TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Transcript TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Colegio Divina Pastora (Toledo)
Vector fijo AB, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A
y su extremo en el punto B.
Módulo: es la longitud del segmento AB, se representa AB
Dirección: es la dirección de la recta que pasa por A y B
Sentido: es la orientación de la recta. En cada dirección hay 2 sentidos: de A
a B y de B a A.
Descartes
Vector fijo nulo: el extremo y el origen coinciden. Es un punto y su módulo
es 0.
Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) dos puntos, las coordenadas cartesianas del
vector AB son B - A = (b1 - a1, b2 – a2)
Descartes
Siendo P un punto del plano, se
llama vector de posición del punto P al
vector OP que representamos por p
Las coordenadas de un punto son las mismas que las de su vector de posición.
Vectores equipolentes: Tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.
Vector libre del plano: Es el conjunto de todos los
vectores fijos equipolentes a uno de dado y se
representa por u
Suma de vectores libres
Descartes1
Descartes2
Producto de un nº real por un vector
Tiene por módulo el producto del valor absoluto del nº real
no nulo (k) por el módulo del vector k · a
Tendrá por dirección la misma del vector y por sentido el
mismo si k es positivo, y el opuesto si k es negativo.
Descartes1
Descartes 2
Un vector u es combinación lineal de 2 vectores
v y w si existen los números reales a y b tales que
u = av + bw .
Descartes
En este caso se dice que u, v y w son linealmente
dependientes
Siendo i=(1,0) y j=(0,1) cualquier vector libre del
plano puede expresarse como una combinación
lineal de la forma u u i u j donde (u1,u2) son las
coordenadas cartesianas de u.
1
2
Es un número real y se designa u · v
u · v = u · v · cos u , v
Expresión analítica del producto escalar
u · v = xx´ + yy´
Siendo u=(x,y) y v=(x’,y’)
Descartes
Módulo de un vector
Es la longitud entre su origen y su extremo. Si el vector tiene
de coordenadas (x,y), utilizando el Teorema de Pitágoras:
u
x y
2
2
Ángulo de 2 vectores
u ·v
cos ( u , v )
u ·v
Descartes
=
xx ´ yy ´
x y
2
2
x´ y
2
´2
Dados 2 puntos A y B del plano se llama
distancia de A a B al módulo del vector AB:
d (A, B) =
AB ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 )
2
2
Descartes
Las coordenadas del punto medio de un
segmento AB, con A (x1,y1) y B (x2,y2) son:
Xm= (x1+x2)/2
Descartes
Ym= (y1+y2)/2
ECUACIÓN VECTORIAL
Si una recta está determinada por un punto A (x1,y1) y un vector no nulo
u=(a,b)
es la ecuación vectorial de la recta y u, el vector director.
x a tu
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Se obtienen igualando los 2 pares de la ecuación vectorial:
x x 1 ta
y y 1 tb
ECUACIÓN CONTINUA
Se obtiene despejando t en ambas ecuaciones e igualando:
x x1
ECUACIÓN GENERAL
a
y y1
b
Se obtiene operando con la ecuación continua y simplificando. También se
llama Ecuación en forma implícita:
Ax + By + C = 0
Un vector director será u ( B , A ) y un punto de la recta será cualquiera que
verifique la ecuación (se da un valor a una de las incógnitas y se resuelve la
ecuación).
Descartes
ECUACIÓN EXPLÍCITA
Se obtiene despejando la variable Y de la ecuación general:
y = mx + n; donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
Si una recta tiene u=(a,b) de vector director, la pendiente m = b/a .
ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO
PENDIENTE
La ecuación de la recta que pasa por A( x1,y1) y tiene de
pendiente m es:
y y 1 m ( x x1 )
ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA
SEGMENTARIA
Si una recta corta a los ejes en los puntos P (p,0) y Q (0,q) su
ecuación en forma segmentaria es: x
y
Descartes
p
1
q
2 rectas son secantes si sólo tiene un punto en común, paralelas si
no tiene ningún punto en común y coincidentes si tienen todos los
puntos comunes.
Podemos hallar la posición de 2 rectas hallando su intersección,
resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones:
- Si tienen 1 solución, las rectas se cortan
- Si no tiene solución, las rectas son paralelas
- Si tienen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
Otra forma de saber su posición: Descartes
Forma explícita
y = mx+n
r y s secantes
m≠m´
r y s paralelas
m = m´ ; n≠n´
r y s coincidentes
m = m´ ; n = n´
Forma General
Ax+By+C=0
A
A´
A
A´
A
A´
B
B´
B
B´
B
B´
C
C´
C
C´