Transcript Условия равновесия и уравнения динамики системы в
Slide 1
Глава 5
Уравнения динамики системы в
обобщенных координатах
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
§ 2. Обобщенные силы
§ 3. Условия равновесия системы в обобщенных
координатах
§ 4. Уравнения Лагранжа
Slide 2
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
Будем рассматривать системы с голономными
связями (геометрические и интегрируемые
дифференциальные)
В этом случае число независимых координат,
определяющих положение системы, совпадает с числом
степеней свободы системы
Slide 3
Независимые между собой параметры любой
размерности, число которых равно числу степеней
свободы системы и которые однозначно определяют ее
положение, называют обобщенными координатами
системы ( q1, q2, … , qs )
Координаты q1, q2, … , qs независимы, значит, и
элементарные приращения δq1, δq2, … , δqs
независимы между собой. При этом каждая из них
определяет независимое от других возможное
перемещение системы
Slide 4
При переходе от одной системы координат к другой
можно установить связь между ними
хк = хк (q1, q2, … , qs)
Для радиус-вектора rk k-ой точки системы
rк = rк (q1, q2, … , qs)
Если система движется, то и обобщенные координаты
будут изменяться со временем
q1= f1(t), q2=f2(t), … , qs=fs(t) (1)
(1) – кинематические уравнения движения системы в
обобщенных координатах
Slide 5
Производные от обобщенных координат по времени
называются обобщенными скоростями системы
q1
dq1
dt
,
q2
dq 2
dt
,
, qs
dq s
dt
(2) – уравнения скорости движения системы в
обобщенных координатах
Размерность обобщенной скорости зависит от
размерности обобщенной координаты
.
(2)
Slide 6
§ 2. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему из n материальных
точек, на которую действуют силы
F1 , F 2 ,
, Fk
Система имеет s степеней свободы, и ее положение
определяется обобщенными координатами q1, q2, … , qs
Slide 7
Сообщаем системе некоторое возможное перемещение,
такое, что координата q1 получает приращение δq1, а
остальные не изменяются.
Тогда каждый из радиус-векторов rk точек системы
получит элементарное приращение (δrk)1 , которое
вычисляется как частный дифференциал
rk 1
rk
q1
q1 ,
т.к. rk=rk(q1,
q2, … , qs)
Slide 8
Вычислим сумму элементарных работ всех действующих
сил на рассматриваемом перемещении
A1 F1 r1 1
F1
r1
q1
q1
r1
F1
q1
Fn rn 1
Fn
rn
q1
q1
rn
Fn
q1
q1
A1 Q1 q1
Slide 9
Величину Q1 называют обобщенной силой,
соответствующей координате q1,
Q1
F
k
k
rk
q1
Сообщая системе другое независимое возможное
перемещение, при котором изменяется только
координата q2, получим
A2 Q 2 q 2 ,
где Q2 – обобщенная сила , соответствующая q2
Slide 10
Если системе сообщить такое возможное перемещение,
при котором одновременно изменяются все ее
обобщенные координаты, то сумма элементарных работ
приложенных сил на этом перемещении
A
k
Q1 q 1 Q 2 q 2
Q s q s
3
k
(3) – полная элементарная работа всех действующих на
систему сил в обобщенных координатах
Slide 11
Обобщенные силы – это величины, равные
коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении полной элементарной работы
действующих на систему сил
Если все наложенные связи идеальные, то работу
совершают только активные силы
Q1 , Q 2 ,
Q
, Qs
A
q
− обобщенные активные силы
системы
− размерность обобщенной силы
системы зависит от [q]
Slide 12
Чтобы решить прямую задачу динамики, т.е. найти
обобщенные силы, нужно
1. Установить число степеней свободы системы
