Transcript 第三章 - 中国科学技术大学

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第三章
动 量
有了力的定律和运动定律，动力学的根本任务，即在一定环境
下求物体的运动问题，似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其
实，并非完全如此。
如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理
量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规
律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些
规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的
情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求
解问题提供一定的信息。
利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于
质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒
定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运
动定理的推论——守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。
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第三章
动 量
§3.1 动量守恒定律与动量定理
§3.2 质心运动定理
§3.3 变质量物体的运动
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§3.1
动量守恒定律与动量定理
3.1.1
孤立体系与动量守恒定律
3.1.2
冲量与质点的动量定理
3.1.3
质点系动量定理
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§3.1
动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一
章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题，常称为质点系问题，或多体问题。
在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受
到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体
系不与外物相互作用，这种质点体系称为孤立体系。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
m1
dv1
m2
dt
 f 12
dv 2
dt
 f 21
f 12   f 21
d
定义：
得：
dt
( m1 v 1  m 2 v 2 )  0
P  m1 v 1  m 2 v 2
dP
dt
0
或 P =不变量
此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找
到了一个不变量 P，称它为动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体
形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是
非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都
适用。
对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似
的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为
动量守恒定律，表述如下：
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每
个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。
P 
P
i
不变量
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明：
1. 与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。
2. 体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受
外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然
守恒，故孤立体系的动量守恒。
3. 动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式：
若Fx = 0， 则 Px = 常量；
若Fy = 0， 则 Py = 常量；
若Fz = 0， 则 Pz = 常量；
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明：
4. 动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛
顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立
时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接
从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对
称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一
章中讨论。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变
化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即：
F dt  d p
式中 dp 表示质点动量的改变量，Fdt表示合外力在 dt 时
间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的冲量
（又称为元冲量），记为 dJ，即： dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一
时间内质点动量的增量，这一关系叫做质点动量定理的
微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间
内的积累效果，则有：
J 

t
t0
1
F dt  p 1  p 0
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为质点动量定理的积分形式。
值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力
大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一
样，就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间
很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，
这种力通常叫做冲力。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中，质量随速率而变，F = m a 已不再正确，
但Fdt = dp仍然正确。
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3.1.3 质点系动量定理
1. 两质点系统（n = 2）
 p 1  F1  f 12

 p 2  F 2  f 21
f 12   f 21
得：
体系的总动量：
p 1  p 2  F1  F 2
P  p 1  p 2  m1 v 1  m 2 v 2
F ex  F1  F 2
令：
Fex为体系所受的外力的矢量和，称为体系所受的总外力。
dP
有：
F 
积分形式
ex

t
t0
dt
F ex dt  P  P 0
微分形式
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3.1.3 质点系动量定理
2. 多质点系统（n > 2）







p 1  F1  f 12  f 13    f 1 n
p 2  f 21  F 2  f 23    f 2 n
p 3  f 31  f 32  F 3    f 3 n

p n  f n 1  f n 2  f n 3    F n
f ij   f ji
将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得：
杨
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F ex 
其中：
dP
dt
n
P 

i 1

t
t0
F ex dt  P  P 0
n
n
pi 
mv
i
i 1
i
F ex 

i 1
Fi
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3.1.3 质点系动量定理
2. 多质点系统（n > 2）
体系的动量定理：
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于
体系动量的增量。
F ex 

t
t0
dP
微分形式
dt
F ex dt  P  P 0
积分形式
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明：
1. 只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内
力对体系的总动量变化没有贡献；但内力对动量在
体系内部的分配是有作用的。
2. 动量定理与牛顿定律的关系：
(1) 对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系；
而动量定理可适用于质点系。
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明：
3. 与牛顿定律一样，动量定理也只适用于惯性系，
要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力
的冲量。
4. 对于孤立体系，所受外力的矢量和为零，因而外力
的冲量也为零，此时体系的总动量守恒，这就是一
般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5. 动量定理的微分形式(3.1.19)式与牛顿第二定律在形
式上相同，但其意义却是不一样的，关于这点，我
们在下节继续讨论。
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§3.2
质心运动定理
3.2.1
质心运动定理
3.2.2
质心坐标系
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3.2.1 质心运动定理
动量定理的微分形式：F ex 
牛顿第二定律：
dP
dt
F  ma
形式上相同，但其含义并不相
同。牛顿第二定律是对质点而言，
但由于质点系内质点的运到情况各
不相同，加速度也各不相同 。
但对质点系而言，确实存在一个特殊点 ，这一点从图 3.3 可以
看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看
成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小
孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹
运动。于是我们可以定义该特殊点为质心，并认为体系的总质量都
集中在质心处。
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3.2.1 质心运动定理
定义：

m C   m i  m1  m 2    m n

i

 m i ri m r  m r    m r

i
2 2
n n
 1 1
 rC 
m1  m 2    m n
 mi

i

其中 mC, rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动
量定理可以写成：
Fex 

t
t0
dP
dt
 m C rC  m C a C
F ex dt  m C v C  m C v C 0
上式分别称为质心运动定理和质心动量定理，其中
vC, aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
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3.2.1 质心运动定理
质心运动定理表明牛顿定律具有一种独
特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是
正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下，我们为什么可以在第一章引
入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在
不考虑转动和内部运动时看成是一个“质
点”？其根据正是质心运动定理。
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
1. 质心运动定理实际上是矢量方程。可以写成三个分
量方程，运动的独立性同样成立，即：若合外力在
某一分量上为零，则该分量满足动量守恒定律。
2. 质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是
它们的带权平均值。质心的性质只有在体系的运动
与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一
个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。这
一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充
分地体现出来。
3. 体系质心的坐标（或位矢）与坐标原点的选取有关，
但质心与体系各质点（质元）的相对位置则与坐标
原点的选取无关。
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
4. 对质量连续分布的物体，其质心质量和质心位矢为：
 m C  dm   dV




