Slide 1

МОДЕЛЬ РИККЕРА
Качественный анализ


Slide 2

Основное уравнение
2

N t 1  N t e

Nt 

  1

K



,

t  0,1, 2, .... (1)

 = const, K = const > 0
Параметр  характеризует воспроизводительную
способность вида в отсутствии лимитирования;
параметр K характеризует емкость среды.


Slide 3

Существование и устойчивость
положений равновесия
3

Положения
равновесия

Характер устойчивости
<0

=0

N1*=0,

АУ

У

N2*= K

НУ

У

0<2

>2

НУ

0

=0

 N*  0

АУ

НУ

У

Количество положений равновесия и характер их
устойчивости зависит только от параметра .


Slide 4

Переход к безразмерной переменной
4

С помощью замены
Xt 

Nt

K
уравнение (1) приводится к виду:

X t 1  X t e

 1  X t 

,

t  0,1, 2, ....

(2)

При 0 динамическая система (2) система имеет
два положения равновесия

X1*= 0 и X2*= 1.


Slide 5

Динамика решений при  < 0
5

При любом начальном значении N0 < K наблюдается
стабилизация на равновесном уровне N1*=0.


Slide 6

Динамика решений при  = 0
6

Любому начальному значению N0
соответствует
стационарное
решение. Положения равновесия
устойчивы, но не асимптотически.


Slide 7

Динамика решений при 0 <  < 1
7

При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(монотонное затухание отклонений).


Slide 8

Динамика решений при 1 <  < 2
8

При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(затухающие колебания).


Slide 9

Динамика решений при  = 2
9


Slide 10

Динамика решений при  = 2,2
10


Slide 11

Динамика решений при  = 2,6
11


Slide 12

12

Отличительной чертой скалярных динамических систем вида
Nt+1=F(Nt) является возможность их простого итерирования
при задании некоторого начального условия N0. Однако
даже такое простое итерирование может оказаться
чрезвычайно полезным. Один из создателей современной
биоматематики, теоретический биолог Роберт Мэй еще в
1976 году писал:
«Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной
работе, но и в повседневной политической и
экономической жизни как можно больше людей поняло,
что простые нелинейные системы не всегда обладают
простыми динамическими свойствами.»


Slide 13

Существование и устойчивость
цикла длины 2
13

Цикл длины 2: (K(1-x0), K(1+x0)), x0 – положительный корень уравнения

e

x



1 x
1 x

,

(3)

Уравнение (3) имеет корни x0 и –x0, если  > 2.

Цикл является притягивающим, если

1  



2

  x0  1 .
2

2

(4)

Условие (4) равносильно условию

0  f ( x 0 )  2,
где

f ( x )   ( x )( x  1)  2  ( x ),
2

2

 ( x) 

1
x

ln

1 x
1 x

.


Slide 14

Область устойчивости цикла длины 2
2     *  2, 526

14

(x)
3

f(x)

1

-1

- X*

0

X*

1