第三章 - 中国科学技术大学

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第三章
动 量
有了力的定律和运动定律,动力学的根本任务,即在一定环境
下求物体的运动问题,似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其
实,并非完全如此。
如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理
量,如动量、能量和角动量等,就可进而得到关于这些量的新的规
律(包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律),而直接用这些
规律去分析质点的运动问题,往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置(或速度、时间)函数的具体形式不十分清楚的
情况下(约束力和碰撞中的力就是例子),这种方法也能为我们求
解问题提供一定的信息。
利用关于动量,能量和角动量的规律,却可以使我们获得关于
质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合,包括微观领域,守恒
定律仍然有效。这样,原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运
动定理的推论——守恒定律,却成为比牛顿定律更为基本的规律。
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第三章
动 量
§3.1 动量守恒定律与动量定理
§3.2 质心运动定理
§3.3 变质量物体的运动
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§3.1
动量守恒定律与动量定理
3.1.1
孤立体系与动量守恒定律
3.1.2
冲量与质点的动量定理
3.1.3
质点系动量定理
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§3.1
动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
前面两章,我们讨论的是单个质点的运动。在这一
章里,我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题,常称为质点系问题,或多体问题。
在质点系中有一类是特别的,即所有质点都没有受
到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说,整个体
系不与外物相互作用,这种质点体系称为孤立体系。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
m1
dv1
m2
dt
 f 12
dv 2
dt
 f 21
f 12   f 21
d
定义:
得:
dt
( m1 v 1  m 2 v 2 )  0
P  m1 v 1  m 2 v 2
dP
dt
0
或 P =不变量
此式表明,对于两个质点构成的孤立体系,我们找
到了一个不变量 P,称它为动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
在上述推导过程中,我们并没有用到作用力的具体
形式,只用了牛顿第二、三定律,所以,这个守恒律是
非常普遍的,与作用力的具体形式无关,对于任何力都
适用。
对于多个质点所构成的孤立体系,可以用完全类似
的方法证明体系的总动量不随时间变化,我们将它称为
动量守恒定律,表述如下:
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中,每
个质点的动量都时刻在变,但它们的矢量和不变。
P 
P
i
不变量
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明:
1. 与牛顿定律一样,动量守恒定律只适用于惯性系。
2. 体系动量守恒并不是要求体系不受外力,只要所受
外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然
守恒,故孤立体系的动量守恒。
3. 动量守恒是矢量式,它可以写成三个分量式:
若Fx = 0, 则 Px = 常量;
若Fy = 0, 则 Py = 常量;
若Fz = 0, 则 Pz = 常量;
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明:
4. 动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出,但它比牛
顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立
时,只要计及场的动量,动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律,而直接
从空间的平移不变性(一种时空对称性)导出。时空对
称性原理是比牛顿定律更高层次的定律,我们将在下一
章中讨论。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
力作用到质点上,可以使质点的速度或动量发生变
化,我们将牛顿第二定律写成微分形式,即:
F dt  d p
式中 dp 表示质点动量的改变量,Fdt表示合外力在 dt 时
间内的积累量,称为 dt 时间内质点所受合外力的冲量
(又称为元冲量),记为 dJ,即: dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一
时间内质点动量的增量,这一关系叫做质点动量定理的
微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
对 t0 到 t1 这段有限时间积分,即考虑力在某段时间
内的积累效果,则有:
J 

t
t0
1
F dt  p 1  p 0
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为质点动量定理的积分形式。
值得注意的是,要产生同样的动量增量,力大力小都可以,力
大,时间可以短些,力小,时间需长些。只要力的时间积累冲量一
样,就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间
很短的过程。在这一过程中,相互作用力往往很大而且随时间改变,
这种力通常叫做冲力。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中,质量随速率而变,F = m a 已不再正确,
但Fdt = dp仍然正确。
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3.1.3 质点系动量定理
1. 两质点系统(n = 2)
 p 1  F1  f 12

 p 2  F 2  f 21
f 12   f 21
得:
体系的总动量:
p 1  p 2  F1  F 2
P  p 1  p 2  m1 v 1  m 2 v 2
F ex  F1  F 2
令:
Fex为体系所受的外力的矢量和,称为体系所受的总外力。
dP
有:
F 
积分形式
ex

t
t0
dt
F ex dt  P  P 0
微分形式
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3.1.3 质点系动量定理
2. 多质点系统(n > 2)







p 1  F1  f 12  f 13    f 1 n
p 2  f 21  F 2  f 23    f 2 n
p 3  f 31  f 32  F 3    f 3 n

