Transcript Czym są paradoksy i sofizmaty
Slide 1
PARADOKSY
I SOFIZMATY
Sebastian Dziadzio
Kl. IIIc
Slide 2
Czym są paradoksy i sofizmaty ?
PARADOKSrozumowanie, w którym
wychodząc od
niepodważalnych lub
sprawiających wrażenie
niepodważalnych
przesłanek, dowodzi się
twierdzeń wzajemnie
sprzecznych,
absurdalnych,
niezgodnych z intuicją
czy zdrowym rozsądkiem.
Rozumowanie takie może
być prawdziwe lub nie,
często jego prawdziwość
budzi gorące spory.
SOFIZMAT-dowód
matematyczny
zawierający błąd, często
wprowadzony celowo i
ukryty.
Slide 3
Zabawa z liczbami
• Wybierz dowolną liczbę trzycyfrową o
•
•
•
•
różnych cyfrach, nie zawierającą zera.
Zamień cyfrę jedności z cyfrą setek:
otrzymasz w ten sposób drugą liczbę.
Od większej z tych dwóch liczb odejmij
mniejszą i zanotuj różnicę.
W otrzymanej różnicy zamień cyfrę jedności
z cyfrą setek- ponownie otrzymasz dwie
liczby-dodaj je do siebie.
Jeżeli wykonałeś wszystkie działania
poprawnie, Twój wynik to 1089
Slide 4
Każda liczba jest równa liczbie
mniejszej od siebie !
a=b+c / · (a-b)
Przykładowo: 5=3+2; a=5, b=3, c=2
a · (a-b) = (b+c) (a-b)
a²- ab = ab+ac-b²-bc /-ac
a²-ab-ac = ab-b²-bc
a · (a-b-c) = b · (a-b-c) / : (a-b-c)
a=b
Zgodnie z przykładem: 5=3 !
a-b-c zgodnie z przykładem
jest równe : 5-3-2, czyli 0 !
Na czym polega więc błąd ?
Slide 5
Nie istnieją trójkąty różnoboczne
Dany jest dowolny
trójkąt różnoboczny.
Rysujemy symetralną
jednego z boków oraz
dwusieczną jednego z
kątów.
Punkt ich przecięcia
oznaczamy przez S.
Slide 6
Porównajmy trójkąty: SBE i SAD
Możemy łatwo zauważyć, że
odcinki SD i SE są tej
samej długości, ponieważ
punkt S leży na
dwusiecznej kąta DCE, a
więc jest równo odległy od
ramion kąta. Odcinki SA i
SB również są identyczne,
gdyż punkt S leży na
symetralnej odcinka AB,
więc jest równo odległy od
jego końców. Ponieważ
trójkąty SAD i SBE są
prostokątne, możemy,
powołując się na cechę
BKB stwierdzić, że są one
przystające.
Wynika z tego, że
odcinki DA i EB są
identyczne.
Slide 7
Teraz porównajmy trójkąty SDC i SEC
Jak już wcześniej
zauważyliśmy, odcinki
SD i SE są takie
same, natomiast
odcinek CS jest
wspólny. Trójkąty te
są więc przystające.
Wynika z tego, że
odcinki DC i EC są
takie same.
Slide 8
Wniosek ?
DA = EB
DC= EC +
AC = BC
Wynika z tego, że trójkąt ABC jest równoramienny, a
przecież identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla
dowolnego trójkąta ! Czy oznacza to że trójkąty różnoboczne
nie istnieją? Na szczęście w rozumowaniu jest jeden
podstawowy błąd… No właśnie, jaki ?
Slide 9
Symetralna boku i dwusieczna kąta
w trójkącie różnobocznym
przecinają się poza trójkątem…
Slide 10
Za czasów Mieszka I żyło ponad
bilion ludzi !
