Transcript 第二章3
dJ
回顾
M
dJ l
dt
dt
dJ
dt
M
Ml
对质心的角动量定理
J rC m rC J
n
n
1
e
i
2
(m A mBd) aC Fm V
dT
F
dr
F
dri
i i
i
i
i
2
i 1
F i 1
1
2
2
S aC t 4.8m
aC
2.4m / s
2
m A mB
1
T m rc
2
2
1
m i ri
i
第二章
例题1
质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引,引力
与其质量成正比,与距离平方成反比,比例常数为k。开始
时,两质点皆处于静止状态,其间距离为a。试求两质点的
距离为 1 a 时两质点的速度。
2
解: 令质量为m1的质点的速度为 v 1 ,
质量为m2的质点的速度为 v 2 ,
无外力作用,动量守恒
m 1 v1 m 2 v 2 0
m m
万有引力势能 k 1 2 ,机械能守恒:
r
k
m1 m 2
k
a
解得
m1m 2
a/2
v1 m 2
1
2
2k
a ( m1 m 2 )
m 1 v1
2
1
2
v1 m 1
第二章
2
m 2v2
2k
a ( m1 m 2 )
m2
r
m1
21
例题2 一水平匀质细管长为l,质量为M,能绕过管一端并与 13
其固连的竖直轴转动。轴质量可以忽略。轴承处光滑。管内放有
一质量为m的削球,初始时,管的角速度为 0,小球位于管的中点
小球相对管的速度为零。设小球与管壁间无摩擦,
试求小球出口时的速率。
解:小球、管和轴构成系统。建立柱坐标
受外力 M g , m g , N A , N B ,它们对
r
z轴的力矩均为零。故系统对z轴角
动量守恒。
1
1
ML mL
2
2
3
3
ML 0 m
2
系统机械能守恒。 1
1
L
2
2
ML
2
2
2 3
v v r e r L e
1 1
2 3
ML
2
2
1
2
1
mv
2
2
1 1
23
1
v 0 L e
2
mL
2
0
2
1
2
2
mv r
1
6
ML
第二章
2
2
0
1
8
4 M 3m
0
4 ( m 3)
ML 0
2
2
mL 0
2
2
1
2
2
mv 0
22
1 1
ML
2
2
2 3
1
mL
2
2
vr
16 ( M 3 m )
2
(vmA v m
) a 2 F
B
( LC )
r
F
m A mB
1
2
3( 4 M 3 m )
2
aC
2
2
mv r
1
ML
2
6
2
0
1
8
mL 0
2
2
L 0
2
2
L 0
4( M 3m )
2.4m / s
4 M 3 m )( 7 M 12 m )
2
S
1
2
第二章
aC t 4.8m
2
1
§2.5两体问题
太阳和行星都运动,属于质点系的运动问题。只考虑一个行星
和太阳,称两体问题。
设S 为太阳, rS 为太阳到惯性系原点 O 的位矢,质量为 M ;设
P为行星,rP 为太阳到惯性系原点O 的位矢,质量为 m 。太阳对惯
性系 O xyz 的运动学方程为
2
M
d rs
dt
2
GMm r
r
行星方程 m
两方程相加,
r sp
rs
2
r
2
d rp
dt
d
S
2
2
Cr
P
2
GMm r
r
Mr
s
2
O
rp
r
m rp 0
dt
M Vs m V p C P
第二章
质点系总动量守恒
2
另一方面 m M rC m r p M rs
d
2
dt
2
M m rC 0
2
d rC
dt
2
0
说明质心系是惯性系
可以证明太阳、行星都绕质心作圆锥曲线运动。
C S r2
令 C P r1
,
行星对质心的运动方程(惯性系)为
(m A mB ) aC2 F
2
m r1
r1
k m
r1 r2 r1
2
GM k
取
F
2
同时,由于(质心系看质点的位置在原点)
aC
2.4m / s
m r1 M r2 0
m A mB
r1 r2
M m
M
第二章
r1
方程变成
3
k mM
2
M
2
2
m r1
m
1 r1
2
r1 r1
可看出力仍与距离平方成反比,此时
k m
2
2
2
M
m
k mM
2