p n  f n 1  f n 2  f n 3    F n
f ij   f ji
将方程组中的所有方程相加,由于所有内力的矢量和为零,得:
杨
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F ex 
其中:
dP
dt
n
P 

i 1

t
t0
F ex dt  P  P 0
n
n
pi 
mv
i
i 1
i
F ex 

i 1
Fi
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3.1.3 质点系动量定理
2. 多质点系统(n > 2)
体系的动量定理:
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于
体系动量的增量。
F ex 

t
t0
dP
微分形式
dt
F ex dt  P  P 0
积分形式
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明:
1. 只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献,内
力对体系的总动量变化没有贡献;但内力对动量在
体系内部的分配是有作用的。
2. 动量定理与牛顿定律的关系:
(1) 对一个质点来说,牛顿定律说的是力的瞬时效果,
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点,不能直接用于质点系;
而动量定理可适用于质点系。
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明:
3. 与牛顿定律一样,动量定理也只适用于惯性系,
要在非惯性系中应用动量定理,必须考虑惯性力
的冲量。
4. 对于孤立体系,所受外力的矢量和为零,因而外力
的冲量也为零,此时体系的总动量守恒,这就是一
般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5. 动量定理的微分形式(3.1.19)式与牛顿第二定律在形
式上相同,但其意义却是不一样的,关于这点,我
们在下节继续讨论。
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§3.2
质心运动定理
3.2.1
质心运动定理
3.2.2
质心坐标系
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3.2.1 质心运动定理
动量定理的微分形式:F ex 
牛顿第二定律:
dP
dt
F  ma
形式上相同,但其含义并不相
同。牛顿第二定律是对质点而言,
但由于质点系内质点的运到情况各
不相同,加速度也各不相同 。
但对质点系而言,确实存在一个特殊点 ,这一点从图 3.3 可以
看得很清楚,尽管物体在上抛运动的同时还在旋转,物体(可以看
成质点系)上各点的运动比较复杂,但物体上的某一点(中间的小
孔处)的运动就简单得象一个质点的上抛一样,沿着抛物线的轨迹
运动。于是我们可以定义该特殊点为质心,并认为体系的总质量都
集中在质心处。
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3.2.1 质心运动定理
定义:

m C   m i  m1  m 2    m n

i

 m i ri m r  m r    m r

i
2 2
n n
 1 1
 rC 
m1  m 2    m n
 mi

i

其中 mC, rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动
量定理可以写成:
Fex 

t
t0
dP
dt
 m C rC  m C a C
F ex dt  m C v C  m C v C 0
上式分别称为质心运动定理和质心动量定理,其中
vC, aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
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3.2.1 质心运动定理
质心运动定理表明牛顿定律具有一种独
特的性质,即如果它在某一小尺度范围内是
正确的,那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下,我们为什么可以在第一章引
入“质点”的概念,而把一个复杂的物体在
不考虑转动和内部运动时看成是一个“质
点”?其根据正是质心运动定理。
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关于质心运动定理,有下列几点需要说明:
1. 质心运动定理实际上是矢量方程。可以写成三个分
量方程,运动的独立性同样成立,即:若合外力在
某一分量上为零,则该分量满足动量守恒定律。
2. 质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值,而是
它们的带权平均值。质心的性质只有在体系的运动
与外力的关系中才体现出来。因而,质心并不是一
个几何学或运动学概念,而是一个动力学概念。这
一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充
分地体现出来。
3. 体系质心的坐标(或位矢)与坐标原点的选取有关,
但质心与体系各质点(质元)的相对位置则与坐标
原点的选取无关。
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关于质心运动定理,有下列几点需要说明:
4. 对质量连续分布的物体,其质心质量和质心位矢为:
 m C  dm   dV




