Slide 1

Линейные неравенства с
параметрами
Обучающая интерактивная презентация

7 класс


Slide 2

1. Линейная функция. Понятие параметра

y

Рассмотрим линейную
функцию y=kx+b, где
k – произвольное число
(параметр),
принимающее
различные значения,
b – фиксированное
число.

0

x


Slide 3

Линейная функция. Понятие параметра

y

Рассмотрим линейную
функцию y=kx+b, где
b – произвольное число
(параметр),
принимающее
различные значения,
k – фиксированное
число.

0

x


Slide 4

2. Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Линейные неравенства в зависимости от значений параметра а могут иметь:
1) бесконечное множество решений , 2) не иметь решений
Пример1.
y

Решить линейное неравенство
ax>1, где a -параметр.

Для нахождения решения
применим графический
подход. Построим графики
функций y=1 и y=ax.
Определим те значения
угловых коэффициентов а,
при которых ax>1.

1

y=1

y=0, a=0
 1

x=1/a
0
y=ax, a>0

x=1/a
y=ax, a<0

Ответ:



x   ;   , a  0

a


1
.x      ;  , a  0
a

 , a  0




Slide 5

Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Пример2. Решить линейное

Пример3. Решить линейное

неравенство

неравенство 2x+a≥ax+1.

x+aгде a –параметр.
Преобразуем неравенство:
x-ax<1-a ; x(1-a)<1-a ;
 ( ;1), если 1  a  0

x  (1;), если 1  a  0

, если a  1.


Ответ:

 ( ;1), если a  ( ;1)

x  (1;), если a  (1;)

, если a  1.


Преобразуем неравенство:
2x-ax ≥ 1-a ; x(2-a) ≥ 1-a ;
 1  a

;

, если 2  a  0

2a



1 a 

x    ;
, если 2  a  0
2

a


R, если a  2.


  1  a

;

, если a  ( ;2)

2a



1 a 

Ответ: x    ;
, если a  ( 2;)
2

a


R, если a  2.





Slide 6

Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Пример 4. Решить неравенство

y

-x+a≤2-x,
в зависимости от значений
параметра a.

2

Решение. Для нахождения

решения применим
графический метод. Построим
графики функций y=2-x и
y=-x+a.
При a≤2 прямая y=2-x располагается не ниже прямой
y=-x+a, то есть неравенство имеет бесконечное
множество решений;
При a>2 прямая y=2-x располагается ниже прямой
y=-x+a, то есть неравенство не имеет решений;
.

2

0

Ответ:

x

 R , a  (  ; 2 ],
x
  , a  ( 2 ;  ).


Slide 7

3. Решение линейных неравенств с параметром.
Определение свойств решений
Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых неравенство ax+2
имеет своим решением промежуток (3; +∞).
Решение. Преобразуем неравенство: ax < a-2.

Разделим левую и правую части неравенства на a.
В зависимости от знака a возможны 3 различные ситуации.

1. a>0
x

a2
a

2. a<0

a2

 x    ;

a 

(a-2)/2

требование задачи
не выполняется

x

a2
a

x

(a-2)/2

3. a=0

a2

 x
;  
 a


Неравенство имеет вид:
x

требование задачи выполнится
если ( a-2)/2=3, то есть a=8

0  2  

Ответ: a=8.


Slide 8

Решение линейных неравенств с параметром.
Определение свойств решений
Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых неравенство 2x-1>a

является следствием неравенства x+3≥a.
Определение. Неравенство A является следствием неравенства B, если
множество решений В содержится во множестве решений неравенства А.
Решение.

Решим неравенства: 1) 2x-1 > a
x > (a+1)/2
(a+1)/2

Для того, чтобы неравенство 1) было
следствием неравенства 2), потребуем,
чтобы промежуток [a-3; +∞)
содержался в промежутке ((a+1)/2;+∞).

x

2) x+3 ≥ a
x ≥ a-3
a-3

x

(a+1)/2

Потребуем: a  3 

a-3

a 1
2

x

 a  7.

Ответ: a>7.