Transcript Материалы к уроку

Векторно-координатный
метод:
от знания к пониманию
Сущность геометрии в её методе,
где строгость вывода соединяется с
наглядными представлениями.
А.Д. Александров
Цели урока:
отработка отдельных компонентов
векторно- координатного метода и
получение алгоритма применения
метода в целом
Математический диктант
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

i
а)Координаты
.
б)А(-3; 0; 0). Укажите, где расположена эта точка.




а
в) а  2i  3 j .
Запишите координаты вектора .

г) m  .2 b Укажите взаимное расположение m и в .


д) а ={-1; 0; 1}. Разложите по базисам i , j , k .
е)Сформулируйте
определение скалярного произведения


векторов а и в .
  
ж)М(х; у; z). Разложите вектор ОМ по базису i , j ,.k
з)Где находится точка К(5; 0; -3)?
и)Границы угла между векторами.
к)Координаты середины отрезка по координатам его концов.
л)Длина вектора по его координатам.
м)Формула расстояния между точками.
Проверка домашнего задания
 №7.064. Определите вид
четырёхугольника АВСD, если А(-1; 2; -3),
В(-5; 2; 1), С(-9; 6; 1), D(-9; 10; -3).
 №7.070. Даны точки А(3; 1; 5) и В(-2; 2; 4).
Найдите на оси аппликат все такие точки
С, что треугольник АВС – равнобедренный.
 №7.071. Найдите четвёртую вершину
правильного тетраэдра РАВС, если А(0; 0;
4), В(0; 4; 0), С(4; 0; 0).
• 1.Нужно ли выбирать систему координат при
решении задач векторным методом?
• Что позволяет сделать при решении задачи
удачный выбор системы координат?
• Как выбирается система координат? Можно
ли дать рекомендации по её выбору?
• Нужно ли выбирать систему координат, если
задача звучит так:

• а) Найдите угол между векторами а ={1; 2} и

в ={-3; 1}.
• б) Четыре точки заданы своими
координатами А(3; 1), В(1; 4), С(1; 0) и D(4; 5).
Найдите угол между прямыми АВ и СD.
2
1
С–
середина
АВ
Прямые АВ и МК
параллельны
3
А, В, С и D лежат в
плоскости α
Запишите утверждение на векторном и координатном
языках
АВ  РК  0
АВ  СD
АМ    МВ
Сделайте все возможные выводы из этого равенства и, по возможности,
сконструируйте модели
Решите задачу векторным методом
• Для 1-й группы: (6.066)
• Докажите, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны, используя векторы.
• Для 2-й группы: (6.067)
• В тетраэдре РАВС рёбра АР и ВС, а также АВ и СР
взаимно перпендикулярны. Докажите
перпендикулярность рёбер АС и ВР, используя
векторы.
• Для 3 –й группы: (6.084)
• Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды
РАВСD имеют длину, равную 1. Найдите угол между
векторами РМ иDК, где точки М и К – середины рёбер
соответственно ВС и СР.
Основные компоненты векторного метода
решения задач
 1.Перевод условия задачи на язык векторов:
 - выбор системы координат (если это





необходимо);
-выбор базисных векторов;
-разложение всех введенных векторов по
базисным.
2.Составление векторного равенства (или
системы равенств).
3.Упрощение векторных равенств или замена их
алгебраическими уравнениями (или системой
уравнений) и их решение.
4.Объяснение геометрического смысла
полученного результата.
Основные компоненты координатного
метода решения задач
 1.Выбрать систему координат.
 2.Найти координаты нужных точек,
векторов или составить уравнения
нужных фигур.
 3.Сформулировать задачу с помощью
координат, решить её и сделать
вывод без использования координат.
Признак перпендикулярности
прямой и плоскости




Дано:
а  р, а q; р пересекает

q в точке О; р и q лежат
в плоскости α.
Доказать:
а α(то есть доказать,
что а  m, где m –
произвольная прямая
плоскости α).
Доказательство:


Перевод условия и заключения
теоремы на векторный язык.
направляющие
векторы прямых.

   
а, р, q, m
а
р
m
Оq
Дано:α
    
а

р
, а  q , р и q принадлежат α


m принадлежит α.







Доказать:


а  m.
Доказательство:


 
1) а  р ↔ а  р =0.


 
а

q
а
2)
↔  q =0.


 



3) а  m  а  ( х р  у q )  0 ↔а  m →
а  m→ а  α, что и
требовалось доказать.
а

а
р
р
О
α
m
m

q
q
Домашнее задание
 1.Найти и решить задачи (2-3), где
прослеживается применение
векторного аппарата в физике,
технике, химии, лингвистике.
 2. №466 Решите задачу двумя
методами