Slide 1

Глава 5
Уравнения динамики системы в
обобщенных координатах
§ 1. Обобщенные координаты и скорости

§ 2. Обобщенные силы
§ 3. Условия равновесия системы в обобщенных
координатах
§ 4. Уравнения Лагранжа


Slide 2

§ 1. Обобщенные координаты и скорости
Будем рассматривать системы с голономными
связями (геометрические и интегрируемые
дифференциальные)
В этом случае число независимых координат,
определяющих положение системы, совпадает с числом
степеней свободы системы


Slide 3

Независимые между собой параметры любой
размерности, число которых равно числу степеней
свободы системы и которые однозначно определяют ее
положение, называют обобщенными координатами
системы ( q1, q2, … , qs )

Координаты q1, q2, … , qs независимы, значит, и
элементарные приращения δq1, δq2, … , δqs
независимы между собой. При этом каждая из них
определяет независимое от других возможное
перемещение системы


Slide 4

При переходе от одной системы координат к другой
можно установить связь между ними

хк = хк (q1, q2, … , qs)
Для радиус-вектора rk k-ой точки системы

rк = rк (q1, q2, … , qs)
Если система движется, то и обобщенные координаты
будут изменяться со временем

q1= f1(t), q2=f2(t), … , qs=fs(t) (1)
(1) – кинематические уравнения движения системы в
обобщенных координатах


Slide 5

Производные от обобщенных координат по времени
называются обобщенными скоростями системы

q1 

dq1
dt

,

q2 

dq 2
dt

,

, qs 

dq s
dt

(2) – уравнения скорости движения системы в
обобщенных координатах
Размерность обобщенной скорости зависит от
размерности обобщенной координаты

.

(2)


Slide 6

§ 2. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему из n материальных
точек, на которую действуют силы

F1 , F 2 ,

, Fk

Система имеет s степеней свободы, и ее положение
определяется обобщенными координатами q1, q2, … , qs


Slide 7

Сообщаем системе некоторое возможное перемещение,
такое, что координата q1 получает приращение δq1, а
остальные не изменяются.
Тогда каждый из радиус-векторов rk точек системы
получит элементарное приращение (δrk)1 , которое
вычисляется как частный дифференциал

  rk 1 

 rk
 q1

 q1 ,

т.к. rk=rk(q1,

q2, … , qs)


Slide 8

Вычислим сумму элементарных работ всех действующих
сил на рассматриваемом перемещении

 A1  F1    r1 1 

 F1 

 r1
 q1

 q1 


 r1
  F1 

 q1


 Fn    rn 1 

 Fn 

 rn
 q1

 q1 

 rn 
 Fn 
  q1
 q1 

 A1  Q1 q1


Slide 9

Величину Q1 называют обобщенной силой,
соответствующей координате q1,

Q1 

F
k

k



 rk
 q1

Сообщая системе другое независимое возможное
перемещение, при котором изменяется только
координата q2, получим

 A2  Q 2  q 2 ,
где Q2 – обобщенная сила , соответствующая q2


Slide 10

Если системе сообщить такое возможное перемещение,
при котором одновременно изменяются все ее
обобщенные координаты, то сумма элементарных работ
приложенных сил на этом перемещении

 A

k

 Q1  q 1  Q 2  q 2 

 Q s q s

3

k

(3) – полная элементарная работа всех действующих на
систему сил в обобщенных координатах


Slide 11

Обобщенные силы – это величины, равные
коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении полной элементарной работы
действующих на систему сил
Если все наложенные связи идеальные, то работу
совершают только активные силы

Q1 , Q 2 ,

Q  

, Qs

 A
q

− обобщенные активные силы
системы

− размерность обобщенной силы
системы зависит от [q]


Slide 12

Чтобы решить прямую задачу динамики, т.е. найти
обобщенные силы, нужно
1. Установить число степеней свободы системы
2. Выбрать обобщенные координаты
3. Изобразить все активные силы и силы трения, если
они совершают работу

4. Сообщить системе такое перемещение, при котором
изменяется только одна координата. Задав ей
положительное приращение, вычислить сумму
элементарных работ на этом перемещении, записав
ее в виде

 A1  Q1   q1 ,

тогда коэффициент при δq1 даст искомую величину
5. Аналогично вычисляются остальные обобщенные
силы системы Q2, Q3, …, Qs


Slide 13

Область, в каждой точке которой на помещенную туда
материальную частицу действует сила, зависящая от
положения этой точки, называется силовым полем
Чтобы силовое поле было потенциальным,
необходимо и достаточно выполнение условия

 Fx
y



Fy
x

,

Fy
z



 Fz
y

,

 Fz
x



 Fx
z


Slide 14

Если все действующие на систему силы являются
потенциальными, то существует такая силовая функция
U, которая зависит от координат точек системы
(xk, yk, zk), что

 A

k

 U

k

 A
k

k

 U 

U
 q1

 q1 

U
q2

q2 



U
q s

qs


Slide 15

Если все действующие на систему силы потенциальны,
то обобщенные силы равны частным производным от
силовой функции U по соответствующим обобщенным
координатам

