Transcript 第二章3


dJ
回顾

M
dJ l
dt
dt

dJ 
dt

M
 Ml
对质心的角动量定理
 


 J  rC  m rC  J 
n
n
1


e
i
2
（m A  mBd) aC  Fm V

dT

F
dr

F
dri

i i 
i
i
i

2
i 1

F  i 1
1
2
2
S  aC t  4.8m
aC 
 2.4m / s
2
m A  mB

 1
T  m rc 
2
2
1

 
m i ri 
i
第二章

例题1
质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引，引力
与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始
时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的
距离为 1 a 时两质点的速度。
2
解: 令质量为m1的质点的速度为 v 1 ，
质量为m2的质点的速度为 v 2 ，
无外力作用，动量守恒
m 1 v1  m 2 v 2  0
m m
万有引力势能  k 1 2 ,机械能守恒：
r
k
m1 m 2
 k
a
解得
m1m 2
a/2
v1  m 2

1
2
2k
a ( m1  m 2 )
m 1 v1 
2
1
2
v1  m 1
第二章
2
m 2v2
2k
a ( m1  m 2 )
m2
r
m1
21
例题2 一水平匀质细管长为l，质量为M，能绕过管一端并与 13
其固连的竖直轴转动。轴质量可以忽略。轴承处光滑。管内放有

一质量为m的削球，初始时，管的角速度为 0，小球位于管的中点
小球相对管的速度为零。设小球与管壁间无摩擦，
试求小球出口时的速率。
解：小球、管和轴构成系统。建立柱坐标


 
受外力 M g , m g , N A , N B ，它们对
r

z轴的力矩均为零。故系统对z轴角
动量守恒。
1
1
ML   mL  
2
2
3
3
ML  0  m
2
系统机械能守恒。 1
1
L
2
2
ML  
2
2
2 3



 v  v r e r  L  e
1 1
2 3
ML  
2
2
1
2
1
 
mv
2

2
1 1
23


1
v 0  L  e
2
mL  
2
0
2
1
2
2
mv r 
1
6
ML  
第二章
2
2
0
1
8
4 M  3m
0
4 ( m  3）
ML  0 
2
2
mL  0
2
2
1
2
2
mv 0
22
1 1
ML  
2
2
2 3
1
mL  
2
2
vr 
16 ( M  3 m )
2
（vmA v m
) a 2 F
B
 ( LC ) 
r
F
m A  mB
1
2
3( 4 M  3 m )
2
aC 
2
2
mv r 
1
ML  
2
6
2
0
1
8
mL  0
2
2
L 0
2
2
L 0
4( M  3m )
 2.4m / s
4 M  3 m )( 7 M  12 m )
2
S
1
2
第二章
aC t  4.8m
2
1
§2.5两体问题
太阳和行星都运动，属于质点系的运动问题。只考虑一个行星
和太阳，称两体问题。
设S 为太阳， rS 为太阳到惯性系原点 O 的位矢，质量为 M ；设
P为行星，rP 为太阳到惯性系原点O 的位矢，质量为 m 。太阳对惯
性系 O  xyz 的运动学方程为
2
M
d rs
dt
2

GMm r
r
行星方程 m
两方程相加，
r  sp
rs
2
r
2
d rp
dt
d
S
2
2
Cr

P

2

GMm r
r
 Mr
s
2
O
rp
r
 m rp   0
dt
 M Vs  m V p  C  P
第二章
质点系总动量守恒
2
另一方面  m  M  rC  m r p  M rs

d
2
dt
2
 M  m  rC  0 
2
d rC
dt
2
0
说明质心系是惯性系
可以证明太阳、行星都绕质心作圆锥曲线运动。
C S  r2
令 C P  r1
，
行星对质心的运动方程(惯性系)为
（m A  mB ) aC2  F
2
m r1  
r1
k m
 r1  r2  r1
2
GM  k
取
F
2
同时，由于(质心系看质点的位置在原点)
aC 
 2.4m / s
m r1  M r2  0
m A  mB
 r1  r2 
M m
M
第二章
r1
方程变成
3
k mM
2
M
2
2
m r1 
 m
1 r1
2
r1 r1
可看出力仍与距离平方成反比，此时
k m
2
2
2
M
 m
k mM
2
可知，行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也是这样。如问行星
对太阳的相对运动(注意：这里认为太阳也是动的)，也就是问