2. Выбрать обобщенные координаты
3. Изобразить все активные силы и силы трения, если
они совершают работу
4. Сообщить системе такое перемещение, при котором
изменяется только одна координата. Задав ей
положительное приращение, вычислить сумму
элементарных работ на этом перемещении, записав
ее в виде
A1 Q1 q1 ,
тогда коэффициент при δq1 даст искомую величину
5. Аналогично вычисляются остальные обобщенные
силы системы Q2, Q3, …, Qs
Slide 13
Область, в каждой точке которой на помещенную туда
материальную частицу действует сила, зависящая от
положения этой точки, называется силовым полем
Чтобы силовое поле было потенциальным,
необходимо и достаточно выполнение условия
Fx
y
Fy
x
,
Fy
z
Fz
y
,
Fz
x
Fx
z
Slide 14
Если все действующие на систему силы являются
потенциальными, то существует такая силовая функция
U, которая зависит от координат точек системы
(xk, yk, zk), что
A
k
U
k
A
k
k
U
U
q1
q1
U
q2
q2
U
q s
qs
Slide 15
Если все действующие на систему силы потенциальны,
то обобщенные силы равны частным производным от
силовой функции U по соответствующим обобщенным
координатам
Q1
U
q1
, Q2
U
q2
,
, Qs
U
q s
Так как потенциальная энергия является П = -U , то
Q1
q1
, Q2
q2
,
, Qs
q s
Slide 16
§ 3. Условия равновесия системы в
обобщенных координатах
Принцип возможных перемещений в обобщенных
координатах
Q1 q 1 Q 2 q 2
Q s q s 0,
т.к. δqi независимы между собой, необходимо, чтобы
Q1 0, Q 2 0,
, Qs 0
Slide 17
Для равновесия механической системы необходимо и
достаточно, чтобы все обобщенные силы,
соответствующие выбранным для системы
обобщенных координат, были равны нулю
Число условий равновесия (**) равно числу обобщенных
координат, т.е. числу степеней свободы системы
Slide 18
В случае потенциальной силы условия (**) запишутся
U
q1
0,
U
q2
0,
,
U
q s
0
или
q1
0,
q2
0,
,
q s
0
Slide 19
При равновесии полный дифференциал функций
U или П равны нулю
U q1 , q 2 ,
, qs 0
q1 , q 2 ,
, qs 0
или
Система, на которую действуют потенциальные силы,
в тех положениях, для которых силовая функция или
потенциальная энергия системы имеет экстремум,
находится в равновесии
Slide 20
§ 4. Уравнения Лагранжа
Найдем уравнения движения механической системы
в обобщенных координатах
Вспомним п-п Даламбера-Лагранжа
A
a
k
A
ин
k
0
Рассматривать будем общую задачу, т.е. в первую
сумму будут входить не только работы активных сил,
но и сил трения
Slide 21
Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение
определяется обобщенными координатами qk, тогда
A
Q1 q1 Q 2 q 2
a
k
Q sq s
Для сил инерции тоже можно перейти к обобщенным
силам инерции, тогда
где
ин
Ak
Q
ин
1
ин
Q1 q1
F
ин
k
ин
Q 2 q 2
rk
q1
;
;Q
ин
s
ин
Q s q s
F
ин
k
rk
qs
Slide 22
Тогда
Q
1
Q
ин
1
q
1
Qs Q
ин
s
q
s
0
− п-п Даламбера-Лагранжа,
т.к. δqk независимы, то, следовательно,
Q1 Q1
ин
Вспомним, что
0;
ин
Fk
; Qs Qs
mk ak mk
ин
0
Vk
dt
Slide 23
следовательно,
Q
ин
1
m
dV k
k
dt
rk
q1
Вспомним, что
rk dV k rk
d
d rk
Vk
Vk
dt
q1
dt q1
dt q1
,
тогда
d
rk
d rk
Vk
Vk
dt q1 dt
q1
dt q1
dV k
rk
Slide 24
Докажем необходимые равенства
I) Вспомним, что
и
Vk
тогда
drk
dt
rk rk q1 , q 2 ,
rk
q1
Vk
q1
qk
rk
q1
, qs
rk
q s
qs ,
Slide 25
II) Т.к. операции полного дифференцирования по времени
и частного по обобщенным координатам
переместительны, то d rk
drk V k
dt q1 q1 dt
q1
d rk V k
,
dt q1 q1
тогда
и
dV k rk
d
rk
d rk d 1 V k 2 1 V k 2
Vk
Vk
dt q1 dt
q1
dt q1 dt 2 q1 2 q1
,
Slide 26
1 Vk 2
2
q
1
и
т.к.
