Transcript 守恒定律
第三章
守 恒 定 律
引言
牛顿第二定律力与运动的
瞬时关系式: F ma
d
v
d
r
微分形式:F m
m 2
dt
dt
2
力作用于物体,维持一定的时间、空
间,物体运动情况如何?
力与物体运动的过程关系
牛顿第二定律的积分形式
一、动量定律,动量守恒定律
1、质点的动量定律
牛顿第二定律的积分形式
d
v
d
(
m
v
)
由 F ma m
dt
dt
设 p mv
t2
p2
t2
F
dt
d
p
F
dt
p
p
p
2
1
t1
p1
t1
动量: p mv (方向:v )
力对时间的冲量
I Fdt (方向:p )
t2
t1
冲量是力对时间的积累作用
质点动量定律:
质点在 t1 至 t 2 时间内,外力作用
在质点上的冲量等于质点在同一时间
内动量的增量。
讨论:
(1)牛顿第二定律的一种积分形式
(2)直角坐标系中,定理分
t2
量式
I x Fx dt p x2 p x1
t1
t2
I y Fy dt p y2 p y1
t1
t2
I z Fz dt p z2 p z1
t1
(3)冲力,平均冲力
冲力:
量值大,变化快,作用时间短的变力
t2
平均冲力:
F
Fdt
t1
t 2 t1
F
2、质点系动量定理
几个概念
F
o t
1
质点系,外力,内力
设 n 个质点组成的质点系,
其中第
个质点受外力
i
为 Fi外 ,内力为 Fi内 ,由
第二定律得
t2 t
Fi外
mi
vi
Fi内
dpi
Fi外 Fi内
dt
pi mi vi
对所有质点求和
d
m
v
i
i
n
n
i 1
Fi外 Fi内
dt
i 1
i 1
n
因内力成对出现,则 Fi内 0;等式两边积分
n
t2
t1
i 1
n
n
Fi外 dt mi vi mi vi 0
i 1
i 1
i 1
n
n
n
F
dt
m
v
m
v
i
i
i
i0
i
合
t2
i 1
t1
可写成
i 1
I P P0
质点系动量定律:作用于系统的合外
力的冲量等于系统总动量的增量。
讨论:
(1)系统的内力不能改变系统的总动量。
定理中不出现系统的内力,因此研究
某些力学问题甚为方便。
(2)质点系动量定律可写成
Fi合 dt dp
dp
或 Fi合
dt
即作用于质点系的合外力(微分形式)等
于质点系的总动量随时间的变化率。
3、质点系动量守恒定律:
n
若 F 0 则 P mi vi 恒矢量
i合
i 1
动量守恒定律:
当系统合外力为零时,系统
的总动量保持不变。
讨论:
(1)合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
(2)合外力不为零,但合力在某方向分
量为零,则系统在该方向上的动量守恒。
(3)系统的内力远大于外力,可忽略外
力,系统动量可视为守恒。
例题1、质量为 m ,速率为 v
的钢球,以与钢板法线呈 角
的方向撞击钢板,并以相同的
速率和角度弹回。设球与钢板
碰撞时间为 t ,求钢板受到
的平均冲力。
解:由质点动量定律,得钢球
I Fdt mv2 mv1
t2
t1
取图示坐标系,则
v
x o
y
v
I x mv2 x mv1x 2mv cos
I y mv2 y mv1 y 0
I 2mv cos
i
t
Fdt
2
t1
2
mv
cos
钢球平均冲力为
F
i
t
t
2
mv
cos
钢板受平均冲力为 F F
i
t
本例题可以用矢量方法直接求得,
图示矢量三角形,得
( I mv2 mv1 )
mv2
mv1
v
o
x o
x
y
y
mv2
v
I mv2 mv1 2mv cosi
例题2、在光滑平面上一质量为m0 速度为 v0
mv2 mv1
2
1
的物体,突然炸裂成质量为 m1 3 m0 和 m2 3 m0
两块物体。设 v1 v0且 v1 2 v0 ,求 2的速
度 v2 。
m
解:分析:合外力为零,动量
守恒。m0v0 m1v1 m2v2
取oxy坐标系,得分量式
2
m0v0 m0v2 cos
3
0 m1v1 m2v2 sin
y
m0
解得 v2 1.8v0
2
0
tg , 33 41
3
v0
v1
m1v1
同样可用矢量方法直
接求出(图示) m2v2 mv0 mv1
m1o
m2
v2
m2v2
m0 v0
x
例题3、质量为 M 的人手中拿
着一质量为 m 的物体。此人用
与水平面成 角的速率 v0 向前
跳去,当他到达最高点时,他将物体以相
对于人为 u 的水平速率向后抛出,问由于
抛出物体,他跳跃的距离增加了多少?
