Transcript proporcionalidad2[1]

Proporciones
Magnitudes
Razones
Proporcionalidad
Cuarta proporcional
Propor. directa

Problemas
Propor. inversa
Problemas
Los tantos por ciento
Propor compuesta
Problemas
Problemas
 Proporción
significa que hay una
correspondencia entre las partes de
una cosa y el todo o entre cosas que
se hallan interrelacionadas. Un dibujo
no está proporcionado cuando sus
partes no guardan relación.

Una razón entre dos números a y b, es el
cociente
a
b
Pueden ser números
cualquiera
Una proporción es la igualdad entre dos
razones.
- La razón entre a y b es a / b
- La razón entre c y d es c / d

a c

b d
Siendo a y d los “extremos” de la
proporción; b y c son los “medios “

Llamamos constante o razón de
proporcionalidad, de una proporción al
cociente de cualquiera de sus razones.
a
b
es la constante y puede ser
cualquier número

Por reducción a la unidad: buscamos el
valor que corresponde a una sola
unidad.

Regla de tres:
Planteamos una proporción entre la
razón de dos cantidades de una de las
magnitudes y la de las dos cantidades
correspondientes de la otra magnitud.

Reducción a la unidad
Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles.
¿Cuánto me hubieran costado 8 chicles?
Se calcula el precio de un chicle 60/5=12 cent
Se calcula el precio de los 8 chicles 8*12=96cent
SE BUSCA EL PRECIO DE UNA CANTIDAD

Regla de tres
Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles.
¿ Cuánto me hubieran costado 8 chicles?
5/8=60/n
n=96
SE PLANTEA UNA PROPORCIÓN ENTRE
LA RAZÓN

Dos magnitudes cuyas cantidades se
corresponden con esta tabla:
Magnitud 1
a
b
c
…
Magnitud 2
d
e
f
…
Son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si se
verifica que:
a/d=b/e=c/f=…=K, siendo k la RAZÓN DE
PROPORCIONALIDAD

Si dos magnitudes son tales que a doble,
triple, mitad , etc , cantidad de la
primera le corresponde respectivamente
doble, triple, mitad , etc , cantidad de la
segunda, entonces se dice que esas
magnitudes son:
DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Ejemplo: Un ciclista recorre 150 kms. en 5 horas.
¿Cuántos recorrerá en 7 horas?
Solución
150 km. -----------------5 horas.
x Km.-----------------7 horas
Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes
directamente proporcionales tenemos la
proporción:
150/x = 5/7
o sea x=150.7/5
x=210Km

Observa la gráfica de una proporción directa. La
altura del agua en la probeta es directamente
proporcional al tiempo que permanece abierto el
grifo.

En el enunciado de cualquier problema
de proporción, los datos
correspondientes a una misma unidad
pueden estar expresados en cualquier
medida, pero……todos tienen que estar
expresados en la misma medida.

Dos magnitudes cuyas cantidades se
corresponden con esta tabla:
Magnitud 1
a
b
c
…
Magnitud 2
d
e
f
…
Son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si se
verifica que:
a.d=b.e=c.f=…=K, siendo k la RAZÓN DE
PROPORCIONALIDAD

Si dos magnitudes son tales que a doble,
triple, mitad , etc , cantidad de la
primera le corresponde respectivamente
la mitad, la tercera parte, el doble , etc ,
cantidad de la segunda, entonces se
dice que esas magnitudes son
INVERSAMENTE PROPORCIONALES.


Una brigada de 8 constructores, en la cual trabajan todos
con las misma eficiencia, ejecuta una cierta obra
trabajando durante 20 días.¿En cuánto tiempo podrían
ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada?
Solución
Disposición de los datos
20 días--------- 8 obreros
x días--------- 2 obreros
ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se
tiene:
20/X =2/8
X= 20.8/2 o sea
X=80 días.
 Magnitudes
directas:
 Al multiplicar una cantidad ,se
multiplica la otra.
 Ejemplo : cuanto más compramos
más nos gastamos.
 Ejemplo: El salario de un obrero y la
duración de su trabajo.
 Magnitudes
inversas:
 Al multiplicar una cantidad se divide
la otra.
 Ejemplo: a más velocidad, menos
tiempo invertido.
 Ejemplo: El número de obreros y el
tiempo que emplean en ejecutar un
trabajo.
1.
2.
PROPORCIÓN DIRECTA
Dos magnitudes M y M´ directamente
proporcionales dan lugar a una gráfica de este
tipo:
Si la gráfica de dos variables es una línea recta que
pasa por el origen de coordenadas, entonces una
variable es directamente proporcional a la otra.