r dm
 r dV




 rC 

 dm   dV

5. 质心是一个非常有用的物理量，但可能并不对应着一
个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量，以后
会越来越多地碰到。
6. 质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
7. 质心的质量等于各质点的质量和，似乎是显然的结果。
但是，宏观物体由原子、分子组成，而原子、分子又
在各自不断运动，为什么总质量与这些复杂的运动无
关？（质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果，
并不是不证自明的）
8. 质点组的动量等于质心动量。
注：在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不
服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系
中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论
中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来
取代质心系。
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3.2.2 质心坐标系
把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与
某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的
平动坐标系叫质心坐标系（或质心参考系），
简称质心系。质心坐标系在讨论质点系的力学
问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系
（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体
系，其质心系是非惯性系。
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§3.3
变质量物体的运动
3.3.1
变质量体系
3.3.2
运动方程
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3.3.1 变质量体系
我们来讨论体系动量定理的一个重要应用，即所谓
的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述
的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指在
运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征：
1. 它的质量不是常数，而随时间变化，这种变化是由于
外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有
质量输送到外界；
2. 体系中所有质点运动情况相同，因而仍可用一个质点
来描写体系的运动。
归纳起来，我们是研究一个质量随时间变化的质点的
运动，例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝
聚于水滴上的雨滴等。
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3.3.1 变质量体系
显然，这样的质点运动不能直接应用牛顿
定律，也不能把体系动量定理直接搬过来用，
因为无论牛顿定律或体系动量定理，都是指一
个确定组成的体系（或一个确定的质点）在给
定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是
确定的，所谓内力和外力才有确定的意义，变
质量体系是不断与外界交换质量的体系，体系
的组成随时间不断变化，对于这样的体系，牛
顿定律和体系动量定理不适用。
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3.3.1 变质量体系
我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程，
在每个元过程的起始时刻，原来的体系（我们把它称为
主体）和即将进入主体的物体（我们不妨称它为附体）
是分离的，经过时间，在元过程的末了时刻，附体并入
主体构成一个新体系。
在该元过程中，体
系动量定理又适用。这
样，整个体系组成变化
的过程可看成一系列不
同组成的确定体系的元
过程的总和。在每一元
过程中，对相应的体系，
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运
动方程。
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3.3.2 运动方程
t 时刻：
主体质量 m， 速度 v，外力Fm
附体质量△m，速度 u，外力F△m
t + △t 时刻：主体质量 m+ △m ，速度 v+△v，外力 F = Fm+ F△m
体系的动量定理：
( m   m )( v   v )  ( m v   m u )  F  t
即：
m
 v
t
 (u  v )
令△t→0，则△v→0 ，上
式取极限得：
m
dv
 (u  v )
dm
F
dt
dt
这就是变质量质点（即主体）
的运动方程。
m
t
 F  v
m
t
中中
国国
科
科
学学
技技
术术
大大
学学
杨
杨
维维
纮纮
几点说明：
m
dv
 (u  v )
dt
dm
F
dt
1. 方程中外力 F = Fm+ F△m ，附体对主体的作用
力(u－v)dm/dt，当 u = v时，上述方程与牛顿
第二定律虽然形式上一样，但要注意仍是变量。
2. 当 u = 0 时，方程变为：
m
dv
dt
v
dm
dt

d
dt
(m v ) 
dP
F
dt
这与牛顿第二定律一样。
3. 上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的，但当
dm/dt < 0 时，结论依然正确，火箭就是这种情
况的例子。
几点说明：
m
dv
 (u  v )
dt
dm
F
dt
4. 若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程
时，上述方程应改写为：
m
dv
dt
 (u 1  v )
dm 1
dt
 (u 2  v )
dm 2
F
dt
其中 u1、u2 分别表示附体1和2在并入主体前的速
度，dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的
质量改变速率，而主体的质量改变为：
dm
dt

dm 1
dt

dm 2
dt
中
国
科
学
技
术
大
学
例3-5：雨滴开始自由下落时质量为 m0，在下落的过程中，单位时间
凝聚的水汽质量为 k，忽略空气阻力，求雨滴经时间 t 下落的距离。
解：设水汽附着于水滴前的速度 u = 0，由方程(3.3-3)，得：
d
dt
[( m 0  kt ) v ]  ( m 0  kt ) g
利用初始条件：t = 0 时，v = 0 ，由该方程可解得：
v
(m 0t 
1
2
kt ) g
2
m 0  kt
即：
dx
dt

1
2
gt 
m0 g
2

2k
m0 g
2 k ( m 0  kt )
积分，并利用初始条件： t = 0 时，x = 0 ，得：
杨
维
纮
2

m
1  1 2 m0
k 
 0
x  t 
t
t  
 ln  1 
2  2
k
m 0  
 k 

此即水滴经时间 t 下落的距离。