Każdy z nas ma dwoje biologicznych rodziców,
czworo dziadków, ośmioro pradziadków,
szesnastu prapradziadków itd. Zakładając, że od
czasów Mieszka I przeminęło około 40 pokoleń
(mniej więcej 26 lat na jedno pokolenie),
możemy obliczyć, że żyło wtedy:
240 = 1 099 511 627 776 (1 bilion 99 miliardów 511
milionów 627 tysięcy 776) ludzi w samej tylko
Polsce !
Nie wzięliśmy jeszcze pod uwagę ludzi, którzy nie
byli naszymi przodkami !
Slide 11
Gdzie tkwi bład ?
Błąd polega na tym, że te same osoby
zliczamy wielokrotnie. Ten sam człowiek
może być przecież naszym przodkiem
zarówno po matce, jak i po ojcu, może
wręcz pojawiać się wielokrotnie w różnych
miejscach naszego drzewa
genealogicznego - im dalej sięgamy w
przeszłość tym jest to bardziej
prawdopodobne!
Slide 12
Wszystkie okręgi mają taki sam obwód !
Mamy dwa współśrodkowe okręgi o różnych promieniach.
Jeden z nich przetaczamy po linii prostej. Droga, jaką
przebył jest równa obwodowi tego okręgu. Możemy jednak
zauważyć, że okrąg o mniejszym promieniu przebył
identyczną drogę, mimo że wykonał również tylko jeden
obrót ! Oba okręgi mają więc identyczny obwód !
Slide 13
Gdzie tym razem jest błąd ?
Mniejszy okrąg wykonuje co prawda
jeden obrót ale równocześnie
przesuwa się (jakby „ślizga”) w
prawo.
Slide 14
Jak zapobiec zamachowi
bombowemu na pokładzie
samolotu ?
Odpowiedzi na to pytanie pomoże nam udzielić statystyka.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pokładzie będzie
bomba? Powiedzmy, że 1 do 100 000. Jakie natomiast
jest prawdopodobieństwo że na pokładzie są dwie
bomby ? Tylko 1 do 100 000 000 !
Rozwiązanie jest więc proste: należy wnieść swoją bombę.
Zdrowy rozsądek podpowiada jednak że
prawdopodobieństwo zamachu pozostanie takie same
bez względu na to czy wniesiemy na pokład walizkę
pełną c4 czy nie. Rzeczywiście: prawdopodobieństwo że
na pokładzie jest bomba nie zmieni się. Dlaczego ?
W udzieleniu odpowiedzi na to pytanie pomoże kolejny
paradoks…
Slide 15
Paradoks hazardzisty
Wykonujemy serię rzutów monetą. Mamy dwa
możliwe wyniki: orzeł lub reszka.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia:
2 reszek pod rząd w dwóch rzutach = 1/4
3 reszek pod rząd w trzech rzutach = 1/8
4 reszek pod rząd w czterech rzutach = 1/16
5 reszek pod rząd w pięciu rzutach = 1/32
6 reszek pod rząd w sześciu rzutach = 1/64 itd.
Czy oznacza to że prawdopodobieństwo
wyrzucenia 6-tej reszki z rzędu wynosi 1/64 ?
Slide 16
Nie !
Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki
zawsze wynosi ½ , niezależnie od tego
czy jest to trzecia, czwarta czy setna
reszka z rzędu…
Slide 17
Jak wygrać w totka ?
Od początku istnienia gier typu lotto, ludzie
próbowali opracowywać różne metody
zwiększania szans na wygraną. Przeróżne
systemy liczbowe, skomplikowane algorytmy,
metody wypełniania kuponów, obserwacje
częstotliwości występowania poszczególnych
liczb mają jedną wspólną cechę: nie mają
żadnego wpływu na szanse wygranej. Jedną z
takich metod, na pierwszy rzut oka logiczną jest
eliminowanie tzw. układów niemożliwych.
Slide 18
Czym są układy niemożliwe ?
