Transcript Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine

Lineaarvõrrandisüsteemi
lahendamine determinandi abil
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
Avaldist kujul ad-bc nimetatakse kaherealiseks
determinandiks ja kirjutatakse tabelina , milles
on kaks rida ja kaks veergu
a b
 ad  bc
c d
Näiteks
3 5
 3  4  2  5  12  10  2
24
6 1
3
2
 6  2  3   1  12  3  15
Kahe tundamatuga lineaarvõrrandisüsteemi
a1 x  b1 y  c1

 a 2 x  b2 y  c 2
lahendamiseks determiantide abil
a1 b1
a) leia võrrandisüsteemi determinant
c1 b1
c1 b 2 c2 b1
b) leia Dx 
c2 b 2
c) leia
Dy 
a1
c1
a2
c2
a2
b2
a1 b 2 a2 b1
a1 c 2 a2 c1
Dx
x

d) leia tundmatute väärtused
D
e) Kontrolli lahendit.
ja
y
Dy
D
 x  ..........
f)Kirjuta välja võrrandisüsteemi lahend 
 y  ..........
Pea meeles, et
a) võrrandisüsteemil on üks lahend, kui D  0 ja
a1 b1

a 2 b2
b) võrrandisüsteemil on lõpmatult palju lahendeid,
kui D=0, Dx=0 ja Dy= 0 ning
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
c) võrrandisüsteemil pole lahendeid, kui D=0, Dx  0 ja
Dy  0 ning
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
Avaldist kujul a1b2c3  c1a2b3  b1c2a3  c1b2a'3  a2c3b1  b3a1c2
nimetatakse kolmerealiseks determinandiks ja
kirjutatakse tabelina , milles on kolm rida ja kolm
veergu
a1 b1 c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Kolmerealise determinandi väärtust leia Sarruse reegli
põhjal
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
+
+
-
-
-
+
või järgmise reegli järgi
+
+ +
a1 a 2 a 3 a1 a 2
b1 b2 b3 b1 b2
c1 c 2 c 3 c1 c 2
-
-
-
Prantsuse matemaatik
Pierre Frédéric Sarrus
Näide.
 2 4 1  2 4
3  2  1 3  2 =16 + 8 - 9 +4 - 6 – 48 = -35
2 3 4 2 3
Determinandi omadused.
a) Determinandi väärtus ei muutu, kui tema
read ja veerud omavahel vahetada.
b) Determinandi märk muutub vastupidiseks, kui vahetada
kaks rida või kaks veergu omavahel
c) Determinandi väärtus on võrdne nulliga, kui kahe rea
(veeru) elemendid on võrdelised või kahe rea (veeru)
elemendid on võrdsed või üks rida (veerg) on
võrdsed nulliga.
d) determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide
korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub
determinant selle teguriga.
Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi
a1 x  b1 y  c1 z  d1

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
saad lahendada
a) asendusvõttega (ühe tundmatu elimineerimisvõte)
b) determinantide abil (Crameri valemid)
Šveitsi
matemaatik
Gabriel Cramer
(1704-1752)
a1 x  b1 y  c1 z  d1

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
a)Leia võrrandisüsteemi determinant
b)leia Dx
c)leia D y
d1
b1
c1
 d2
b2
c2
d 3 b3
a1 d1
c3
c1
 a2
d2
c2
a3
d3
c3
d)leia
e) tundmatute väärtused x 
a1
b1
c1
D  a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
Dz  a2
b2
d2
a3
b3
d3
Dy
Dx
D
,y
,z  z
D
D
D  x  ..........
e) Kontrolli tulemust ja kirjuta välja lahend

 y  ..........
 z  ..........

Pea meeles, et võrrandisüsteemil lahend puudub või on
lõpmatult palju lahendeid, kui D=0