Transcript Sirge ja tasand ruumis

Sirgete ja tasandite
vastastikused asendid.
I Tasandid ja sirged eraldi.
Võrrandite lammutamine.
Tasandi võrrandid.
 Tasandi üldvõrrand esitub järgneval kujul:
Ax + By + Cz + D = 0.
 Selle tasandi normaalvektori koordinaadid:
n = ( A ; B ; C ).
n
x y z
+ + =1 α
a b c
Sirge võrrandid.
 Sirge võrranditest võib kätte saada kahe
punkti ja sirge sihivektori koordinaadid.
x - x1 y - y1 z - z1
=
=
sx
sy
sz
x = x1 + sxt
y = y1 + syt
z = z1 + szt
kanoonilised
P2
s ( sx ; s y ; sz )
parameetrilised
P1 ( x1 ; y1 ; z1 )
Võrrandid praktikas.
5x - 3y + 9z - 2 = 0
n=(
;
;
)
x–2 y-4 z+7
=
=
3
-6
9
s=(
P1 (
;
;
;
;
)
)
x y z
+ + =1
6 2 3
n=(
;
;
)
x = 1 - 2t
y = 5 + 4t
z = 9 - 8t
s=(
P1 (
P2 (
;
;
;
;
;
;
)
)
)
II Tasandid ja sirged koos.
Lammutussaaduste kasutamine.
Kahe tasandi vastastikused asendid.
A
 Ühtivate
tasandite kõik
võimalikud
omadused on
samad.
 Tasandid kas
lõikavad teineteist (A), on
paralleelsed (B)
või ühtivad.
B
Kahe tasandi vastastikused asendid.
Jah
Kas võrrandis on
vastavad muutujate kordajad
võrdelised?
Ei
Lõikuvad
Kas nii vastavad kordajad
kui ka vabaliikmed on
võrdelised?
Ei
Jah
Paralleelsed
Ühtivad
Kahe sirge vastastikused asendid.
A
C
B
 Sirged on kas ühtivad, paralleelsed (A),
lõikuvad (B) või kiivsirged (C). Ühtivate
sirgete kõik võimalikud omadused on samad.
Kahe sirge vastastikused asendid.
Jah
Kas sihivektorid on
kollineaarsed?
Kas ka punktidevaheline vektor on
nendega kollineaarne?
Jah
Ühtivad
Ei
Paralleelsed
Ei
Kas sihivektorid ja
punktidevaheline vektor on komplanaarsed?
Jah
Lõikuvad
Ei
Kiivsirged
Sirge/tasandi vastastikused asendid.
B
C
A
 Sirge kas lõikab tasandit (A), paikneb sellel
(B) või on sellega paralleelne (C).
Sirge/tasandi vastastikused asendid.
Jah
Kas sirge sihi- ja
tasandi normaalvektori skalaarkorrutis on 0?
Ei
Lõikab
Kas sirge võrrandis antud punkt
asub tasandil?
Ei
Jah
Paralleelne
Paikneb
Paiknemine praktikas.
5x - 3y + 9z - 2 = 0
n = ( 5 ; -3 ; 9 )
x–2 y-4 z+7
=
=
3
-6
9
s = ( 3 ; -6 ; 9 )
P1 ( 2 ; 4 ; -7 )
x y z
+ + =1
6 2 3
n=(1;3;2)
x = 1 - 2t
y = 5 + 4t
z = 9 - 8t
s = ( -2 ; 4 ; -8 )
P1 ( 1 ; 5 ; 9 )
P2 ( -1 ; 9 ; 1 )
Aitäh!
Julius Juurmaa
Bjorn Haruoja