2
dV k rk
d 1 Vk
dt 2 q1
dt q1
Vk V ,
2
2
k
то
ин
Q1
2
d m kV k
dt q1 2
2
m kV k
q1 2
Т – кинетическая энергия
d T T
dt q1 q1
Slide 27
Для других обобщенных сил инерции можно записать
аналогичные выражения. Тогда
ин
1
Q1 Q
0,
, Qs
ин
Qs
0
запишутся
d T T
Q1 ,
dt q1 q1
d T T
,
Qs
dt q s q s
Получили дифференциальные уравнения движения
системы в обобщенных координатах или уравнение
Лагранжа для голономных систем
Slide 28
Вид и число этих уравнений не зависят ни от количества
тел (или точек), входящих в систему, ни от того, как эти
тела движутся
Число уравнений Лагранжа определяется только числом
степеней свободы системы
При идеальных связях обобщенные активные силы Qi и
эти уравнения позволяют заранее исключить все
наперед неизвестные реакции связей
Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные
дифф. уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат
Slide 29
Основная задача динамики в обобщенных координатах
I) Зная обобщенные силы и начальные условия, найти
закон движения системы в виде
q1 f 1 t , q 2 f 2 t ,
, qs fs t
В случае потенциальных сил
d T T
0
dt q1 q1
q1
Slide 30
Сделаем преобразования
d T T
0
dt
q1
q1
Если введем функцию Лагранжа
(кинетический потенциал), то
L T
d L L
0
dt q1 q1
Глава 5
Уравнения динамики системы в
обобщенных координатах
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
§ 2. Обобщенные силы
§ 3. Условия равновесия системы в обобщенных
координатах
§ 4. Уравнения Лагранжа
Slide 2
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
Будем рассматривать системы с голономными
связями (геометрические и интегрируемые
дифференциальные)
В этом случае число независимых координат,
определяющих положение системы, совпадает с числом
степеней свободы системы
Slide 3
Независимые между собой параметры любой
размерности, число которых равно числу степеней
свободы системы и которые однозначно определяют ее
положение, называют обобщенными координатами
системы ( q1, q2, … , qs )
Координаты q1, q2, … , qs независимы, значит, и
элементарные приращения δq1, δq2, … , δqs
независимы между собой. При этом каждая из них
определяет независимое от других возможное
перемещение системы
Slide 4
При переходе от одной системы координат к другой
можно установить связь между ними
хк = хк (q1, q2, … , qs)
Для радиус-вектора rk k-ой точки системы
rк = rк (q1, q2, … , qs)
Если система движется, то и обобщенные координаты
будут изменяться со временем
q1= f1(t), q2=f2(t), … , qs=fs(t) (1)
(1) – кинематические уравнения движения системы в
обобщенных координатах
Slide 5
Производные от обобщенных координат по времени
называются обобщенными скоростями системы
q1
dq1
dt
,
q2
dq 2
dt
,
, qs
dq s
dt
(2) – уравнения скорости движения системы в
обобщенных координатах
Размерность обобщенной скорости зависит от
размерности обобщенной координаты
.
(2)
Slide 6
§ 2. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему из n материальных
точек, на которую действуют силы
F1 , F 2 ,
, Fk
Система имеет s степеней свободы, и ее положение
определяется обобщенными координатами q1, q2, … , qs
Slide 7
Сообщаем системе некоторое возможное перемещение,
такое, что координата q1 получает приращение δq1, а
остальные не изменяются.
