Transcript Модель Риккера
Slide 1
МОДЕЛЬ РИККЕРА
Качественный анализ
Slide 2
Основное уравнение
2
N t 1 N t e
Nt
1
K
,
t 0,1, 2, .... (1)
= const, K = const > 0
Параметр характеризует воспроизводительную
способность вида в отсутствии лимитирования;
параметр K характеризует емкость среды.
Slide 3
Существование и устойчивость
положений равновесия
3
Положения
равновесия
Характер устойчивости
<0
=0
N1*=0,
АУ
У
N2*= K
НУ
У
0<2
>2
НУ
0
=0
N* 0
АУ
НУ
У
Количество положений равновесия и характер их
устойчивости зависит только от параметра .
Slide 4
Переход к безразмерной переменной
4
С помощью замены
Xt
Nt
K
уравнение (1) приводится к виду:
X t 1 X t e
1 X t
,
t 0,1, 2, ....
(2)
При 0 динамическая система (2) система имеет
два положения равновесия
X1*= 0 и X2*= 1.
Slide 5
Динамика решений при < 0
5
При любом начальном значении N0 < K наблюдается
стабилизация на равновесном уровне N1*=0.
Slide 6
Динамика решений при = 0
6
Любому начальному значению N0
соответствует
стационарное
решение. Положения равновесия
устойчивы, но не асимптотически.
Slide 7
Динамика решений при 0 < < 1
7
При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(монотонное затухание отклонений).
Slide 8
Динамика решений при 1 < < 2
8
При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(затухающие колебания).
Slide 9
Динамика решений при = 2
9
Slide 10
Динамика решений при = 2,2
10
Slide 11
Динамика решений при = 2,6
11
Slide 12
12
Отличительной чертой скалярных динамических систем вида
Nt+1=F(Nt) является возможность их простого итерирования
при задании некоторого начального условия N0. Однако
даже такое простое итерирование может оказаться
чрезвычайно полезным. Один из создателей современной
биоматематики, теоретический биолог Роберт Мэй еще в
1976 году писал:
«Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной
работе, но и в повседневной политической и
экономической жизни как можно больше людей поняло,
что простые нелинейные системы не всегда обладают
простыми динамическими свойствами.»
Slide 13
Существование и устойчивость
цикла длины 2
13
Цикл длины 2: (K(1-x0), K(1+x0)), x0 – положительный корень уравнения
e
x
1 x
1 x
,
(3)
Уравнение (3) имеет корни x0 и –x0, если > 2.
Цикл является притягивающим, если
1
2
x0 1 .
2
2
(4)
Условие (4) равносильно условию
0 f ( x 0 ) 2,
где
f ( x ) ( x )( x 1) 2 ( x ),
2
2
( x)
1
x
ln
1 x
1 x
.
Slide 14
Область устойчивости цикла длины 2
2 * 2, 526
14
(x)
3
f(x)
1
-1
- X*
0
X*
1
МОДЕЛЬ РИККЕРА
Качественный анализ
Slide 2
Основное уравнение
2
N t 1 N t e
Nt
1
K
,
t 0,1, 2, .... (1)
= const, K = const > 0
Параметр характеризует воспроизводительную
способность вида в отсутствии лимитирования;
параметр K характеризует емкость среды.
Slide 3
Существование и устойчивость
положений равновесия
3
Положения
равновесия
Характер устойчивости
<0
=0
N1*=0,
АУ
У
N2*= K
НУ
У
0<2
>2
НУ
0
=0
N* 0
АУ
НУ
У
Количество положений равновесия и характер их
устойчивости зависит только от параметра .
Slide 4
Переход к безразмерной переменной
4
С помощью замены
Xt
Nt
K
уравнение (1) приводится к виду:
X t 1 X t e
1 X t
,
t 0,1, 2, ....
(2)
При 0 динамическая система (2) система имеет
два положения равновесия
X1*= 0 и X2*= 1.
Slide 5
Динамика решений при < 0
5
При любом начальном значении N0 < K наблюдается
стабилизация на равновесном уровне N1*=0.
Slide 6
Динамика решений при = 0
6
Любому начальному значению N0
соответствует
стационарное
решение. Положения равновесия
устойчивы, но не асимптотически.
Slide 7
Динамика решений при 0 < < 1
7
При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(монотонное затухание отклонений).
Slide 8
Динамика решений при 1 < < 2
8
При любом начальном значении N00 наблюдается
стабилизация
на
равновесном
уровне
N2*=K
(затухающие колебания).
Slide 9
Динамика решений при = 2
9
Slide 10
Динамика решений при = 2,2
10
Slide 11
Динамика решений при = 2,6
11
Slide 12
12
Отличительной чертой скалярных динамических систем вида
Nt+1=F(Nt) является возможность их простого итерирования
при задании некоторого начального условия N0. Однако
даже такое простое итерирование может оказаться
чрезвычайно полезным. Один из создателей современной
биоматематики, теоретический биолог Роберт Мэй еще в
1976 году писал:
«Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной
работе, но и в повседневной политической и
экономической жизни как можно больше людей поняло,
что простые нелинейные системы не всегда обладают
простыми динамическими свойствами.»
Slide 13
Существование и устойчивость
цикла длины 2
13
Цикл длины 2: (K(1-x0), K(1+x0)), x0 – положительный корень уравнения
e
x
1 x
1 x
,
(3)
Уравнение (3) имеет корни x0 и –x0, если > 2.
Цикл является притягивающим, если
1
2
x0 1 .
2
2
(4)
Условие (4) равносильно условию
0 f ( x 0 ) 2,
где
f ( x ) ( x )( x 1) 2 ( x ),
2
2
( x)
1
x
ln
1 x
1 x
.
Slide 14
Область устойчивости цикла длины 2
2 * 2, 526
14
(x)
3
f(x)
1
-1
- X*
0
X*
1