Q1 

U
 q1

, Q2 

U
q2

,

, Qs 

U
q s

Так как потенциальная энергия является П = -U , то

Q1  


 q1

, Q2  


q2

,

, Qs  


q s


Slide 16

§ 3. Условия равновесия системы в
обобщенных координатах
Принцип возможных перемещений в обобщенных
координатах

Q1  q 1  Q 2  q 2 

 Q s  q s  0,

т.к. δqi независимы между собой, необходимо, чтобы

Q1  0, Q 2  0,

, Qs  0


Slide 17

Для равновесия механической системы необходимо и
достаточно, чтобы все обобщенные силы,
соответствующие выбранным для системы
обобщенных координат, были равны нулю

Число условий равновесия (**) равно числу обобщенных
координат, т.е. числу степеней свободы системы


Slide 18

В случае потенциальной силы условия (**) запишутся

U
 q1

 0,

U
q2

 0,

,

U
q s

0

или


 q1

 0,


q2

 0,

,


q s

0


Slide 19

При равновесии полный дифференциал функций
U или П равны нулю

 U  q1 , q 2 ,

, qs   0

  q1 , q 2 ,

, qs   0

или

Система, на которую действуют потенциальные силы,
в тех положениях, для которых силовая функция или
потенциальная энергия системы имеет экстремум,
находится в равновесии


Slide 20

§ 4. Уравнения Лагранжа
Найдем уравнения движения механической системы
в обобщенных координатах
Вспомним п-п Даламбера-Лагранжа

 A

a
k



 A

ин
k

0

Рассматривать будем общую задачу, т.е. в первую
сумму будут входить не только работы активных сил,
но и сил трения


Slide 21

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение
определяется обобщенными координатами qk, тогда

 A

 Q1 q1  Q 2  q 2 

a
k

 Q sq s

Для сил инерции тоже можно перейти к обобщенным
силам инерции, тогда


где

ин
 Ak

Q


ин
1

ин
Q1  q1



F

ин
k



ин
Q 2 q 2

 rk
 q1

;

;Q

 

ин
s



ин
Q s q s

F

ин
k

 rk
qs


Slide 22

Тогда

Q

1

Q

ин
1

 q

1

 Qs  Q



ин
s

 q

s

0

− п-п Даламбера-Лагранжа,

т.к. δqk независимы, то, следовательно,

 Q1  Q1

ин

Вспомним, что



 0;

ин
Fk

; Qs  Qs

 mk ak  mk

ин

0

Vk
dt


Slide 23

следовательно,

Q

ин
1



m

dV k
k

dt



 rk
 q1

Вспомним, что

 rk  dV k  rk
d 
d   rk

 Vk
 Vk 


dt 
 q1 
dt  q1
dt   q1


,


тогда

d 
 rk 
d   rk 


 Vk 
  Vk


dt  q1 dt 
 q1 
dt   q1 

dV k

 rk


Slide 24

Докажем необходимые равенства
I) Вспомним, что

и

Vk

тогда

drk
dt

rk  rk  q1 , q 2 ,



 rk
 q1

Vk
 q1

qk 



 rk
 q1



, qs 

 rk
q s

qs ,


Slide 25

II) Т.к. операции полного дифференцирования по времени
и частного по обобщенным координатам
переместительны, то d   rk 
  drk   V k




dt   q1   q1  dt 
 q1

d   rk   V k
,


dt   q1   q1

тогда

и

dV k  rk
d 
 rk 
d   rk  d  1  V k 2  1   V k 2

  Vk 
  Vk 
  
 
dt  q1 dt 
 q1 
dt   q1  dt  2  q1  2   q1


,



Slide 26

 1  Vk 2 
 

2

q


1 

и

т.к.

2
dV k  rk
d  1 Vk


 
dt  2  q1
dt  q1

Vk  V ,
2

2
k

то
ин

 Q1

2
d    m kV k



dt   q1  2

2

  m kV k 
 


   q1  2 

Т – кинетическая энергия

d  T  T



dt   q1   q1


Slide 27

Для других обобщенных сил инерции можно записать
аналогичные выражения. Тогда
ин
1

Q1  Q

 0,

, Qs 

ин
Qs

0

запишутся

d  T  T
 Q1 ,


dt   q1   q1

d  T  T
,
 Qs


dt   q s   q s

Получили дифференциальные уравнения движения
системы в обобщенных координатах или уравнение
Лагранжа для голономных систем


Slide 28

Вид и число этих уравнений не зависят ни от количества
тел (или точек), входящих в систему, ни от того, как эти
тела движутся
Число уравнений Лагранжа определяется только числом
степеней свободы системы
При идеальных связях обобщенные активные силы Qi и
эти уравнения позволяют заранее исключить все
наперед неизвестные реакции связей

Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные
дифф. уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат


Slide 29

Основная задача динамики в обобщенных координатах
I) Зная обобщенные силы и начальные условия, найти
закон движения системы в виде

q1  f 1  t  , q 2  f 2  t  ,

, qs  fs t 

В случае потенциальных сил

d  T  T


0


dt   q1   q1
 q1


Slide 30

Сделаем преобразования

d   T      T   
0


dt 
 q1
 q1

Если введем функцию Лагранжа
(кинетический потенциал), то

L T 

d  L  L
0


dt   q1   q1