Wypełniając kupon totolotka, nikt o zdrowych zmysłach nie obstawia
szóstek typu :
1,2,3,4,5,6 ; 6,5,4,3,2,1 ; 2,4,6,8,10,12 ; 10, 20 , 30 , 40, 50, 60
Chyba zgodzicie się, że jest niemożliwe, żeby liczby ułożyły się właśnie
w taki sposób…
W rzeczywistości prawdopodobieństwo wystąpienia takiego układu jest
takie same, jak każdego innego i wynosi około :
1: 13 983 816
Życzymy powodzenia
Slide 19
Niemożliwość zaskakiwania, czyli
paradoks niezapowiedzianej
kartkówki
Nauczyciel powiedział uczniom, że w
następnym tygodniu zrobi im kartkówkę,
ale jej dokładny termin będzie dla nich
całkowitym zaskoczeniem. Okazuje się że
zrobienie takiej kartkówki jest zwyczajnie
niemożliwe.
Slide 20
Kartkówka nie mogłaby odbyć się w piątek, gdyż we
czwartek wieczorem wszyscy by się już jej spodziewali
i nie byłaby dla nikogo zaskoczeniem.
Skoro piątek odpada, również w czwartek kartkówka
nie mogłaby się odbyć, ponieważ już w środę wieczór
wszyscy by się jej spodziewali.
Skoro kartkówka nie może odbyc się w czwartek,
również środa odpada jako potencjalny termin
klasówki. We wtorek wieczorem wszyscy by już
bowiem znali jej termin.
Na tej samej zasadzie odrzucamy pozostałe dni
tygodnia, wysnuwając w końcu wniosek, że
zaskoczenie uczniów kartkówką jest dla nauczyciela
niewykonalne.
PONIEDZIAŁEK
WTOREK
ŚRODA
CZWARTEK
PIĄTEK
Slide 21
Wydawałoby się, że uczniowie mogą w
takim razie spędzić weekend na
rozrywce…
A kiedy nauczyciel każe im w poniedziałek
wyciągnąć karteczki, strach i całkowite
zaskoczenie odmaluje się na ich twarzach.
Slide 22
Achilles i żółw
Jeden z najbardziej znanych paradoksów w historii
świata. Był argumentem używanym przez
filozofów, którzy negowali istnienie ruchu.
Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Achilles i
żółw zaczynają się poruszać w tą samą stronę.
Achilles biega dwa razy szybciej niż żółw, więc
na początku ustawił się dziesięć metrów za
zwierzątkiem. Achilles stara się dogonić żółwia,
ale okazuje się, że jest to niemożliwe…
Slide 23
Żółw zaczyna się poruszać i przemieszcza się
o niewielki dystans.
2. Achilles rozpoczyna pościg: kiedy dobiega do
miejsca, w którym stał żółw, zwierzątko jest już
dalej.
3. Achilles dalej goni żółwia: kiedy dobiega do
miejsca, w którym stał przed chwilą zwierzak,
jego już tam nie ma: przesunął się o niewielki
dystans.
Takie rozumowanie można ciągnąć w
nieskończoność. Nasuwa się jedyny logiczny
wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, a
ruch nie istnieje.
1.
Slide 24
Paradoksy tego typu wyjaśnia się obecnie
za pomocą metod różniczkowania i tzw.
liczb nieskończenie małych. Najprościej
można błąd w tym paradoksie ująć w
sposób następujący: kiedy mamy do
czynienia ze zjawiskiem ciągłym, jakim
jest ruch, nie możemy rozpatrywać go
„punktowo”, wybierając jedynie niektóre
fragmenty ruchu.
Slide 25
Paradoks kłamcy
Niniejsze zdanie jest fałszywe.
Poniższe zdanie jest fałszywe.
Powyższe zdanie jest prawdziwe.
UWAGA : Opowiadają, że starożytny grecki poeta
Filetas z Kos tak długo rozmyślał nad
paradoksem kłamcy, że nieszczęsny wyzionął
ducha.
Slide 26
Na koniec-zagadka
Ile przekątnych ma narysowana bryła ? Za
przekątną uznajemy odcinek łączący dwa
wierzchołki i nie położony na żadnej ze
ścian.