满足的方程
2

GMm r
d rs
GMm r

⑵
⑴ mr  
M

2
2
2
dt
r
r
r
r
(1)  m  ( 2 )  M
 d 2 rp d 2 r
s
Mm 

2
 dt 2
dt

r p  rs  r  M m
太阳
 GM m
r
M  m
 
2
r
r

2
d r
dt
2

G M m
r
2
第二章
M
 m
r
rs
r
r
O
rp
行
星
2
M
d r
dt

2
G M
r
M
2
 m
r
4
r
可以看出行星相对太阳运动也是圆锥运动。不同的是，如果认为
太阳不动，则只要把太阳的质量从M变成M+m，则与第一章是一样。
k  G M  m 
2
方程 M m
2
d r
dt
2

G M m
M
2
r
Mm
M m
 m
r
也可写成
r

2
k m r
r  
r
2
k  GM
2
r
也就是认为太阳不动，太阳质量仍为 M ，万有引力也不变，但行
星质量不为 m ，而减少到
 
Mm
M m

m
1
m
M
第二章
μ叫折合质量（reduced mass)


r  
5

2
k m r
r
2
r
上式表明，在太阳运动的前提下，引力保持不动，如用μ代替
行星质量m，则可以化为行星运动的单体问题。回到第一章。
†如考虑太阳运动，对开普勒第三定律修正。这个定律讲，k
3
是与行星无关的常数。
2
 
2 a
此时 k  k  k  2  G  M  m 
4  a1
2
对行星q1 ：

3
2
1
 k1  G  M  m1 
4  a1
2
对行星q2
：

k
2
2
3
 k 2  G  M  m 2 
第二章
6
a
3

2


1
4
2
k
2
k  G M  m 
2
2
k 1 1，
 G M  k 2  k
可以看出，a 是与行星的质量有关。只有M≫m
2
3
2
2
对太阳和行星，M:m=1047：1，开普勒第三定律只是近似成立。
第二章
，
7
§2.6 质心坐标系和实验坐标系
研究散射问题
实验室系：静止坐标系
质心系：随质心一起运动系
两质点m1，m2,速度v1,v2=0(静止)
动量守恒，散射前后质心都沿 v1方向，以V运动
 m1  m 2  V
 m 1 v1
V 
m 1 v1
m1  m 2
散射前，质点1，2相对质心C 的速度 V1 , V 2
方向在一直线上
V1  v1  V 
m 2 v1
m1  m 2

m2
m1
V 
m2
m1

m1
V
第二章
V1
V1
m
C 1 C

 m2
V 2
V2

m2
V2  0  V  
8
m 1 v1
m1  m 2
 V
弹性 V1  V1, V 2  V 2
满足质心系，(动量守恒)
m 1V1  m 2V 2  0
V 2
质心系，散射后，两质点必沿相反方向运动，V1 ，
与V  之夹角就是 C
对实验系,同一现象看是不一样的.
V1

m1
1
m1
m1 v

1
V


C
m2
第二章
r
v1
m 2 v 2
V1
V1
m
C 1 C

 m2
V 2
V2

m2
假定是弹性碰撞(保守力)
9
1） 质心系：动量守恒
m1
m2
又
1
2
m1
V1   V 2
m1V1 
2
1
2
m 2V
m2
2
2

1
2
V1  V 2 
2
m 1V1 
代入 质心系动量守恒
1
1
2
2
m 2V 2
m 1V1 
2
2
m
V1 
V1  F 同理
（m A 
)
a
B
C
1
2
m2
m1
m2
V1 
1
2
m 1V1 
2
1
2
m2
m1
m2
V1
V 2  V 2
F
1
2
2
结论 aC 
S  aC t  4.8m
 2.4m / s
2
m A  mB
①两质点运动碰前、碰后总共线
，
②两质点运动运动前后，动量数值分别相等，没有转移，只改变方向
③两质点动能，碰前、碰后也分别相等，没有转移。
第二章
2） 实验系
m v1  m1v1  m 2 v 2
1
2
mv 
2
1 1
1
2
m1 v1 
2
10
1
2
m 2 v 2
2
可看出
①碰前 2静止、碰后不共线
②各自动量碰前、碰后不相同，有转移，方向也改变
③各自动能也不相同，有转移
故理论工作者喜欢用质心坐标系处理问题，但要与实验一致，
有一个质心系向实验系过渡问题，集中在θr，θc 的坐标变换上
现在问θr和θc之间的关系?
第二章
11
由于相对运动，散射后对 m 1
V1  V  v1
水平分量
V  cos  C  V  v1 cos  r
竖直分量
V  sin  C  v1 sin  r
 tg  r 
由于质心系看，由②知

