Transcript 守恒定律
第三章 守 恒 定 律 引言 牛顿第二定律力与运动的 瞬时关系式： F ma d v d r 微分形式：F m m 2 dt dt 2 力作用于物体，维持一定的时间、空 间，物体运动情况如何？ 力与物体运动的过程关系 牛顿第二定律的积分形式 一、动量定律，动量守恒定律 1、质点的动量定律 牛顿第二定律的积分形式 d v d ( m v ) 由 F ma m dt dt 设 p mv t2 p2 t2 F dt d p F dt p p p 2 1 t1 p1 t1 动量： p mv （方向：v ） 力对时间的冲量 I Fdt （方向：p ） t2 t1 冲量是力对时间的积累作用 质点动量定律: 质点在 t1 至 t 2 时间内，外力作用 在质点上的冲量等于质点在同一时间 内动量的增量。 讨论： （1）牛顿第二定律的一种积分形式 （2）直角坐标系中，定理分 t2 量式 I x Fx dt p x2 p x1 t1 t2 I y Fy dt p y2 p y1 t1 t2 I z Fz dt p z2 p z1 t1 （3）冲力，平均冲力 冲力: 量值大，变化快，作用时间短的变力 t2 平均冲力： F Fdt t1 t 2 t1 F 2、质点系动量定理 几个概念 F o t 1 质点系，外力，内力 设 n 个质点组成的质点系， 其中第 个质点受外力 i 为 Fi外 ，内力为 Fi内 ，由 第二定律得 t2 t Fi外 mi vi Fi内 dpi Fi外 Fi内 dt pi mi vi 对所有质点求和 d m v i i n n i 1 Fi外 Fi内 dt i 1 i 1 n 因内力成对出现，则 Fi内 0；等式两边积分 n t2 t1 i 1 n n Fi外 dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1 i 1 n n n F dt m v m v i i i i0 i 合 t2 i 1 t1 可写成 i 1 I P P0 质点系动量定律：作用于系统的合外 力的冲量等于系统总动量的增量。 讨论： (1)系统的内力不能改变系统的总动量。 定理中不出现系统的内力，因此研究 某些力学问题甚为方便。 （2）质点系动量定律可写成 Fi合 dt dp dp 或 Fi合 dt 即作用于质点系的合外力（微分形式）等 于质点系的总动量随时间的变化率。 3、质点系动量守恒定律： n 若 F 0 则 P mi vi 恒矢量 i合 i 1 动量守恒定律： 当系统合外力为零时，系统 的总动量保持不变。 讨论： （1）合外力为零或不受外力作用系统总 动量保持不变。 （2）合外力不为零，但合力在某方向分 量为零，则系统在该方向上的动量守恒。 （3）系统的内力远大于外力，可忽略外 力，系统动量可视为守恒。 例题1、质量为 m ，速率为 v 的钢球，以与钢板法线呈 角 的方向撞击钢板，并以相同的 速率和角度弹回。设球与钢板 碰撞时间为 t ，求钢板受到 的平均冲力。 解：由质点动量定律，得钢球 I Fdt mv2 mv1 t2 t1 取图示坐标系，则 v x o y v I x mv2 x mv1x 2mv cos I y mv2 y mv1 y 0 I 2mv cos i t Fdt 2 t1 2 mv cos 钢球平均冲力为 F i t t 2 mv cos 钢板受平均冲力为 F F i t 本例题可以用矢量方法直接求得， 图示矢量三角形，得 ( I mv2 mv1 ) mv2 mv1 v o x o x y y mv2 v I mv2 mv1 2mv cosi 例题2、在光滑平面上一质量为m0 速度为 v0 mv2 mv1 2 1 的物体，突然炸裂成质量为 m1 3 m0 和 m2 3 m0 两块物体。设 v1 v0且 v1 2 v0 ，求 2的速 度 v2 。 m 解：分析：合外力为零，动量 守恒。m0v0 m1v1 m2v2 取oxy坐标系，得分量式 2 m0v0 m0v2 cos 3 0 m1v1 m2v2 sin y m0 解得 v2 1.8v0 2 0 tg , 33 41 3 v0 v1 m1v1 同样可用矢量方法直 接求出（图示） m2v2 mv0 mv1 m1o m2 v2 m2v2 m0 v0 x 例题3、质量为 M 的人手中拿 着一质量为 m 的物体。此人用 与水平面成 角的速率 v0 向前 跳去，当他到达最高点时，他将物体以相 对于人为 u 的水平速率向后抛出，问由于 抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？ 解：分析在最高位置时，系统水平方向 y 的动量守恒 u 以地面为参考系， v0 取图示坐标 o x 设人向后抛出物体后水平速率 为 v ，则（哪一式是正确的？） m M v0 cos Mv mu y u m M v0 cos Mv mv0 u v m M v0 cos Mv mv u o v0 cos 0 x x m x v v0 cos u M m m v u M m v0 sin mv0 sin u 则 x vt v g M mg 例题4、系统内质量移动的问题 （变质量问题） 如柔软绳子落到桌面上，火箭 飞行中喷出燃气等运动，由于质量的改变， 牛顿第二定律不再适用，而质点系动量定 理对这类问题的研究提供了方便 火箭的运动： 火箭是依 靠其内部燃烧室中产生的气体 来获得向前的推力的。 