可知,行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也是这样。如问行星
对太阳的相对运动(注意:这里认为太阳也是动的),也就是问
满足的方程
2
GMm r
d rs
GMm r
⑵
⑴ mr
M
2
2
2
dt
r
r
r
r
(1) m ( 2 ) M
d 2 rp d 2 r
s
Mm
2
dt 2
dt
r p rs r M m
太阳
GM m
r
M m
2
r
r
2
d r
dt
2
G M m
r
2
第二章
M
m
r
rs
r
r
O
rp
行
星
2
M
d r
dt
2
G M
r
M
2
m
r
4
r
可以看出行星相对太阳运动也是圆锥运动。不同的是,如果认为
太阳不动,则只要把太阳的质量从M变成M+m,则与第一章是一样。
k G M m
2
方程 M m
2
d r
dt
2
G M m
M
2
r
Mm
M m
m
r
也可写成
r
2
k m r
r
r
2
k GM
2
r
也就是认为太阳不动,太阳质量仍为 M ,万有引力也不变,但行
星质量不为 m ,而减少到
Mm
M m
m
1
m
M
第二章
μ叫折合质量(reduced mass)
r
5
2
k m r
r
2
r
上式表明,在太阳运动的前提下,引力保持不动,如用μ代替
行星质量m,则可以化为行星运动的单体问题。回到第一章。
†如考虑太阳运动,对开普勒第三定律修正。这个定律讲,k
3
是与行星无关的常数。
2
2 a
此时 k k k 2 G M m
4 a1
2
对行星q1 :
3
2
1
k1 G M m1
4 a1
2
对行星q2
:
k
2
2
3
k 2 G M m 2
第二章
6
a
3
2
1
4
2
k
2
k G M m
2
2
k 1 1,
G M k 2 k
可以看出,a 是与行星的质量有关。只有M≫m
2
3
2
2
对太阳和行星,M:m=1047:1,开普勒第三定律只是近似成立。
第二章
,
7
§2.6 质心坐标系和实验坐标系
研究散射问题
实验室系:静止坐标系
质心系:随质心一起运动系
两质点m1,m2,速度v1,v2=0(静止)
动量守恒,散射前后质心都沿 v1方向,以V运动
m1 m 2 V
m 1 v1
V
m 1 v1
m1 m 2
散射前,质点1,2相对质心C 的速度 V1 , V 2
方向在一直线上
V1 v1 V
m 2 v1
m1 m 2
m2
m1
V
m2
m1
m1
V
第二章
V1
V1
m
C 1 C
m2
V 2
V2
m2
V2 0 V
8
m 1 v1
m1 m 2
V
弹性 V1 V1, V 2 V 2
满足质心系,(动量守恒)
m 1V1 m 2V 2 0
V 2
质心系,散射后,两质点必沿相反方向运动,V1 ,
与V 之夹角就是 C
对实验系,同一现象看是不一样的.
V1
m1
1
m1
m1 v
1
V
C
m2
第二章
r
v1
m 2 v 2
V1
V1
m
C 1 C
m2
V 2
V2
m2
假定是弹性碰撞(保守力)
9
1) 质心系:动量守恒
m1
m2
又
1
2
m1
V1 V 2
m1V1
2
1
2
m 2V
m2
2
2
1
2
V1 V 2
2
m 1V1
代入 质心系动量守恒
1
1
2
2
m 2V 2
m 1V1
2
2
m
V1
V1 F 同理
(m A
)
a
B
C
1
2
m2
m1
m2
V1
1
2
m 1V1
2
1
2
m2
m1
m2
V1
V 2 V 2
F
1
2
2
结论 aC
S aC t 4.8m
2.4m / s
2
m A mB
①两质点运动碰前、碰后总共线
,
②两质点运动运动前后,动量数值分别相等,没有转移,只改变方向
③两质点动能,碰前、碰后也分别相等,没有转移。
第二章
2) 实验系
m v1 m1v1 m 2 v 2
1
2
mv
2
1 1
1
2
m1 v1
2
10
1
2
m 2 v 2
2
可看出
①碰前 2静止、碰后不共线
②各自动量碰前、碰后不相同,有转移,方向也改变
③各自动能也不相同,有转移
故理论工作者喜欢用质心坐标系处理问题,但要与实验一致,
有一个质心系向实验系过渡问题,集中在θr,θc 的坐标变换上
现在问θr和θc之间的关系?
