Квадратичная функция, решение квадратных уравнений и неравенств

Обучающая интерактивная презентация 8 9 класс

1. Квадратичная функция

Если a>0:

Квадратичной функцией называется функция вида

f

(

x

) 

ax

2 

bx



c

,

где a

 0 ,

a

,

b

,

c



R

Область определения:

D

(

y

) :

x



R

График квадратичной функции:

парабола

y y y=f(x) y=f(x)

Если a<0:

x 0 x 0

2. Квадратичная функция, ее график

0 y

0

y x

1

x

0

x

2 Точка

( x 0 ;y 0 ) –

вершина параболы Вычисление координат вершины параболы:

y=f(x) x x

0  

b

2

a y

0 

ax

2 0 

bx

0 

c

x 1 ; x 2 –

точки пересечения параболы с осью

Ox

(в зависимости от расположения параболы их может и не быть) Область значений квадратичной функции:

E

(

y

) :   

y y

  [

y

0 ;  ) (  ;

y

0 ] , ,

a a

 0  0

3 . Количество точек пересечения графика квадратичной функции с осью Ox Рассмотрим квадратичную функцию с коэффициентом a>0 Возможны 3 различные ситуации расположения графика относительно оси Ox:

y y y y=f(x) y=f(x) y=f(x) 0 x 0 x 0

1. Одна точка пересечения (парабола касается оси Ox) 2. Точек пересечения нет ( парабола располагается выше оси Ох) 3. Две точки пересечения (парабола пересекает ось Ох)

x

4. Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax

2 

bx



c

 0 , (

a



0

) ( 1 ) Для его решения вычисляется дискриминант:

D



b

2  4

ac

В зависимости от значения дискриминанта возможны 3 ситуации: 1 )

D

 0 ,

x

1 

два



b



D

,

x

2  

b



D

2

a

2

a различных действител ьных корня

2 )

D

 0 ,

x

1  

b

 2

a D

,

x

2  

b

 2

a äâà ñîâïàäàþùè õ D äåéñòâèòåë

(

êðàòíûå üíûõ êîðíè êîðíÿ

) 3 )

D

 0 ,

действител ьных корней нет

5. Теорема Виета

Квадратное уравнение называется

приведенным,

если коэффициент при старшей степени

a равен 1

:

x

2 

px



q

 0 ( 2 )

Заметим, что уравнение (1) всегда можно привести к (2) делением обеих частей уравнения (1) на коэффициент a.

Если квадратное уравнение (1) имеет решения

x 1 ;x 2

, то:  

x

1

x

1  

x

2

x

2  

p



q

6. Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Задача 1. Решить квадратное неравенство

ax

2 

bx



c

 0 (

a

 0 ) ( 3 )

Ситуация 1.

D=0 ( два совпадающих корня уравнения (1))

y

Решением квадратного неравенства (3) является:

x

    ;

x

0   (

x

0 ;  )

0 y=f(x) x 0 x

Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Ситуация 2.

D<0 ( уравнение (1) не имеет действительных корней)

y y=f(x)

Решением квадратного неравенства (3) является:

x

 (  ;  )

0 x

Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Ситуация 3.

D>0 ( уравнение (1) имеет 2 различных действительных корня)

y

Решением квадратного неравенства (3) является:

x

 (  ;

x

1 )  (

x

2 ;  )

y=f(x) 0 x 1 x 2 x

Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Задача 2. Решить квадратное неравенство

ax

2 

bx



c

 0 (

a

 0 ) ( 4 )

Ситуация 1.

D=0 ( два совпадающих корня уравнения (1))

y

Решением квадратного неравенства (4) является:

x

 

0 y=f(x) x 0 x

Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Ситуация 2.

D<0 ( уравнение (1) не имеет действительных корней)

y y=f(x)

Решением квадратного неравенства (4) является:

x

 

0 x

Графическая интерпретация решения квадратных неравенств

Ситуация 3.

D>0 ( уравнение (1) имеет 2 различных действительных корня)

y

Решением квадратного неравенства (4) является:

x

 (

x

1 ;

x

2 )

y=f(x) 0 x 1 x 2 x