设火箭在 t 时刻的质量为 m，速度为 v m v t时间内，有燃气dm以相对 火箭速度 u 喷出，速度增加 t 时刻 到 v dv dm m dm 设系统合外力为 F ， u t t 时刻 v dv 则由动量定理得 Fdt dp m dmv dv dmv dv u mv dv dm Fdt mdv udm F m u dt dt dm dm 其中 dt dt 设火箭高空飞行时 F 0 则 v dv dm m dm m v v0 u ln m u dv u v0 m0 m m0 dt dt m0为起始时刻 t 0 选取 v 的方 向为正向 火箭的质量 m0 t 火箭的质量 m为时刻 v v0 u ln m m0 式中 N 称为质量比 m m0 v u v ln m 采用多级火箭，提高火箭速度 讨论： 设 v0 0 v1 u ln N1 v2 v1 u ln N 2 vn u ln N1 u ln N 2 u ln N n u ln N1 N 2 N n 火箭发射镜头摘录 四、功 1、功 复习：W F cos s 质点在变力作用下，沿曲线路 径 AB dW F cos dr F dr B B B W dW F dr F cos dr A A A F s F B 在直角坐标系中 dr F Fx i Fy j Fz k A F dr dxi dyj dzk B W F dr Fx dx Fy dy Fz dz A 功的性质 （1）功是力对空间的积累作用， 是标量 （2）合力的功等于各分力的功的代数和 W F合 dr F1 dr F2 dr F cos W W1 W2 o r1 dr r2 r （3）功是过程量：功总是和质点的某个运 动过程相联系 W dW F dr F cos dr 2、重力、引力、弹性力的功 （1）重力作功 物体 m 沿路径 A B 过程中 重力的功 B B y2 W dW mg dr mgdy A A y1 y W mgy2 mgy1 y2 重力作功，只与运动物体起 dy 点、终点的位置有关，与路 y1 A 径无关 （2）万有引力作功 o B dr mg x 图示物体 m 在另一物体 m'固 定不动）的引力作用下，沿路 径 A B 过程中引力的功 B m' m B W F dr G 2 er dr A A r 式中 er dr er dr cos dr （请注意 dr dr ！） rB m' m m' m W G 2 dr G 2 dr A rA r r B rB m' rA r A r dr dr m r dr r dr B dr m' m m' m G W G rB rA 万有引力做功只与物体起点、 终点位置有关，而与经历的 路径无关 （3）弹性力作功 设弹簧原长为坐标原点o ，物体由 A 运 动到 B 的过程中弹性力作功 B x2 W F dr kxdx A A x1 1 2 1 2 W kx2 kx1 2 2 o x 1 B x x2 弹性力作功也是与物体起点、终 点位置有关，而与经历的路径无 关 3、保守力 力作功的大小只与物体始末位置有 关，而与所经历的路径无关，这类力称 为保守力 如：重力，弹性力，万有引力，静电力…. 因此，保守力有 W F dr 0 4、势能 （1）势能引入 保守力的功可以用两项之差 的形式表示，每项都是与相互作用物体的 位置有关，因此引入一个与物体位置有关 的能量。 重力势能 E p mgh Mm 引力势能 E p G r 1 2 弹性势能 E p kx 2 因此可以得到保守力的功与势 能的关系式 W E p2 E p1 E p （2）势能的讨论 势能是属于存在保守内力的系统的， 具有保守力才能引入势能的概念。 势能是状态的函数。 势能值的相对性与势能差的绝对值。 （3）势能曲线：势能随物体间 相对位置变化的曲线 由势能曲线或势能函数可以 研究分析物体间的保守力和物体的运动情况 Ep o E p mgh h Ep o 1 2 E p kx 2 x Ep o r Mm E p G r W E p dW dE p dW F dr 由此可分析 F 的大小和方向 五、功能关系 1、质点动能定理 dW F dr F cos dr v 1 由牛顿第二定律 dv A F cos ma m d r dt B dv dW m dr mvdv v2 F dt v2 1 2 1 2 W dW mvdv mv2 mv1 Ek2 Ek1 v1 2 2 合外力对质点所作的功，等于质 点动能的增量。 讨论： （1）动能定理是牛顿第二定律 的另一种积分形式 （2）动能定理反映了过程量与状态量动能 的关系 2、质点系动能定理 系统内有 n 个质点，作用于各质点的 力作功分别为 W1 ,W2 Wn ，各质点初动 能 Ek10 , Ek20 改变为 Ek1 , Ek2 W1 Ek1 Ek10 W2 Ek2 Ek20 n n n W E E i 1 i i 1 ki i 1 ki 0 作用在质点系的力所作的功，等于质点 系的动能增量 作用于系统的力由内力和外力，则 n W i 1 i n n i 1 i 1 W外 W内 Eki Eki 0 3、质点系的功能原理 系统的内力有保守内力和非 保守内力，则W内 W内保 W内非 前面讨论知 W内保 n n E pi E p0 i 1 i 1 将质点动能定理写成 W外 W内非 n n n n Eki E pi Eki 0 E pi 0 i 1 i 1 i 1 i 1 W外 W内非 E E0 作用于质点系的外力和非保守内力所 作的功，等于系统的机械能的增量。 