Решение линейных и квадратных неравенств
Download
Report
Transcript Решение линейных и квадратных неравенств
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Определения
1. Квадратное неравенство – это неравенство,
которое равносильными преобразованиями
может быть приведено к неравенству вида
x2 + px + q > 0 (или <, , ).
2. Чтобы решить квадратное неравенство,
нужно найти промежутки постоянного
знака соответствующей квадратичной
функции. Их вид зависит от наличия
корней квадратного уравнения
x2 + px + q = 0.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Полезно запомнить
если функция y = x2 + px + q имеет корни x1, x2,
то она отрицательна в интервале между ними и
положительна вне его:
–
+
x1
+
x2
x2 + px + q = (x – x1)(x – x2), то
(x – x1)(x – x2) < 0 x (x1; x2);
(x – x1)(x – x2) > 0 x (–; x1) (x2; +).
То есть, если
если корней нет, то эта функция положительна
на всей числовой оси.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Алгоритм решения квадратного неравенства
1. Преобразованиями привести неравенство к виду
x2 + px + q > 0 (или <, , ).
2. Выяснить, есть ли корни у квадратного трехчлена
x2 + px + q = 0 и найти их, если они есть.
3. Записать ответ.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Пример 1
Решим неравенство
(1 – x)(2 + x) 2.
Решение:
(1 – x)(2 + x) 2
2 – 2x + x – x2 2 x2 + x 0.
2. Находим корни: x2 + x = 0 x1 = –1; x2 = 0.
1. Преобразуем неравенство:
3. Ответ:
x –1; x 0 или x (–; –1] [0; +).
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Пример 2
Найдем отрицательные решения неравенства
6 – x2 –x .
Решение:
Нахождение решений квадратного неравенства на
промежутке сводится к решению системы неравенств.
1. Преобразуем неравенство:
6 – x2 –x x2 – x – 6 0.
2. Корни квадратного трехчлена
x2 – x – 6: x1 = –2, x2 = 3.
3. Наносим на числовую ось решения неравенства и
промежуток изменения x:
–3
4. Ответ:
[
–2
)
0
1
2
–2 x < 0, или x [–2; 0).
]
3