PROPORCIÓN INVERSA
 Si
dos magnitudes son inversamente
proporcionales dan lugar a una
gráfica del tipo: hipérbola

En la tele o la radio habrás oído que un Banco ha
tenido un 7 por ciento de beneficios. Esto quiere
decir que por cada 100 monedas ha conseguido
7 más y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje
de beneficio ha sido el 7 %.
Porcentaje o tanto por ciento quiere decir lo
mismo.

Otro ejemplo: La ley de IVA dice que todos
los comerciantes pagan al Estado un
impuesto del 8 por ciento (8 %) de todas
las ventas. Si una tienda ha vendido 100
euros pagará al Estado 8 euros; si hubiese
vendido 200 euros, tendría que pagar 16
euros.
Un TANTO POR CIENTO o un PORCENTAJE
es una parte de un total de 100
unidades. Se expresa mediante el
símbolo%
 Un procentaje es equivalente a una
razón con denominador 100 y también
al número decimal correspondiente.


Disminuciones:
En varias épocas del año vemos en los comercios el
cartel de rebajas.
Si el cartel dice 20 % esto quiere decir que por
cada 100 monedas que valga el producto me
rebajarán 20 monedas.
Si compro un pañuelo que vale 100 monedas, me
rebajarán 20 y tendré que pagar 80.
DISMINUCIONES
Para hallar el tanto por ciento de una
cantidad se multiplica ese tanto por la
cantidad y se divide por 100.
Así el 20 % de 2500 = (20 x 2500) : 100 =
500.
También se puede hacer así: 2500 x 0,20 =
500.
 Para
hallar la cantidad final de otra a
la que le aplicamos un r % de
disminución multiplicamos esa
cantidad por(1-r/100)
 (1-r/100)
es el ÍNDICE DE VARIACIÓN
DE LA DISMINUCIÓN PORCENTUAL

Incrementos:
Un trabajador ganaba 1580 € al mes en el año
2010. ¿Cuánto ganará al mes en 2011 si el
sueldo ha tenido una subida del 2%?
1580 + 2% de 1580 = 1580 + 0.02 · 1580 = (1+0.02) ·
1580 = 1.02 · 1580 = 1611.60
Ganará 1611.60 € al mes
Un aumento porcentual es añadir un
porcentaje a una cierta cantidad.

Para hallar la cantidad final de otra a la
que le aplicamos un r% de aumento
multiplicamos esa cantidad por(1+r/100)

(1+r/100) es el ÍNDICE DE VARIACIÓN DE
LA INCREMENTO PORCENTUAL
EJEMPLOS
AUMENTO
El precio de una
bicicleta era de
240 euros. A este
precio hay que
añadirle el 16% de
I.V.A. ¿Cuál es el
precio final?
1+0,16 =1,16
240·1,16 =278,40 euros

DISMINUCIÓN
El precio de un
ordenador era de
1200 euros, pero me
han hecho un 15%
de descuento.
¿Cuál es el precio
final?
1- 0,15=0,85
1200·0,85=1020 euros

Se estudia el tipo de proporcionalidad
entre dos magnitudes cuando las otras
permanecen fijas.
 Se iguala la razón que contiene la
incógnita con el producto de las
razones de las otras magnitudes. Si las
magnitudes son inversamente
proporcionales, se invierte la razón
correspondiente.


Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante
24 días, recorre 720 kilómetros. ¿Cuántos días
necesitará para recorrer 432 kilómetros,
caminando 8 horas diarias?
INVERSA
24 días------------10 horas------------720km
x días------------ 8 horas-------------432km
DIRECTA
24 8 720
 .
X 10 432
X  18 días