Тогда каждый из радиус-векторов rk точек системы
получит элементарное приращение (δrk)1 , которое
вычисляется как частный дифференциал
rk 1
rk
q1
q1 ,
т.к. rk=rk(q1,
q2, … , qs)
Slide 8
Вычислим сумму элементарных работ всех действующих
сил на рассматриваемом перемещении
A1 F1 r1 1
F1
r1
q1
q1
r1
F1
q1
Fn rn 1
Fn
rn
q1
q1
rn
Fn
q1
q1
A1 Q1 q1
Slide 9
Величину Q1 называют обобщенной силой,
соответствующей координате q1,
Q1
F
k
k
rk
q1
Сообщая системе другое независимое возможное
перемещение, при котором изменяется только
координата q2, получим
A2 Q 2 q 2 ,
где Q2 – обобщенная сила , соответствующая q2
Slide 10
Если системе сообщить такое возможное перемещение,
при котором одновременно изменяются все ее
обобщенные координаты, то сумма элементарных работ
приложенных сил на этом перемещении
A
k
Q1 q 1 Q 2 q 2
Q s q s
3
k
(3) – полная элементарная работа всех действующих на
систему сил в обобщенных координатах
Slide 11
Обобщенные силы – это величины, равные
коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении полной элементарной работы
действующих на систему сил
Если все наложенные связи идеальные, то работу
совершают только активные силы
Q1 , Q 2 ,
Q
, Qs
A
q
− обобщенные активные силы
системы
− размерность обобщенной силы
системы зависит от [q]
Slide 12
Чтобы решить прямую задачу динамики, т.е. найти
обобщенные силы, нужно
1. Установить число степеней свободы системы
2. Выбрать обобщенные координаты
3. Изобразить все активные силы и силы трения, если
они совершают работу
4. Сообщить системе такое перемещение, при котором
изменяется только одна координата. Задав ей
положительное приращение, вычислить сумму
элементарных работ на этом перемещении, записав
ее в виде
A1 Q1 q1 ,
тогда коэффициент при δq1 даст искомую величину
5. Аналогично вычисляются остальные обобщенные
силы системы Q2, Q3, …, Qs
Slide 13
Область, в каждой точке которой на помещенную туда
материальную частицу действует сила, зависящая от
положения этой точки, называется силовым полем
Чтобы силовое поле было потенциальным,
необходимо и достаточно выполнение условия
Fx
y
Fy
x
,
Fy
z
Fz
y
,
Fz
x
Fx
z
Slide 14
Если все действующие на систему силы являются
потенциальными, то существует такая силовая функция
U, которая зависит от координат точек системы
(xk, yk, zk), что
A
k
U
k
A
k
k
U
U
q1
q1
U
q2
q2
U
q s
qs
Slide 15
Если все действующие на систему силы потенциальны,
то обобщенные силы равны частным производным от
силовой функции U по соответствующим обобщенным
координатам
Q1
U
q1
, Q2
U
q2
,
, Qs
U
q s
Так как потенциальная энергия является П = -U , то
Q1
q1
, Q2
q2
,
, Qs
q s
Slide 16
§ 3. Условия равновесия системы в
обобщенных координатах
Принцип возможных перемещений в обобщенных
координатах
Q1 q 1 Q 2 q 2
Q s q s 0,
т.к. δqi независимы между собой, необходимо, чтобы
Q1 0, Q 2 0,
, Qs 0
Slide 17
Для равновесия механической системы необходимо и
достаточно, чтобы все обобщенные силы,
соответствующие выбранным для системы
обобщенных координат, были равны нулю