V

V1
r
c 
r
v1 sin  C

v 1
v1 cos  C  V
V1  V1 
m2
m1
V
 tg  r 
v1 sin  C
v1 cos  C 
讨论：当m2≫m1,θr ≈ θc， 重靶，可看成固定质心，
卢瑟福散射(粒子)就是这样
第二章
m1
m2
12
但是对中子-质子散射， m1  m 2
tg  r 
sin  C
cos  C  1
 tg
  C  2 r
，
第二章
C
2
21
作业：
P.93-110
P.114:2.12)
第二章
§2.7 变质量物体的运动
System with variable mass
13
一、变质量物体的运动方程
此时讨论变质量不是相对论效应，而是如雨滴变大，火箭喷燃料，
质量变小。
设一物体质量 m (在 t 时刻)速度V ,同时，一微小质量 m以速度
u 运动，时间间隔  t 内与 m 合并后，共同速度是 V   V
微元
主体
第二章
13
如作用在 m 及  m上合外力为 F ，由动量定理
 m   m  V
当 t  0
时，略去高阶小量  m   v
mv  mv
t
 v   mV  mu  F t

m
t
mv  mv  mu  F t


dm 
(m v ) 
u  F
dt
dt
d
u  F
这是变质量物体的运动微分方程。
第二章
14


dm 
(m v ) 
u  F
dt
dt
d


通常，m ：主体质量；v ：主体速度； u 是微元速度，与m合并前，

或Δm自m 分出后一刹那的速度 .F 是外力。
dm
为质量变化率，可正可负。
dt
dm  是力的量纲，它代表并入质量（或排出质量）对基本质点
u
dt
的作用力，称为反推力。
d
mv   F
我们有
u

0
如
dt
如 u  v
我们有
m
dv
dt
 F
形式上与质量为定值的运动方程一样，但实质不同，此时 m  m  t 
第二章
[例] P103
本题 u  0
F 只有重力
可求出
，用公式
d
dt
d
dt
 F  mg

积分
15
mv  
m  M  t
  M   t  v    M   t  g
1

2 
M


t
v

M
t


t



 g  c1
2


t  0, v  0  C 1  0
v
ds
dt
可再积分
F
Mt 

t
2
M  t
2
2
g  t  Mg M g
S   

ln  M   t   C 2
2
2  2  2
2
2
M g
t  0, s  0  C 2 
ln M
2
2
第二章
1
2
g
§2.8维里定理(具有统计的性质)
质点系由n 个质点组成，其中某一质点质量为mi，
位矢 ri 。受力为 F i ,运动方程
Pi  Fi
Pi  m i ri ，是此质点的动量
n
定义物理量 G (标量)
dG
求其对t的导数
dt
n


i 1
i
i
i
i 1
n
m i ri  r 

m i v i  2T
i 1
n
i
i
n
i
i 1
 P r   F
i 1
i
 r P  P r
i 1
n
而

 P r
i 1
n
n
ri  Pi 
G 
i
i
 ri
i 1
第二章
2
T
是质点组总动能
16
17
dG
这样
n
 2T 
dt
F
i
 ri
i 1
1
定义：一个量长时间平均为
对上式进行时间平均
dG


 kdt  k
0
n
 2T 
dt
（m A  mB ) aC  F

dG
1
F
i
 ri
i 1
dG
1
 
dt   G     G  0  
F
1
2
2
dt

dt
S  aC t  4.8m
aC 
 02.4m / s
2
m A  mB
又
n
2T 
F
i
i 1
 ri 
1

 G    G  0  
第二章
如运动时周期的， G    指是周期函数，取  为一个周期，
G 
18
  G 0
如运动不是周期，只要运动在有限范围内，ri ，Pi 都是有限值。
 G 也是有限值，取    ，右方
T 
1
 0。这二种情况
n
F

2
i
 ri
i 1
这就是维里定理。
（m A  mB ) aC  F
在很长时间间隔内质点组的动能对时间平均值的导数，等于作用
在此质点组上力的维里。
F
1
2
S  aC t  4.8m
aC 
 2.4m / s
2
m A  mB
如：F i 分成非摩擦力
F 及正比于速度的摩擦力 f 。
2
这样运动，必将变成，当   ，所有时间平均值为零。
维里定理给出。 0  0
i
i
第二章
Fi   iV
F i 为保守力

i 
T 
19
 xi
i 

y j
j

zk
k
n
1
 V   r

2
1
i
i 1
V 是质点组的势能。对单个质点受有心力(没有求和)。如 V 为r
的函数，F 也必是。
V r
故
n 1
V
r
r 
F  pr
 n  1 V
第二章
n
T 
1
2
 n  1 V
对平方反比引力 n   2
T 
1
20
V
2
对人造地球卫星，把轨道看成半径r 的圆周
T 
1
2
V 
m V1  常数，
2
mk
2

常数
r
T  T ，对常数成立
T  
1
V  T 
2
 v 
2
1
k
2
就是p.80 第一宇宙速度。
r
第二章
1
2
V
21
作业：
P.93-110
P.114:2.14),2.16)
第二章