Slide 27
Dziękuję za uwagę
KONIEC
Slide 28
Wykonał : Sebastian Dziadzio
Klasa IIIc
r.szk.2006/2007
PARADOKSY
I SOFIZMATY
Sebastian Dziadzio
Kl. IIIc
Slide 2
Czym są paradoksy i sofizmaty ?
PARADOKSrozumowanie, w którym
wychodząc od
niepodważalnych lub
sprawiających wrażenie
niepodważalnych
przesłanek, dowodzi się
twierdzeń wzajemnie
sprzecznych,
absurdalnych,
niezgodnych z intuicją
czy zdrowym rozsądkiem.
Rozumowanie takie może
być prawdziwe lub nie,
często jego prawdziwość
budzi gorące spory.
SOFIZMAT-dowód
matematyczny
zawierający błąd, często
wprowadzony celowo i
ukryty.
Slide 3
Zabawa z liczbami
• Wybierz dowolną liczbę trzycyfrową o
•
•
•
•
różnych cyfrach, nie zawierającą zera.
Zamień cyfrę jedności z cyfrą setek:
otrzymasz w ten sposób drugą liczbę.
Od większej z tych dwóch liczb odejmij
mniejszą i zanotuj różnicę.
W otrzymanej różnicy zamień cyfrę jedności
z cyfrą setek- ponownie otrzymasz dwie
liczby-dodaj je do siebie.
Jeżeli wykonałeś wszystkie działania
poprawnie, Twój wynik to 1089
Slide 4
Każda liczba jest równa liczbie
mniejszej od siebie !
a=b+c / · (a-b)
Przykładowo: 5=3+2; a=5, b=3, c=2
a · (a-b) = (b+c) (a-b)
a²- ab = ab+ac-b²-bc /-ac
a²-ab-ac = ab-b²-bc
a · (a-b-c) = b · (a-b-c) / : (a-b-c)
a=b
Zgodnie z przykładem: 5=3 !
a-b-c zgodnie z przykładem
jest równe : 5-3-2, czyli 0 !
Na czym polega więc błąd ?
Slide 5
Nie istnieją trójkąty różnoboczne
Dany jest dowolny
trójkąt różnoboczny.
Rysujemy symetralną
jednego z boków oraz
dwusieczną jednego z
kątów.
Punkt ich przecięcia
oznaczamy przez S.
Slide 6
Porównajmy trójkąty: SBE i SAD
Możemy łatwo zauważyć, że
odcinki SD i SE są tej
samej długości, ponieważ
punkt S leży na
dwusiecznej kąta DCE, a
więc jest równo odległy od
ramion kąta. Odcinki SA i
SB również są identyczne,
gdyż punkt S leży na
symetralnej odcinka AB,
więc jest równo odległy od
jego końców. Ponieważ
trójkąty SAD i SBE są
prostokątne, możemy,
powołując się na cechę
BKB stwierdzić, że są one
przystające.
Wynika z tego, że
odcinki DA i EB są
identyczne.
Slide 7
Teraz porównajmy trójkąty SDC i SEC
Jak już wcześniej
zauważyliśmy, odcinki
SD i SE są takie
same, natomiast
odcinek CS jest
wspólny. Trójkąty te
są więc przystające.
Wynika z tego, że
odcinki DC i EC są
takie same.
Slide 8
Wniosek ?
DA = EB
DC= EC +
AC = BC
Wynika z tego, że trójkąt ABC jest równoramienny, a
przecież identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla
dowolnego trójkąta ! Czy oznacza to że trójkąty różnoboczne
nie istnieją? Na szczęście w rozumowaniu jest jeden
podstawowy błąd… No właśnie, jaki ?
Slide 9
Symetralna boku i dwusieczna kąta
w trójkącie różnobocznym
przecinają się poza trójkątem…
Slide 10
Za czasów Mieszka I żyło ponad
bilion ludzi !
Każdy z nas ma dwoje biologicznych rodziców,
czworo dziadków, ośmioro pradziadków,
szesnastu prapradziadków itd. Zakładając, że od
czasów Mieszka I przeminęło około 40 pokoleń
(mniej więcej 26 lat na jedno pokolenie),
możemy obliczyć, że żyło wtedy:
240 = 1 099 511 627 776 (1 bilion 99 miliardów 511
milionów 627 tysięcy 776) ludzi w samej tylko
Polsce !
