Transcript Prezentacja Arkadiusza Ćwikły "Twierdzenie Pitagorasa"

Kim był Pitagoras?
Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e.
na Samos) to grecki
matematyk, filozof, mistyk
kojarzony ze słynnym
twierdzeniem
matematycznym
nazwanym jego imieniem.
(zm. ok. 497 p.n.e. w
Metaponcie)
Jak brzmi twierdzenie?
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej tego trójkąta
c
a
b
Dowody twierdzenia
c
b
a
c
a
Pole trójkąta:
ab/2
Pole
kwadratu:
(a-b)2
Pole figury:
c2 lub
2ab + (a-b)2
b
c2 = 2ab + a2 +b2 – 2ab
c2 = a2 +b2
Pole małego kwadratu:
c2
c
Pole dużego kwadratu:
b
(a+b)2 lub 2ab+c2
(a+b)2 = 2ab+c
a 2
a2+2ab+b2 = 2ab+c2
a2 + b2 = c2
c
b
a
a
Pole dużego trójkąta:
c2:2
b
Pole trapezu:c
(a+b)(a+b) :2
b
c
(a2+2ab+b2):2
c2:2+ab
a
(a2+2ab+b2):2 = c2:2+ab
a2+2ab+b2 = c2+2ab
a2+b2 = c2
c
b
a
Trójki pitagorejskie
To takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają
równanie Pitagorasa:
a2 + b2 =c2
a
b
c
3
4
5
5
12
13
6
8
10
7
24
25
9
12
15
8
15
17
Trójki pitagorejskie
Jeżeli trójka a, b, c jest pitagorejska to jest nią też da, db,
dc dla dowolnej liczby całkowitej naturalnej d
Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c
nie mają wspólnego dzielnika.
Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać
pierwotną przez podzielenie jej przez największy
wspólny dzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy
otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich
trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę
całkowitą dodatnią.
Trójki pitagorejskie
Jeśli m i n są liczbami naturalnymi oraz m > n , to
a = m2 – n 2
b = 2mn
c = m2 + n 2
a, b, c jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna
wtedy i tylko wtedy gdy m i n są względnie pierwsze
i nie są jednocześnie nieparzyste.
Związki miarowe w trójkątach
a
a
a√2
W trójkącie o kątach:
 90
 45
 45
Związki miarowe w trójkątach
W trójkącie o kątach:
 90
 60
 30
2a
a√3
a
Twierdzenie cosinusów
W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat
długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów
długości pozostałych boków, pomniejszonej o
podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa
kąta zawartego między nimi.
c
a
c2 = a2 + b2 – 2abcosα
α
b
=h +b
Dowód ctwierdzenia
b = b1 + b2
2
2
1
2
h2 = a2 – b22
b12 = (b – b2)2
a
c
c2 = a2 – b22 + (b – b2)2
h
α
b1
b2
c2 = a2 + b2 – 2abcosα
c2 = a2 – b22 + b2 – 2bb2 + b22
c2 = a2 + b2 – 2bb2
– 2bb2 = -2ab ∙ b2:a
b2:a = cosα
Uogólnione twierdzenie pitagorasa
α=90
c2 = a2 + b2 – 2abcosα
cosα = 0
c
a
c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ 0
c 2 = a2 + b 2
α
b
Strony źródłowe
 http://www.wykop.pl/ramka/341444/84-dowody-
twierdzenia-pitagorasa/
 http://letsplaymath.net/2008/09/24/mathematicianfor-president/
 http://pl.wikipedia.org
Wykonał:
Arkadiusz Ćwikła