Slide 1

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c


Slide 2

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c


Slide 3

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c


Slide 4

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c


Slide 5

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c


Slide 6

Vektorite komplanaarsus
Heldena Taperson
www.welovemath.ee

• Kaks mittekollineaarset vektorit, mille kaudu on
avaldatav iga vektor tasandil, on selle tasandi
rihivektorid.
• Vektoreid, mis pärast ühisesse alguspunkti
rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil,
nimetetakse komplanaarseteks ehk
samarihilisteks.
• Komplanaarsed vektorid kuuluvad ühte ja
samasse rihti.

Kolm vektorit on komplanaarsed siis ja ainult siis,
kui nende seas
a) ei ole kahte kollineaarset vektorit ( a ja b )
ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul
c  m  a  n  b ,kus m, n  R;

b) on kaks vektorit kollineaarsed (samasihilised).
Näide. Kontrolli, kas vektorid on komplanaarsed.
a  ( 2 ;1;3 )

b  ( 0 ;  1; 2 )

c  ( 2 ; 3 ;  1)

TEOREEM: Kolm vektorit on komplanaarsed siis
ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest
moodustunud kolmerealine determinant võrdub
nulliga
x1

x2

x3

y1

y2

y3  0

z1

z2

z3

Vektori avaldamine kolme
mittekomplanaarse vektori kaudu.
Ruumi iga vektorit saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
Näide. Avalda vektor m  1; 4 ,5  vektorite
b    1; 0 ,1  ja c  0 ; 2 ,1  kaudu.

a  1;  2 , 0 

1) Kontrolli, kas vektorid a, b ja c on
mittekomlanaarsed.
2) Kuna vektoreid ei ole komplanaarsed (D=4),
siis peavad leiduma reaalarvud r, s ja u nii, et
m  s a  t b  u c

,

Lahenda nüüd võrrandisüsteem
1  s  1  t  0  u  1

 2  s  0  t  2  u  4
0  s  1  t  1  u  5


Lahendiks on

Vastus. Vektor

s  2

t  1
u  4


m

avaldub vektorite a , b ja c kaudu
m  2a  b  4c