Nie wzięliśmy jeszcze pod uwagę ludzi, którzy nie
byli naszymi przodkami !
Slide 11
Gdzie tkwi bład ?
Błąd polega na tym, że te same osoby
zliczamy wielokrotnie. Ten sam człowiek
może być przecież naszym przodkiem
zarówno po matce, jak i po ojcu, może
wręcz pojawiać się wielokrotnie w różnych
miejscach naszego drzewa
genealogicznego - im dalej sięgamy w
przeszłość tym jest to bardziej
prawdopodobne!
Slide 12
Wszystkie okręgi mają taki sam obwód !
Mamy dwa współśrodkowe okręgi o różnych promieniach.
Jeden z nich przetaczamy po linii prostej. Droga, jaką
przebył jest równa obwodowi tego okręgu. Możemy jednak
zauważyć, że okrąg o mniejszym promieniu przebył
identyczną drogę, mimo że wykonał również tylko jeden
obrót ! Oba okręgi mają więc identyczny obwód !
Slide 13
Gdzie tym razem jest błąd ?
Mniejszy okrąg wykonuje co prawda
jeden obrót ale równocześnie
przesuwa się (jakby „ślizga”) w
prawo.
Slide 14
Jak zapobiec zamachowi
bombowemu na pokładzie
samolotu ?
Odpowiedzi na to pytanie pomoże nam udzielić statystyka.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pokładzie będzie
bomba? Powiedzmy, że 1 do 100 000. Jakie natomiast
jest prawdopodobieństwo że na pokładzie są dwie
bomby ? Tylko 1 do 100 000 000 !
Rozwiązanie jest więc proste: należy wnieść swoją bombę.
Zdrowy rozsądek podpowiada jednak że
prawdopodobieństwo zamachu pozostanie takie same
bez względu na to czy wniesiemy na pokład walizkę
pełną c4 czy nie. Rzeczywiście: prawdopodobieństwo że
na pokładzie jest bomba nie zmieni się. Dlaczego ?
W udzieleniu odpowiedzi na to pytanie pomoże kolejny
paradoks…
Slide 15
Paradoks hazardzisty
Wykonujemy serię rzutów monetą. Mamy dwa
możliwe wyniki: orzeł lub reszka.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia:
2 reszek pod rząd w dwóch rzutach = 1/4
3 reszek pod rząd w trzech rzutach = 1/8
4 reszek pod rząd w czterech rzutach = 1/16
5 reszek pod rząd w pięciu rzutach = 1/32
6 reszek pod rząd w sześciu rzutach = 1/64 itd.
Czy oznacza to że prawdopodobieństwo
wyrzucenia 6-tej reszki z rzędu wynosi 1/64 ?
Slide 16
Nie !
Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki
zawsze wynosi ½ , niezależnie od tego
czy jest to trzecia, czwarta czy setna
reszka z rzędu…
Slide 17
Jak wygrać w totka ?
Od początku istnienia gier typu lotto, ludzie
próbowali opracowywać różne metody
zwiększania szans na wygraną. Przeróżne
systemy liczbowe, skomplikowane algorytmy,
metody wypełniania kuponów, obserwacje
częstotliwości występowania poszczególnych
liczb mają jedną wspólną cechę: nie mają
żadnego wpływu na szanse wygranej. Jedną z
takich metod, na pierwszy rzut oka logiczną jest
eliminowanie tzw. układów niemożliwych.
Slide 18
Czym są układy niemożliwe ?
