Transcript Метод областей и его обобщения при решении неравенств с

Метод областей и его
обобщения
при решении неравенств с
двумя переменными
Содержание
Графическое решение неравенств
Cвойство чередования знака для
линейного многочлена F(x;y)= px + qy
+ r(p2 + q2 = 0)
Метод областей и его обобщения
Области знакопостоянства
многочленов F(x;y) второй степени
примеры
Графическое решение
неравенств
Решением неравенства с двумя
переменными F(x;y)>0 называется
упорядоченная пара действительных
чисел (x0;y0), обращающая это
неравенство в верное числовое
неравенство.
Графически это соответствует
заданию точки (x0;y0) координатной
плоскости.
Решить неравенство – значит найти
множество всех его решений.
Совокупность всех точек, координаты
которых удовлетворяют неравенству
F(x;y)>0 , называют областью его
решений.
Неравенства называются
равносильными, если они имеют одну
и ту же область решений.
Полезно будет напомнить здесь одно простое утверждение:
график уравнения F(x;y)=y-f(x)=0, где f(x) – многочлен, делит
координатную плоскость на две области так, что при переходе
из одной области в другую значение выражения F(x;y) меняет
знак на противоположный.
Пример:
x2-y<0
Cвойство чередования знака
для линейного многочлена
F(x;y)= px + qy + r(p2 + q2 = 0):
При переходе через точку прямой px
+ qy + r = 0 из одной полуплоскости в
другую знак значения многочлена
F(x;y) меняется на противоположный.
Метод областей и его
обобщения
Метод областей опирается на следующее
свойство чередования знака выражения 1) F(x;y)
= F1(x;y)*F2(x;y)*…*Fn(x;y) :
При переходе через обыкновенную точку
прямой pix + qiy + ri = 0 (границы области) из
одной области в смежную знак значения
выражения (1) меняется на
противоположный.
Области знакопостоянства
многочленов F(x;y) второй
степени
Теорема:
Гипербола xy – k = 0 (k
неравно 0) делит
координатную
плоскость на три
области так, что
при переходе из
одной области в
смежную выражение
F(x;y) = xy – k
меняет знак на
противоположный.
Теорема:
Парабола, заданная
каноническим
уравнением y2=
2px (p неравно 0),
делит
координатную
плоскость на две
области так что при
переходе из одной
области в другую
значение
выражения F(x;y) =
y2 - 2px меняет
знак на
Примеры
Пример 1.
Показать штриховкой на координатной плоскости
множество точек с координатами (x;y), для
которых (x2 – y – 2)(y2 – x – 2) < 0.
Записать неравенство, которое
задает множество точек плоскости,
показанное штриховкой на рисунке.
Составим выражение F(x;y) = (y
– x2)(x2 + y2 – 16)
F(0;5) = 45, 45 > 0.
(y – x2)(x2 + y2 – 16) > 0
Пример 2.
Найдите на координатной плоскости множество решений
неравенства
(1-x)y-x
>0
y – 2(1-x)
Спасибо за внимание!