Transcript Dowód twierdzenia Pitagorasa
Pitagoras z Samos
Pitagoras z Samos
(572 p.n.e. - 497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz.
Był nie tylko matematykiem, ale także filozofem.
Założył szkołę, która głosiła m.in.
wiarę w reinkarmację.
Pitagorejczycy wierzyli, że dusza człowieka może wcielić się nawet w roślinę.
Prowadzili też działalność naukową.
Nie wiadomo, czy twierdzenie Pitagorasa udowodnił po raz pierwszy sam Pitagoras, czy też któryś z jego uczniów.
Jest natomiast pewne, że było ono znane wcześniej, gdyż archeologowie znaleźli przykłady jego użycia już w egipskich papirusach.
Twierdzenie Pitagorasa brzmi:
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a b c a 2+ b 2 =c 2
Dowód twierdzenia Pitagorasa
a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, a c jest długością przeciwprostokątnej.
Udowodnię, że a 2 +b 2 =c 2
a b c
Popatrz na rysunek:
c c b a Na przeciwprostokątnej c położyłam kwadrat.
trójkąta prostokątnego
Teraz do każdego z pozostałych 3 boków kwadratu o boku
c
zbuduję 3 identyczne trójkąty prostokątne bokach
a
,
b
i
c
.
b a a b c b c a a b
Kąt kwadratu o boku c i dwa kąty ostre trójkątów tworzą kąt półpełny.
Zatem otrzymana figura to czworokąt, a dokładniej kwadrat o boku a+b.
b a a b c c b a a b
Pole tego kwadratu można obliczyć w różny sposób.
I sposób to:
P= (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Przy tym obliczaniu korzystałam ze wzoru na pole kwadratu.
II sposób to:
P=4*(a*b)1/2+c 2 P=2ab+c 2 II sposób obliczyłam wykorzystując , że otrzymany kwadrat składa się z czterech trójkątów i kwadratu.
2
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
P3 P1 P2 Czyli P1+P2=P3
P1+P2=P3 Można tę równość zapisać w następujący sposób: a 2 +b 2 =c 2 Gdyż: c 2 a 2 b 2
A oto dowód…
a b c
Przy pomocy trójkąta prostokątnego zbuduję kwadrat, którego boki będą równe sumie długości przyprostokątnej
a
i
b
tego trójkąta.
a + b
Następnie dzielę kwadrat (pionowo) na dwa prostokąty.
Jeden o bokach
b+a
i
a
.
Drugiego boki wynoszą
b+a
i
b
.
a b b a a
Teraz dzielę dwa prostokąty (poziomo) tworząc 2 kwadraty o bokach
b
i
a
.
b a a b
Widzimy, że powstały 2 prostokąty i 2 kwadraty.
Prostokąty dzielę wzdłuż przekątnej na dwa trójkąty prostokątne.
Powstały 4 przystające trójkąty prostokątne: b b 1 2 3 a 4 a
Jeśli ułożę te trójkąty w odpowiedni sposób, otrzymamy pośrodku kwadrat o polu c
2
a b
1
a
2 4
a
3
b
b 1 a a b 3 c 2 a 2 b b 4 a
b 1 a a 3 c 2 b 4 a b 2 WNIOSEK: a b Pole kwadratu o boku długości a i b wynosi: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Pola 4 trójkątów o bokach a, b i c oraz pole kwadratu o boku c wynoszą: P=4*(a*b)1/2 +c 2 =2ab+c 2
Czyli:
c 2 =a 2 +b 2