解:分析在最高位置时,系统水平方向
y
的动量守恒
u
以地面为参考系, v0
取图示坐标
o
x
设人向后抛出物体后水平速率
为 v ,则(哪一式是正确的?)
m M v0 cos Mv mu y u
m M v0 cos Mv mv0 u v
m M v0 cos Mv mv u o
v0 cos
0
x
x
m
x
v v0 cos
u
M m
m
v
u
M m
v0 sin mv0 sin
u
则 x vt v
g M mg
例题4、系统内质量移动的问题
(变质量问题)
如柔软绳子落到桌面上,火箭
飞行中喷出燃气等运动,由于质量的改变,
牛顿第二定律不再适用,而质点系动量定
理对这类问题的研究提供了方便
火箭的运动: 火箭是依
靠其内部燃烧室中产生的气体
来获得向前的推力的。
设火箭在 t 时刻的质量为 m,速度为
v
m
v
t时间内,有燃气dm以相对
火箭速度 u 喷出,速度增加
t 时刻
到 v dv
dm m dm
设系统合外力为 F ,
u t t 时刻 v dv
则由动量定理得
Fdt dp m dmv dv dmv dv u mv
dv dm
Fdt mdv udm F m u
dt
dt
dm
dm
其中
dt
dt
设火箭高空飞行时 F 0 则
v
dv dm
m dm m
v v0 u ln
m u
dv u
v0
m0 m
m0
dt
dt
m0为起始时刻 t 0
选取 v 的方
向为正向
火箭的质量
m0
t 火箭的质量
m为时刻
v v0 u ln
m
m0
式中 N 称为质量比
m
m0
v u v ln
m
采用多级火箭,提高火箭速度
讨论:
设 v0 0
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
vn u ln N1 u ln N 2 u ln N n
u ln N1 N 2 N n
火箭发射镜头摘录
四、功
1、功 复习:W F cos s
质点在变力作用下,沿曲线路
径 AB
dW F cos dr F dr
B
B
B
W dW F dr F cos dr
A
A
A
F
s
F
B
在直角坐标系中
dr
F Fx i Fy j Fz k A
F
dr dxi dyj dzk
B
W F dr Fx dx Fy dy Fz dz
A
功的性质
(1)功是力对空间的积累作用,
是标量
(2)合力的功等于各分力的功的代数和
W F合 dr F1 dr F2 dr
F cos
W W1 W2
o
r1 dr
r2
r
(3)功是过程量:功总是和质点的某个运
动过程相联系
W dW F dr F cos dr
2、重力、引力、弹性力的功
(1)重力作功
物体 m 沿路径 A B 过程中
重力的功
B
B
y2
W dW mg dr mgdy
A
A
y1
y
W mgy2 mgy1
y2
重力作功,只与运动物体起 dy
点、终点的位置有关,与路
y1
A
径无关
(2)万有引力作功
o
B
dr
mg
x
图示物体 m 在另一物体 m'固
定不动)的引力作用下,沿路
径 A B 过程中引力的功
B
m' m
B
W F dr G 2 er dr
A
A
r
式中 er dr er dr cos dr
(请注意 dr dr !)