第二章
11
由于相对运动,散射后对 m 1
V1 V v1
水平分量
V cos C V v1 cos r
竖直分量
V sin C v1 sin r
tg r
由于质心系看,由②知
V
V1
r
c
r
v1 sin C
v 1
v1 cos C V
V1 V1
m2
m1
V
tg r
v1 sin C
v1 cos C
讨论:当m2≫m1,θr ≈ θc, 重靶,可看成固定质心,
卢瑟福散射(粒子)就是这样
第二章
m1
m2
12
但是对中子-质子散射, m1 m 2
tg r
sin C
cos C 1
tg
C 2 r
,
第二章
C
2
21
作业:
P.93-110
P.114:2.12)
第二章
§2.7 变质量物体的运动
System with variable mass
13
一、变质量物体的运动方程
此时讨论变质量不是相对论效应,而是如雨滴变大,火箭喷燃料,
质量变小。
设一物体质量 m (在 t 时刻)速度V ,同时,一微小质量 m以速度
u 运动,时间间隔 t 内与 m 合并后,共同速度是 V V
微元
主体
第二章
13
如作用在 m 及 m上合外力为 F ,由动量定理
m m V
当 t 0
时,略去高阶小量 m v
mv mv
t
v mV mu F t
m
t
mv mv mu F t
dm
(m v )
u F
dt
dt
d
u F
这是变质量物体的运动微分方程。
第二章
14
dm
(m v )
u F
dt
dt
d
通常,m :主体质量;v :主体速度; u 是微元速度,与m合并前,
或Δm自m 分出后一刹那的速度 .F 是外力。
dm
为质量变化率,可正可负。
dt
dm 是力的量纲,它代表并入质量(或排出质量)对基本质点
u
dt
的作用力,称为反推力。
d
mv F
我们有
u
0
如
dt
如 u v
我们有
m
dv
dt
F
形式上与质量为定值的运动方程一样,但实质不同,此时 m m t
第二章
[例] P103
本题 u 0
F 只有重力
可求出
,用公式
d
dt
d
dt
F mg
积分
15
mv
m M t
M t v M t g
1
2
M
t
v
M
t
t
g c1
2
t 0, v 0 C 1 0
v
ds
dt
可再积分
F
Mt
t
2
M t
2
2
g t Mg M g
S
ln M t C 2
2
2 2 2
2
2
M g
t 0, s 0 C 2
ln M
2
2
第二章
1
2
g
§2.8维里定理(具有统计的性质)
质点系由n 个质点组成,其中某一质点质量为mi,
位矢 ri 。受力为 F i ,运动方程
Pi Fi
Pi m i ri ,是此质点的动量
n
定义物理量 G (标量)
dG
求其对t的导数
dt
n
i 1
i
i
i
i 1
n
m i ri r
m i v i 2T
i 1
n
i
i
n
i
i 1
P r F
i 1
i
r P P r
i 1
n
而
P r
i 1
n
n
ri Pi
G
i
i
ri
i 1
第二章
2
T
是质点组总动能
16
17
dG
这样
n
2T
dt
F
i
ri
i 1
1
定义:一个量长时间平均为
对上式进行时间平均
dG
kdt k
0
n
2T
dt
(m A mB ) aC F
dG
1
F
i
ri
i 1
dG
1
dt G G 0
F
1
2
2
dt
dt
S aC t 4.8m
aC
02.4m / s
2
m A mB
又
n
2T
F
i
i 1
ri
1
G G 0
第二章
如运动时周期的, G 指是周期函数,取 为一个周期,
G
18
G 0
如运动不是周期,只要运动在有限范围内,ri ,Pi 都是有限值。
G 也是有限值,取 ,右方
T
1
0。这二种情况
n
F
2
i
ri
i 1
这就是维里定理。
(m A mB ) aC F
在很长时间间隔内质点组的动能对时间平均值的导数,等于作用
在此质点组上力的维里。
F
1
2
S aC t 4.8m
aC
2.4m / s
2
m A mB
如:F i 分成非摩擦力
F 及正比于速度的摩擦力 f 。
2
这样运动,必将变成,当 ,所有时间平均值为零。
维里定理给出。 0 0
i
i
第二章
Fi iV
F i 为保守力
i
T
19
xi
i
y j
j
zk
k
n
1
V r
2
1
i
i 1
V 是质点组的势能。对单个质点受有心力(没有求和)。如 V 为r
的函数,F 也必是。
V r
故
n 1
V
r
r
F pr
n 1 V
第二章
n
T
1
2
n 1 V
对平方反比引力 n 2
T
1
20
V
2
对人造地球卫星,把轨道看成半径r 的圆周
T
1
2
V
m V1 常数,
2
mk
2
常数
r
T T ,对常数成立
T
1
V T
2
v
2
1
k
2
就是p.80 第一宇宙速度。
r
第二章
1
2
V
21
作业:
P.93-110
P.114:2.14),2.16)
第二章