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Proporciones
Lic. Helga Kelly Quiroz Chavil
Razón
Cuando se compara 2 magnitudes mediante una
división diremos que esas 2 magnitudes se
encuentran en una razón.
Ejemplo:
sean a y b dos cantidades, entonces una razón
entre a y b es
a:b=
𝑎
𝑏
; y lo leeremos a es a b
Ejemplos:
1. Las edades de 2 personas están en la razón 4 : 7.
¿Qué edad tiene cada una si la diferencia de sus
edades es de 15 años?
2. Un ángulo de 90 grados es dividido en 3 ángulos
que se encuentran en la razón 4 : 5 : 9, ¿Cuál es la
medida de los ángulos?
Proporciones
Cuando tengamos 2 razones igualadas diremos que
tenemos una proporción entre ambas razones
Ejemplo:
Sean a; b; c y d cuatro magnitudes, entonces una
proporción entre ambas razones es
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑑
; y lo leeremos "a es a b como c es a d":
Ejemplos:
1. Calcular:
a)
𝑥
3
b)
𝑥+2
3
=
8
15
=
𝑎 𝑏 𝑐
1 2 3
2. Si = =
9
4
y a + b + c = 36, entonces calcular c –b
3. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son
entre sí como 2 : 5 : 3. Si sus edades suman 30 años,
entonces la edad de Lucía es?
4. Se sabe que x es a 10 como 12 es a 15, hallar x .
Proporcionalidad Directa
Se conoce como proporcionalidad directa, si una
variable aumenta (disminuye), y la otra variable
también aumenta (disminuye) en la misma
proporción.
Ejemplos:
1. En una bolsa, por cada 3 pelotas rojas hay 5
azules. ¿ cuántas pelotas azules hay si en la bolsa
se encuentran 18 pelotas rojas?
2. En un mapa dice que la escala es 1 cm : 2 m
¿cuántos metros representará un camino que en
el mapa mide 12 cm?
Proporcionalidad Inversa
Se conoce como proporcionalidad inversa, si
una variable aumenta (disminuye), y la otra
variable también disminuye (aumenta) en la
misma proporción.
Ejemplo:
1. Dos albañiles levantan una pared en 6 días, ¿
Cuántos días tardarían 4 albañiles para levantar
una pared del mismo tamaño?
2. Un conductor que viaja a 80 km/h tarda 3.5
horas para realizar el viaje. ¿ Cuánto tiempo
tardará si la velocidad fuese 20 km/h?
REGLA DE TRES SIMPLE
Regla de tres Simple Directa
Sean M y N dos magnitudes directamente
proporcionales, con sus respectivos valores:
Ejemplos:
1) Un carro consume 3 galones de gasolina para recorrer
94.5 km ¿cuántos galones necesitará para recorrer
283.5 km?
2) Dos relojes cuestan 150 soles ¿ Cuánto costarán 12
relojes?
3) Si el costo de una fotocopia es de 0.05 céntimos la
cara.¿ Cuánto costará fotocopiar un documento de 37
páginas?
Regla de tres Simple Inversa
Sean M y N dos magnitudes inversamente
proporcionales, con sus respectivos valores:
Ejemplos
1. Una cuadrilla de 12 obreros pueden llenar un
techo en 8 horas ¿Qué tiempo tardarían 15
obreros, en llenar el mismo techo?
2. Diez pintores tardan 16 días en pintar una
vivienda completa. ¿Cuánto tardarán en hacerlo
ocho trabajadores?
3. Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en
80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas.
Regla de tres compuesta
Se genera cuando se comparan tres o mas
magnitudes
Ejemplo:
1. 12 gatos comen 30 pericotes en 75 segundos, 18
gatos en cuantos segundos
pericotes?
comerán
90
Ejemplo:
1. 20 hombres trabajando 9 horas diarias pueden
hacer una obra en 15 días. 18 hombres, en
cuántas horas diarias pueden hacer la obra en
25 días?
2. 3 hombres trabajando 8 horas diarias pueden
hacer 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántas días necesitarán 5 hombres
trabajando 6 horas diarias para hacer 60
metros de la misma obra?
El tanto por ciento representa el
número de centésimas partes iguales
que se consideran de una cantidad
REPRESENTACIÓN
MATEMÁTICA
a
a% 
100
EJEMPLOS:
a. 
4
4% 
100
b. 
23
23% 
100
CASO GENERAL
Caso I:
Hallar el tanto por ciento de un
número.
Ejemplo:
Hallar el c% de “d”:
c% de d =
c
cxd
xd 
100
100
Ejemplo:
Calcular el 20% de 80
SOLUCIÓN:
20% de 80
20
x80  2(8)  16
100
Ejercicio 1:
1. a.- Calcula el 30% de 130.
2. b.- Calcula el 130% de 75.
3. c.- Calcula el 45% de 2000.
4. d.- Calcula el 1,2% de 40.
Caso II:
Dados dos números, que tanto por
ciento es uno de ellos respecto al
otro.
Ejemplo:
Qué % de 25 es 4?
Ejercicio
1. Qué % de 25 es 4?
2. ¿Qué % de 200 es 8?
3. ¿Qué % de 1000 es 20?
4. ¿Qué % de 500 es 10?
5. ¿Qué % de 2500 es 40?
CasoIII:
Dado un número, hallar un % de él.
Expresión General:
¿El “C” % de que número es “d”?
c% de que número es d
dx100
N
c
Ejemplo:
El 20% de qué número es 4?
20% de qué número es 4
dx100
N
c
Donde
c=20
d=4
Reemplazando en:
Ejercicio
3
a.- El 45% de qué número es 90?
b.- El 30% de qué número es 27?
c.- El 25% de qué número es 12?
d.- El 10% de qué número es 25?
PARTE II:
AUMENTOS Y
DESCUENTOS
Ejemplos:
1. Jorge dispone de 85,80 soles. Si gasta el 25%
de su dinero, ¿Cuánto le queda?
2. El precio de costo de un artículo es S/. 1 200
y se desea ganar el 20%. ¿A cuánto se debe
vender dicho artículo?
3. Un artículo se vendió en 9 000 ganando el
80%. ¿Cuál fue el costo?
Aumento Sucesivo
Para dos aumentos sucesivos
del a% más b% el aumento
único (AU) equivalente es:
a .b

A.U  a  b 
%

100


Ejemplo 1:
Dos aumentos sucesivos del
20% y 30%, equivalen a un
aumento único del:
SOLUCION:
20% y 30%
a .b

A.U  a  b 
%

100


SOLUCION:
30 . 20 

AU  30  20 
%

56%

100 

EJERCICIO
1. Dos aumentos sucesivos del 40% y 50%
equivalen a un aumento único del
2. Dos aumentos sucesivos del 10% y 30%,
equivalen a un aumento único del:
Descuento Sucesivo
Si tenemos dos descuentos
sucesivos del a% más el b% se
verifica que el descuento único
(DU) equivalente será:
a.b 

DU  a  b 
%

100 

Ejemplo 1:
El descontar
sucesivamente el 20%
más el 25% equivale a:
20% y 25%
a.b 

DU  a  b 
%

100 

Donde:
a=20
b=25
Reemplazar en:
Ejercicio
1. El descontar sucesivamente el 15% más el
35% equivale a:
2. El descontar sucesivamente el 50% más el
20% equivale a: