Transcript Использование уравнений окружности и прямой при решении

Презентация на тему
использование уравнений
окружности и прямой при
решении задач
Работу выполнила
Ученица 9 А класса
Шевченко Виктория
План:
Цели:
•Повторить уравнение окружности и прямой.
•Показать применение уравнений окружности и
прямой при решении задач.
•Совершенствование навыков решения задач
методом координат.
№981
Дано:
Точки А и В
Найти:
Множество всех точек, для каждой из которых
расстояние от точки А
в два раза больше расстояния от точки В.
А)
В)
М(х; у)
A(0;0)
В(a;0)
Решение:
Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке а).Тогда
точки А и В имеют координаты А(0;0), В(а;0), где а=АВ.
Найдём расстояние от произвольной точки М(x;y) до точек А и В:
AM=√х2 + у2, ВМ = √(х - а)2 + у2
Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ=2ВМ, или АМ=4ВМ.
Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению: х2 + у2 = 4((х - а)2 + у2).
Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не
удовлетворяют этому уравнению.
Следовательно, уравнение и есть уравнение искомого множества точек в выбранной
системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим
образом, приводим уравнение к виду (х – 4/3а)2 + у2 = (2/3а)2.
Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3а с
центром в точке С(4/3а;0). Эта окружность изображена на рисунке б).
Замечание:
Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих
условию АМ=kВМ, где k – данное положительное число, не равное единице,
является окружностью радиуса ka /│k2 - a│с центром в точке ( k2 a/k2 -1;0).
Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют
окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим
математиком Аполлонием в его трактате “О кругах” в II в.до н.э.
Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества
всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем,
является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
№982(а)
Дано:
Точка В – середина отрезка АС,
АС = 2
Найти:
Множество всех точек М, для каждой из которых АМ + ВМ + СМ = 50.
у
А
В
М
С
х
Решение:
Введём систему координат так, чтобы АСЄОХ, В – начало координат,
получим: А(-1;0), С(1;0), М(х;у).
АМ2 = (х+1)2 + у2
ВМ2 = х2 + у2
СМ2 = (х-1)2 + у2
(х+1)2 + у2 + х2 + у2 + (х-1)2 + у2 = 50
х2 + 2х + 1 + 3у2 + х2 + х2 – 2х + 1 = 50
3 х2 + 3у2 + 2 = 50
3х2 + 3у2 = 48
х2 + у2 = 16 – окружность с центром В (0;0) и R = 4
Литература:

Геометрия, 7-9, Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.