4、机械能守恒定律 若 W外 W内非 0 则 E E0 5、能量守恒定律 例题1、 一半径为 R 的四分之一圆弧 B m R 垂直固定与地面上，质量为 m 的小物体从最高点 B 由静止下 滑至 D点处的速度为 vD ，求 摩擦力所作的功 D 解：方法一： 应用牛顿第二定律，由功 的定义求解 在 C点处物体受力如图， B R F 取自然坐标系得切向分量 F dv m e 式 mg cos F ma m n D v C r t dt et dv mg Fr mg cos m dt dv 所以 dWr Fr dr m dr mg cos dr dt r N D mvdv mg cos Rd D Wr dW B v0 mvdv 2 mgR cos d 0 0 1 2 R B mvD mgR F 2 F m e 方法二：应用质点动能定理求解 C D v e mg 支持力 FN不作功，则 1 2 W p Wr mvD 0 W p mgR 2 1 2 Wr mvD mgR 2 r N n D t 方法三：应用功能原理求解 系统：物体圆轨道，地球 W外 0 W内非 Wr 取 D 点处为重力势能零点，由功能原理得 1 2 Wr mvD mgR R B m 2 讨论：试比较上述三种方法 D 例题2、宇宙速度的计算 第一宇宙速度：由地面处 发射使物体环绕地球运动，所 需的最小速度。 设于地球表面处 RE 发射速 度为 v1 的物体，到达距地面高 度为 h 处，以速度 v 绕地球作 匀速圆周运动，系统机械能守 恒（为什么？） ER ER h m h mE RE 设地球质量为 mE 1 2 mE m 1 2 mE m mv1 G mv G 2 RE 2 RE h 2 v GmE m 又由第二定律，得 m 2 RE h RE h 解得 2GmE GmE v1 RE RE h RE Gm E m v R g 2 则 mg 1 E 2 R h RE E 当 RE h (或 h 0） 3 1 v1 gRE 7.9 10 m s 第二宇宙速度(逃逸速度)：使物体脱 离地球引力范围所需的最小速度 物体脱离地球引力时，引力势能为零， m v2 所以由机械能守恒得 1 2 mE m mE E p Ek mv2 G 0 2 RE 2GmE 3 1 v2 2 gRE 11.2 10 m s RE 黑洞的讨论 对任一星球，若要脱离其 引力范围的最小速度。 2GM v r M 为该星球质量 r 为星球半径 若 v C（光速） 则任何物体都不可能从该星 球中逃逸出来。 例题3、完全弹性碰撞，完全 非弹性碰撞 m1 , m2 ，速度为 v10 设质量为 和v20的弹性小球，沿直线运动，求两球完 全弹性碰撞后的速度 v1和 v2 v10 v20 解：取ox轴，沿x轴方向 m1 m2 动量守恒 v1 v2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 m1 m2 机械能守恒定律有 1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 2 2 2 2 解得 v m1 m2 v10 2m2 v20 1 m1 m2 m2 m1 v20 2m1v10 v2 m1 m2 讨论 （1）m2 m1 且 v20 0 v1 v10 , v2 0，则 v 0 v10 20 （2）m2 m1 且 v20 0 v1 v10 ,v2 2v10，则 v10 v 0 20 （3）m2 m1 v1 v20 ,v2 v10 v10 例题4、一轻质弹簧 k 挂一质量 为 M的圆盘时，伸长 l1 ，一个 质量为 m 的油质球从离盘 h 高 处由静止下落到盘上，然后与 盘一起向下运动，求向下运动 的最大距离 。 A l1 解：本题可分为三个运动过程， 每一过程运用相应的规律。 h M 本题选择： 泥球，圆盘，弹簧和地球为系统 m l2 m M B 明确各个过程： m自由下落 与 M碰撞 m与 M共同向下运动 （1）m 自由下落有 l1 1 2 mv mgh v 2 gh 2 m h （2）m与 M 相碰撞，系统动 M l2 量守恒（为什么？） mv m M V A m M B （3）m和 M共同向下运动，运 动过程机械能守恒(为什么？) 选重力势能零点：最底点(B) 选弹性势能零点：弹簧自然 长度处(A) 1 1 2 2 有 m M V m M gl2 kl1 2 1 2 k l1 l2 2 2 A l1 h Mg Mg kl1，k M l1 mg 2kh 解得 l2 1 1 m M g k m l2 m M B 小结：应用守恒定律解题时的 思路与用牛顿定律解题不同 （1）无需具体分析系统中间过程的受 力细节。 （2）守恒定律形式中只涉及到系统的 始末状态物理量。 （3）解题步骤大致是：选系统，明 过程，审条件，列守恒，解方程。