r dm
 r dV




 rC 

 dm   dV

5. 质心是一个非常有用的物理量,但可能并不对应着一
个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量,以后
会越来越多地碰到。
6. 质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
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关于质心运动定理,有下列几点需要说明:
7. 质心的质量等于各质点的质量和,似乎是显然的结果。
但是,宏观物体由原子、分子组成,而原子、分子又
在各自不断运动,为什么总质量与这些复杂的运动无
关?(质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果,
并不是不证自明的)
8. 质点组的动量等于质心动量。
注:在相对论中,质量与速度有关,且速度和动量不
服从经典力学的变换,而质点的质量在不同的参考系
中看来是不同的。所以,“质心”这个概念在相对论
中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来
取代质心系。
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3.2.2 质心坐标系
把原点取在质心上,坐标轴的方向始终与
某固定参考系(惯性系)的坐标轴保持平行的
平动坐标系叫质心坐标系(或质心参考系),
简称质心系。质心坐标系在讨论质点系的力学
问题中,十分有用。对于不受外力作用的体系
(孤立体系)或所受外力的矢量和为零的体系,
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体
系,其质心系是非惯性系。
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§3.3
变质量物体的运动
3.3.1
变质量体系
3.3.2
运动方程
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3.3.1 变质量体系
我们来讨论体系动量定理的一个重要应用,即所谓
的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述
的质量随运动物体速度而变化的相对论情况,而是指在
运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征:
1. 它的质量不是常数,而随时间变化,这种变化是由于
外界不断有新的质量进入体系,或是体系内部不断有
质量输送到外界;
2. 体系中所有质点运动情况相同,因而仍可用一个质点
来描写体系的运动。
归纳起来,我们是研究一个质量随时间变化的质点的
运动,例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝
聚于水滴上的雨滴等。
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3.3.1 变质量体系
显然,这样的质点运动不能直接应用牛顿
定律,也不能把体系动量定理直接搬过来用,
因为无论牛顿定律或体系动量定理,都是指一
个确定组成的体系(或一个确定的质点)在给
定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是
确定的,所谓内力和外力才有确定的意义,变
质量体系是不断与外界交换质量的体系,体系
的组成随时间不断变化,对于这样的体系,牛
顿定律和体系动量定理不适用。
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3.3.1 变质量体系
我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程,
在每个元过程的起始时刻,原来的体系(我们把它称为
主体)和即将进入主体的物体(我们不妨称它为附体)
是分离的,经过时间,在元过程的末了时刻,附体并入
主体构成一个新体系。
在该元过程中,体
系动量定理又适用。这
样,整个体系组成变化
的过程可看成一系列不
同组成的确定体系的元
过程的总和。在每一元
过程中,对相应的体系,
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运
动方程。
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3.3.2 运动方程
t 时刻:
主体质量 m, 速度 v,外力Fm
附体质量△m,速度 u,外力F△m
t + △t 时刻:主体质量 m+ △m ,速度 v+△v,外力 F = Fm+ F△m
体系的动量定理:
( m   m )( v   v )  ( m v   m u )  F  t
即:
m
 v
t
 (u  v )
令△t→0,则△v→0 ,上
式取极限得:
m
dv
 (u  v )
dm
F
dt
dt
这就是变质量质点(即主体)
的运动方程。
m
t
 F  v
m
t
中中
国国
科
科
学学
技技
术术
大大
学学
杨
杨
维维
纮纮
几点说明:
m
dv
 (u  v )
dt
dm
F
dt
1. 方程中外力 F = Fm+ F△m ,附体对主体的作用
力(u-v)dm/dt,当 u = v时,上述方程与牛顿
第二定律虽然形式上一样,但要注意仍是变量。
2. 当 u = 0 时,方程变为:
m
dv
dt
v
dm
dt

d
dt
(m v ) 
dP
F
dt
这与牛顿第二定律一样。
3. 上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的,但当
dm/dt < 0 时,结论依然正确,火箭就是这种情
况的例子。
几点说明:
m
dv
 (u  v )
dt
dm
F
dt
4. 若主体与外界两种(或两种以上)质量交换过程
时,上述方程应改写为:
m
dv
dt
 (u 1  v )
dm 1
dt
 (u 2  v )
dm 2
F
dt
其中 u1、u2 分别表示附体1和2在并入主体前的速
度,dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的
质量改变速率,而主体的质量改变为:
dm
dt

dm 1
dt

dm 2
dt
中
国
科
学
技
术
大
学
例3-5:雨滴开始自由下落时质量为 m0,在下落的过程中,单位时间
凝聚的水汽质量为 k,忽略空气阻力,求雨滴经时间 t 下落的距离。
解:设水汽附着于水滴前的速度 u = 0,由方程(3.3-3),得:
d
dt
[( m 0  kt ) v ]  ( m 0  kt ) g
利用初始条件:t = 0 时,v = 0 ,由该方程可解得:
v
(m 0t 
1
2
kt ) g
2
m 0  kt
即:
dx
dt

1
2
gt 
m0 g
2

2k
m0 g
2 k ( m 0  kt )
积分,并利用初始条件: t = 0 时,x = 0 ,得:
杨
维
纮
2

m
1  1 2 m0
k 
 0
x  t 
t
t  
 ln  1 
2  2
k
m 0  
 k 

此即水滴经时间 t 下落的距离。