Proporcionalidad. Regla de tres



Razón y proporción numérica



Magnitudes directamente proporcionales



Regla de tres simple directa



Magnitudes inversamente proporcionales



Regla de tres simple inversa



Problemas de porcentajes

Proporcionalidad. Regla de tres

Razón y proporción numérica

La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: La razón entre 0,15 y 0,3 es

0 , 15 0 , 3



15 30



1 2 10



5 2

Razón

entre dos números a y b es el cociente

a b Los números 2, 5 y 8, 20 forman una

proporción

, pues sus razones son iguales. Es decir:

2 5



8 20 Los números a, b y c, d forman una

proporción

si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir:

a c b  d

Se lee “

a es a b como c es a d

”

A

a

y

d

se les llama

extremos

. A

b

y

c

se les llama

medios.

a b  c d

El producto de los extremos es igual al producto de los medios

.

ad

=

bc

Proporcionalidad. Regla de tres

Magnitudes directamente proporcionales (I)

Ejemplo: Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer?

Observa:

Sacos:

Fíjate:

Kilos:

1 saco 1 20 20 kg 2 sacos 2 40 40 kg 3 sacos 3 60 60 kg

?

sacos

?

?

520 520 kg Habrás advertido que:

1 20



2 40



3 60



...



?



520 20



26

La

constante de proporcionalidad

para pasar de sacos a kilogramos es 20.

En general, si dos magnitudes son tales que a

doble, triple

… cantidad de la primera corresponde

doble, triple

… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son

directamente proporcionales

.

Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios

.

Proporcionalidad. Regla de tres

Magnitudes directamente proporcionales (II )

Ejercicio

Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares? ¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros? Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego:

Dólares:

1 2 3

En definitiva:

doláres euros

 1 0 , 95

Euros:

0,95 2 · 0,95 = 1,9 3 · 0,95 = 2,85 (dólares) · 0,95 = euros.

Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares), luego Para pasar de dólares a euros se multiplica por 0,95.

Para pasar de euros a dólares x = 20 : 0,95 = 21,05 se divide por 0,95 20 euros = 21,05 dólares .

Proporcionalidad. Regla de tres

Regla de tres simple directa

Ejemplo.

En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal?

La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales.

La proporción establecida es:

litros de agua gramos de sal



50 1300

Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal, se verifica la proporción: 50  x

50 · 5200

1300 5200 50 · 5200 = 1300 x

x



1300



200

Disposición práctica

En

50

litros hay

1300

g de sal En

x

litros habrá

5200

g de sal

50

l

1300

g

x

l

5200

g x  50 · 5200  200 1300 Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de

regla de tres simple directa

.

Proporcionalidad. Regla de tres

Magnitudes inversamente proporcionales Ejemplo : Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

Observa:

Doble de 3 Triple de 3

Hombres:

Fíjate:

Días:

3

3 · 24 = 72

6

6 · 12 = 72

9

9 · 8 = 72

24 12

Mitad de 24

8

Un tercio de 24

18 ?

18 Si dos magnitudes son tales que a

doble, triple

… cantidad de la primera corresponde

la mitad, la tercera parte

… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son

inversamente proporcionales

.

Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres?

Proporcionalidad. Regla de tres

Regla de tres simple inversa

Ejemplo.

Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc.

Por tanto, las magnitudes

número de vacas

y

número de días

son

inversamente proporcionales .

Vacas:

Días:

220 45 450 x

220 · 45 = 450 · x

x = 22 220

vacas tienen para

45

días

450

vacas tendrán para

x

días

Disposición práctica 220

vacas

45

días

450

vacas

x

días x  220 · 45  22 450 Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente proporcionales se conoce con el nombre de

regla de tres simple directa

.

Proporcionalidad. Regla de tres

Problemas de porcentajes (I) Ejemplo1

.

En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar?

Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80.

Aplicando la regla de tres, se tiene: Si de

100

euros pagamos

80

De

90

euros pagaremos

x 100 90 80 x

x  80 · 90 100  72 Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas.

En la práctica

Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad resultante es lo rebajado.

Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros

Directamente

. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%.

Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros

Proporcionalidad. Regla de tres

Problemas de porcentajes (II) Ejemplo 2

.

Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?

Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.

Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por

100

euros pagamos

116

Por

8200

euros pagaremos

x 100 8200 116 x

x  116 · 8200 100  9512 Por tanto, tendrá que pagar

9512

euros por el coche.

En la práctica

Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total.

Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 =

9512

euros

Directamente

. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.

Se pagarán 8200 · 1,16 =

9512

euros