rB
m' m
m' m
W G 2 dr G 2 dr
A
rA
r
r
B
rB
m'
rA r
A
r dr
dr
m
r dr
r
dr
B
dr
m' m
m' m
G
W G
rB
rA
万有引力做功只与物体起点、
终点位置有关,而与经历的
路径无关
(3)弹性力作功
设弹簧原长为坐标原点o ,物体由 A 运
动到 B 的过程中弹性力作功
B
x2
W F dr kxdx
A
A
x1
1 2 1 2
W kx2 kx1
2
2
o x
1
B
x
x2
弹性力作功也是与物体起点、终
点位置有关,而与经历的路径无
关
3、保守力
力作功的大小只与物体始末位置有
关,而与所经历的路径无关,这类力称
为保守力
如:重力,弹性力,万有引力,静电力….
因此,保守力有 W F dr 0
4、势能
(1)势能引入
保守力的功可以用两项之差
的形式表示,每项都是与相互作用物体的
位置有关,因此引入一个与物体位置有关
的能量。
重力势能 E p mgh
Mm
引力势能 E p G
r
1 2
弹性势能 E p kx
2
因此可以得到保守力的功与势
能的关系式
W E p2 E p1 E p
(2)势能的讨论
势能是属于存在保守内力的系统的,
具有保守力才能引入势能的概念。
势能是状态的函数。
势能值的相对性与势能差的绝对值。
(3)势能曲线:势能随物体间
相对位置变化的曲线
由势能曲线或势能函数可以
研究分析物体间的保守力和物体的运动情况
Ep
o
E p mgh
h
Ep
o
1 2
E p kx
2
x
Ep
o
r
Mm
E p G
r
W E p dW dE p dW F dr
由此可分析 F 的大小和方向
五、功能关系
1、质点动能定理
dW F dr F cos dr
v
1
由牛顿第二定律
dv A
F cos ma m
d
r
dt
B
dv
dW m
dr mvdv
v2
F
dt
v2
1 2 1 2
W dW mvdv mv2 mv1 Ek2 Ek1
v1
2
2
合外力对质点所作的功,等于质
点动能的增量。
讨论:
(1)动能定理是牛顿第二定律
的另一种积分形式
(2)动能定理反映了过程量与状态量动能
的关系
2、质点系动能定理
系统内有 n 个质点,作用于各质点的
力作功分别为 W1 ,W2 Wn ,各质点初动
能 Ek10 , Ek20 改变为 Ek1 , Ek2
W1 Ek1 Ek10
W2 Ek2 Ek20
n
n
n
W E E
i 1
i
i 1
ki
i 1
ki 0
作用在质点系的力所作的功,等于质点
系的动能增量
作用于系统的力由内力和外力,则
n
W
i 1
i
n
n
i 1
i 1
W外 W内 Eki Eki 0
3、质点系的功能原理
系统的内力有保守内力和非
保守内力,则W内 W内保 W内非
前面讨论知 W内保
n
n
E pi E p0
i 1
i 1
将质点动能定理写成
W外 W内非
n
n
n
n
Eki E pi Eki 0 E pi 0
i 1
i 1
i 1
i 1
W外 W内非 E E0
作用于质点系的外力和非保守内力所
作的功,等于系统的机械能的增量。
4、机械能守恒定律
若 W外 W内非 0 则 E E0
5、能量守恒定律
例题1、
一半径为 R 的四分之一圆弧 B m R
垂直固定与地面上,质量为 m
的小物体从最高点 B 由静止下
滑至 D点处的速度为 vD ,求
摩擦力所作的功
D
解:方法一:
应用牛顿第二定律,由功
的定义求解
在 C点处物体受力如图, B
R
F
取自然坐标系得切向分量
F
dv
m
e
式 mg cos F ma m
n
D v
C
r
t
dt
et
dv
mg
Fr mg cos m
dt dv
所以 dWr Fr dr m
dr mg cos dr
dt
r
N
D
mvdv mg cos Rd
D
Wr dW
B
v0
mvdv 2 mgR cos d
0
0
1 2
R
B
mvD mgR
F
2
F
m
e
方法二:应用质点动能定理求解 C
D v
e
mg
支持力 FN不作功,则
1 2
W p Wr mvD 0 W p mgR
2
1 2
Wr mvD mgR
2
r
N
n
D
t
方法三:应用功能原理求解
系统:物体圆轨道,地球
W外 0 W内非 Wr
取 D 点处为重力势能零点,由功能原理得
1 2
Wr mvD mgR
R
B
m
2
讨论:试比较上述三种方法
D
例题2、宇宙速度的计算
第一宇宙速度:由地面处
发射使物体环绕地球运动,所
需的最小速度。
设于地球表面处 RE 发射速
度为 v1 的物体,到达距地面高
度为 h 处,以速度 v 绕地球作
匀速圆周运动,系统机械能守
恒(为什么?)
