворяют
уравнению (1).
Основные определения
3
Определение 2. Решение уравнения (1) вида Nt = N* = const  t = 0,1,2, …
называется стационарным, а точка N*  положением равновесия (или
точкой покоя, стационарной точкой).
Все положения равновесия являются корнями уравнения:
F(N) = N
(2)
Определение 3. Стационарное решение Nt = N*  t = 0,1,2, … называется
устойчивым, если   > 0   > 0, такое, что |Nt  N*|<  t  0, если
|N0  N*| < .
Определение 4. Если
lim Nt - N*  0,
t
когда |N0  N*|< , то решение
Nt = N*  t = 0,1,2, … называется асимптотически устойчивым.
Диаграмма Ламерея
Положения равновесия уравнения Nt+1 = F(Nt)
4
y
y=N
y = F(N)
0
N1*
N
N2*
N3*
Диаграмма Ламерея (лестница Ламерея)
Решение уравнения Nt+1 = F(Nt)
5
y
y=N
y = F(N)
F(N0)
F(N1)
F(N2)
0
N
N3
N2
N1
N0
Траектория
6
N
N0
N1
N2
N3
N4
0
1
2
3
4
t
Диаграмма Ламерея (лестница Ламерея)
Решение уравнения Nt+1 = F(Nt)
7
y
y=N
F(N1)
F(N3)
F(N2)
F(N0)
y = F(N)
N
0
N3
N2
N1
N0
N0
N1 N3 N4 N2
Траектория
8
N
N2
N4
N3
N1
N0
0
1
2
3
4
t
Диаграмма Ламерея
Анализ на устойчивость положений равновесия
9
y
y=N
y = F(N)
N
0
N3
N2
N1
N0
N0
N1 N3 N4 N2
Траектории, соответствующие
различным начальным условиям
10
N
N3*
N2*
N1*
t
0
1
2
3
4
5
6