Число условий равновесия (**) равно числу обобщенных
координат, т.е. числу степеней свободы системы
Slide 18
В случае потенциальной силы условия (**) запишутся
U
q1
0,
U
q2
0,
,
U
q s
0
или
q1
0,
q2
0,
,
q s
0
Slide 19
При равновесии полный дифференциал функций
U или П равны нулю
U q1 , q 2 ,
, qs 0
q1 , q 2 ,
, qs 0
или
Система, на которую действуют потенциальные силы,
в тех положениях, для которых силовая функция или
потенциальная энергия системы имеет экстремум,
находится в равновесии
Slide 20
§ 4. Уравнения Лагранжа
Найдем уравнения движения механической системы
в обобщенных координатах
Вспомним п-п Даламбера-Лагранжа
A
a
k
A
ин
k
0
Рассматривать будем общую задачу, т.е. в первую
сумму будут входить не только работы активных сил,
но и сил трения
Slide 21
Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение
определяется обобщенными координатами qk, тогда
A
Q1 q1 Q 2 q 2
a
k
Q sq s
Для сил инерции тоже можно перейти к обобщенным
силам инерции, тогда
где
ин
Ak
Q
ин
1
ин
Q1 q1
F
ин
k
ин
Q 2 q 2
rk
q1
;
;Q
ин
s
ин
Q s q s
F
ин
k
rk
qs
Slide 22
Тогда
Q
1
Q
ин
1
q
1
Qs Q
ин
s
q
s
0
− п-п Даламбера-Лагранжа,
т.к. δqk независимы, то, следовательно,
Q1 Q1
ин
Вспомним, что
0;
ин
Fk
; Qs Qs
mk ak mk
ин
0
Vk
dt
Slide 23
следовательно,
Q
ин
1
m
dV k
k
dt
rk
q1
Вспомним, что
rk dV k rk
d
d rk
Vk
Vk
dt
q1
dt q1
dt q1
,
тогда
d
rk
d rk
Vk
Vk
dt q1 dt
q1
dt q1
dV k
rk
Slide 24
Докажем необходимые равенства
I) Вспомним, что
и
Vk
тогда
drk
dt
rk rk q1 , q 2 ,
rk
q1
Vk
q1
qk
rk
q1
, qs
rk
q s
qs ,
Slide 25
II) Т.к. операции полного дифференцирования по времени
и частного по обобщенным координатам
переместительны, то d rk
drk V k
dt q1 q1 dt
q1
d rk V k
,
dt q1 q1
тогда
и
dV k rk
d
rk
d rk d 1 V k 2 1 V k 2
Vk
Vk
dt q1 dt
q1
dt q1 dt 2 q1 2 q1
,
Slide 26
1 Vk 2
2
q
1
и
т.к.
2
dV k rk
d 1 Vk
dt 2 q1
dt q1
Vk V ,
2
2
k
то
ин
Q1
2
d m kV k
dt q1 2
2
m kV k
q1 2
Т – кинетическая энергия
d T T
dt q1 q1
Slide 27
Для других обобщенных сил инерции можно записать
аналогичные выражения. Тогда
ин
1
Q1 Q
0,
, Qs
ин
Qs
0
запишутся
d T T
Q1 ,
dt q1 q1
d T T
,
Qs
dt q s q s
Получили дифференциальные уравнения движения
системы в обобщенных координатах или уравнение
Лагранжа для голономных систем
Slide 28
Вид и число этих уравнений не зависят ни от количества
тел (или точек), входящих в систему, ни от того, как эти
тела движутся
Число уравнений Лагранжа определяется только числом
степеней свободы системы
При идеальных связях обобщенные активные силы Qi и
эти уравнения позволяют заранее исключить все
наперед неизвестные реакции связей
Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные
дифф. уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат
Slide 29
Основная задача динамики в обобщенных координатах
I) Зная обобщенные силы и начальные условия, найти
закон движения системы в виде
q1 f 1 t , q 2 f 2 t ,
, qs fs t
В случае потенциальных сил
d T T
0
dt q1 q1
q1
Slide 30
Сделаем преобразования
d T T
0
dt
q1
q1
Если введем функцию Лагранжа
(кинетический потенциал), то
L T
d L L
0
dt q1 q1