ER ER h
m
h
mE
RE
设地球质量为 mE
1 2
mE m 1 2
mE m
mv1 G
mv G
2
RE
2
RE h
2
v
GmE m
又由第二定律,得 m
2
RE h RE h
解得
2GmE GmE
v1
RE
RE h
RE
Gm E m
v
R
g
2
则
mg
1
E
2
R
h
RE
E
当 RE h (或 h 0)
3
1
v1 gRE 7.9 10 m s
第二宇宙速度(逃逸速度):使物体脱
离地球引力范围所需的最小速度
物体脱离地球引力时,引力势能为零,
m
v2
所以由机械能守恒得
1 2
mE m
mE
E p Ek mv2 G
0
2
RE
2GmE
3
1
v2
2 gRE 11.2 10 m s
RE
黑洞的讨论
对任一星球,若要脱离其
引力范围的最小速度。
2GM
v
r
M 为该星球质量
r 为星球半径
若 v C(光速)
则任何物体都不可能从该星
球中逃逸出来。
例题3、完全弹性碰撞,完全
非弹性碰撞
m1 , m2 ,速度为 v10
设质量为
和v20的弹性小球,沿直线运动,求两球完
全弹性碰撞后的速度 v1和 v2 v10 v20
解:取ox轴,沿x轴方向
m1
m2
动量守恒
v1 v2
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
m1 m2
机械能守恒定律有
1
1
1
1
2
2
2
2
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
2
2
2
2
解得 v m1 m2 v10 2m2 v20
1
m1 m2
m2 m1 v20 2m1v10
v2
m1 m2
讨论
(1)m2 m1 且 v20 0
v1 v10 , v2 0,则
v 0
v10 20
(2)m2 m1 且 v20 0
v1 v10 ,v2 2v10,则
v10 v 0
20
(3)m2 m1 v1 v20 ,v2 v10
v10
例题4、一轻质弹簧 k 挂一质量
为 M的圆盘时,伸长 l1 ,一个
质量为 m 的油质球从离盘 h 高
处由静止下落到盘上,然后与
盘一起向下运动,求向下运动
的最大距离 。
A
l1
解:本题可分为三个运动过程,
每一过程运用相应的规律。 h
M
本题选择:
泥球,圆盘,弹簧和地球为系统
m
l2
m
M
B
明确各个过程:
m自由下落
与 M碰撞
m与 M共同向下运动
(1)m 自由下落有
l1
1 2
mv mgh v 2 gh
2
m
h
(2)m与 M 相碰撞,系统动 M
l2
量守恒(为什么?)
mv m M V
A
m
M
B
(3)m和 M共同向下运动,运
动过程机械能守恒(为什么?)
选重力势能零点:最底点(B)
选弹性势能零点:弹簧自然
长度处(A)
1
1 2
2
有 m M V m M gl2 kl1
2
1
2
k l1 l2
2
2
A
l1
h
Mg
Mg kl1,k
M
l1
mg
2kh
解得 l2
1 1
m M g
k
m
l2
m
M
B
小结:应用守恒定律解题时的
思路与用牛顿定律解题不同
(1)无需具体分析系统中间过程的受
力细节。
(2)守恒定律形式中只涉及到系统的
始末状态物理量。
(3)解题步骤大致是:选系统,明
过程,审条件,列守恒,解方程。