Transcript TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

Colegio Divina Pastora (Toledo)
Vector fijo AB, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A
y su extremo en el punto B.
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

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Módulo: es la longitud del segmento AB, se representa AB
Dirección: es la dirección de la recta que pasa por A y B
Sentido: es la orientación de la recta. En cada dirección hay 2 sentidos: de A
a B y de B a A.

Descartes
Vector fijo nulo: el extremo y el origen coinciden. Es un punto y su módulo
es 0.

Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) dos puntos, las coordenadas cartesianas del
vector AB son B - A = (b1 - a1, b2 – a2)


Descartes
Siendo P un punto del plano, se
 llama vector de posición del punto P al
vector OP que representamos por p


Las coordenadas de un punto son las mismas que las de su vector de posición.
Vectores equipolentes: Tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.

Vector libre del plano: Es el conjunto de todos los
vectores fijos equipolentes a uno de dado y se
representa por u


Suma de vectores libres
Descartes1
Descartes2

Producto de un nº real por un vector
Tiene por módulo el producto del valor absoluto del nº real

no nulo (k) por el módulo del vector k · a
 Tendrá por dirección la misma del vector y por sentido el
mismo si k es positivo, y el opuesto si k es negativo.

 Descartes1
 Descartes 2
Un vector u es combinación lineal de 2 vectores
v y w si existen los números reales a y b tales que
u = av + bw .
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
Descartes

En este caso se dice que u, v y w son linealmente
dependientes
 Siendo i=(1,0) y j=(0,1) cualquier vector libre del
plano puede expresarse como una combinación



lineal de la forma u  u i  u j donde (u1,u2) son las
coordenadas cartesianas de u.
1
2
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


Es un número real y se designa u · v
 
 
u · v = u · v · cos u , v 
Expresión analítica del producto escalar
u · v = xx´ + yy´
 Siendo u=(x,y) y v=(x’,y’)
 Descartes
Módulo de un vector


Es la longitud entre su origen y su extremo. Si el vector tiene
de coordenadas (x,y), utilizando el Teorema de Pitágoras:

u 

x  y
2
2
Ángulo de 2 vectores
 
 
u ·v
cos ( u , v )   
u ·v
Descartes
=
xx ´ yy ´
x  y
2
2
x´  y
2
´2
Dados 2 puntos A y B del plano se llama
distancia de A a B al módulo del vector AB:


d (A, B) =
AB   ( x 2  x 1 )  ( y 2  y 1 )
2
2
 Descartes
Las coordenadas del punto medio de un
segmento AB, con A (x1,y1) y B (x2,y2) son:


Xm= (x1+x2)/2
 Descartes
Ym= (y1+y2)/2

ECUACIÓN VECTORIAL
Si una recta está determinada por un punto A (x1,y1) y un vector no nulo
u=(a,b)


 es la ecuación vectorial de la recta y u, el vector director.

x  a  tu





ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Se obtienen igualando los 2 pares de la ecuación vectorial:
 x  x 1  ta

 y  y 1  tb
ECUACIÓN CONTINUA
Se obtiene despejando t en ambas ecuaciones e igualando:
x  x1

ECUACIÓN GENERAL
a

y  y1
b
Se obtiene operando con la ecuación continua y simplificando. También se
llama Ecuación en forma implícita:
Ax + By + C = 0

 Un vector director será u  (  B , A ) y un punto de la recta será cualquiera que
verifique la ecuación (se da un valor a una de las incógnitas y se resuelve la
ecuación).

 Descartes


ECUACIÓN EXPLÍCITA
Se obtiene despejando la variable Y de la ecuación general:
 y = mx + n; donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
 Si una recta tiene u=(a,b) de vector director, la pendiente m = b/a .
ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO
PENDIENTE


La ecuación de la recta que pasa por A( x1,y1) y tiene de
pendiente m es:
y  y 1  m ( x  x1 )

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA
SEGMENTARIA

Si una recta corta a los ejes en los puntos P (p,0) y Q (0,q) su
ecuación en forma segmentaria es: x
y

 Descartes
p
1
q
2 rectas son secantes si sólo tiene un punto en común, paralelas si
no tiene ningún punto en común y coincidentes si tienen todos los
puntos comunes.
 Podemos hallar la posición de 2 rectas hallando su intersección,
resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones:
- Si tienen 1 solución, las rectas se cortan
- Si no tiene solución, las rectas son paralelas
- Si tienen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
 Otra forma de saber su posición: Descartes

Forma explícita
y = mx+n
r y s secantes
m≠m´
r y s paralelas
m = m´ ; n≠n´
r y s coincidentes
m = m´ ; n = n´
Forma General
Ax+By+C=0
A

A´
A
A´
A
A´


B
B´
B
B´
B
B´


C
C´
C
C´