Wypełniając kupon totolotka, nikt o zdrowych zmysłach nie obstawia
szóstek typu :
1,2,3,4,5,6 ; 6,5,4,3,2,1 ; 2,4,6,8,10,12 ; 10, 20 , 30 , 40, 50, 60
Chyba zgodzicie się, że jest niemożliwe, żeby liczby ułożyły się właśnie
w taki sposób…
W rzeczywistości prawdopodobieństwo wystąpienia takiego układu jest
takie same, jak każdego innego i wynosi około :
1: 13 983 816
Życzymy powodzenia
Slide 19
Niemożliwość zaskakiwania, czyli
paradoks niezapowiedzianej
kartkówki
Nauczyciel powiedział uczniom, że w
następnym tygodniu zrobi im kartkówkę,
ale jej dokładny termin będzie dla nich
całkowitym zaskoczeniem. Okazuje się że
zrobienie takiej kartkówki jest zwyczajnie
niemożliwe.
Slide 20
Kartkówka nie mogłaby odbyć się w piątek, gdyż we
czwartek wieczorem wszyscy by się już jej spodziewali
i nie byłaby dla nikogo zaskoczeniem.
Skoro piątek odpada, również w czwartek kartkówka
nie mogłaby się odbyć, ponieważ już w środę wieczór
wszyscy by się jej spodziewali.
Skoro kartkówka nie może odbyc się w czwartek,
również środa odpada jako potencjalny termin
klasówki. We wtorek wieczorem wszyscy by już
bowiem znali jej termin.
Na tej samej zasadzie odrzucamy pozostałe dni
tygodnia, wysnuwając w końcu wniosek, że
zaskoczenie uczniów kartkówką jest dla nauczyciela
niewykonalne.
PONIEDZIAŁEK
WTOREK
ŚRODA
CZWARTEK
PIĄTEK
Slide 21
Wydawałoby się, że uczniowie mogą w
takim razie spędzić weekend na
rozrywce…
A kiedy nauczyciel każe im w poniedziałek
wyciągnąć karteczki, strach i całkowite
zaskoczenie odmaluje się na ich twarzach.
Slide 22
Achilles i żółw
Jeden z najbardziej znanych paradoksów w historii
świata. Był argumentem używanym przez
filozofów, którzy negowali istnienie ruchu.
Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Achilles i
żółw zaczynają się poruszać w tą samą stronę.
Achilles biega dwa razy szybciej niż żółw, więc
na początku ustawił się dziesięć metrów za
zwierzątkiem. Achilles stara się dogonić żółwia,
ale okazuje się, że jest to niemożliwe…
Slide 23
Żółw zaczyna się poruszać i przemieszcza się
o niewielki dystans.
2. Achilles rozpoczyna pościg: kiedy dobiega do
miejsca, w którym stał żółw, zwierzątko jest już
dalej.
3. Achilles dalej goni żółwia: kiedy dobiega do
miejsca, w którym stał przed chwilą zwierzak,
jego już tam nie ma: przesunął się o niewielki
dystans.
Takie rozumowanie można ciągnąć w
nieskończoność. Nasuwa się jedyny logiczny
wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, a
ruch nie istnieje.
1.
Slide 24
Paradoksy tego typu wyjaśnia się obecnie
za pomocą metod różniczkowania i tzw.
liczb nieskończenie małych. Najprościej
można błąd w tym paradoksie ująć w
sposób następujący: kiedy mamy do
czynienia ze zjawiskiem ciągłym, jakim
jest ruch, nie możemy rozpatrywać go
„punktowo”, wybierając jedynie niektóre
fragmenty ruchu.
Slide 25
Paradoks kłamcy
Niniejsze zdanie jest fałszywe.
Poniższe zdanie jest fałszywe.
Powyższe zdanie jest prawdziwe.
UWAGA : Opowiadają, że starożytny grecki poeta
Filetas z Kos tak długo rozmyślał nad
paradoksem kłamcy, że nieszczęsny wyzionął
ducha.
Slide 26
Na koniec-zagadka
Ile przekątnych ma narysowana bryła ? Za
przekątną uznajemy odcinek łączący dwa
wierzchołki i nie położony na żadnej ze
ścian.
Slide 27
Dziękuję za uwagę
KONIEC
Slide 28
Wykonał : Sebastian Dziadzio
Klasa IIIc
r.szk.2006/2007