Transcript Z - cours de mecanique des fluides

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P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces
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IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces
Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de
deux milieux de propagation différents.
1 – Interface fluide-fluide
Considérons l’interface entre deux fluides (1) et (2), de masses
volumiques 1 et 2 , et de compressibilités 1 et 2 .
fluide 1
1, 1
2 , 2
fluide 2
Ui
Ur
0
Ut
x
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1, 1
Ui
Ur
0
2 , 2
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Ut
x
Puisqu’il s’agit de fluides, les ondes
propagées sont toutes longitudinales.
On a donc les vitesses de
propagation suivantes :
c1  1
11
et
c2  1
2 2
En arrivant sur l’interface, l’onde incidente Ui donne naissance à
une onde réfléchie Ur et une onde transmise Ut.
Afin de formaliser le comportement de l’onde à l’interface, il nous
faut exprimer les vibrations en notation complexe :
z  r ei  r cos  i sin 
x 
 
et que : Ux (x, t )  U0 x cos   t  

c 
 
Puisque :
x 
x 
 
 
x 
 
Ux (x, t )  U0 x cos  t    iU0 x sin  t    U0 x exp i  t  
c 
c 
c 
 
 
 
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P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces
On peut alors écrire l’expression complexe des trois ondes impliquées
dans le passage à l’interface :
 
x 
Ui  Ui 0 exp i  t   
c1  
 
 
x 
Ur  Ur 0 exp i  t   
c1  
 
 
x 
Ut  Ut 0 exp i  t   
c2  
 
on tient compte du sens de
propagation et de la nature
du milieu de propagation.
Définissons les coefficients de réflexion et de transmission pour
les amplitudes de vibration :

 Ur 
Ur 0

 rU   
 Ui  x  0 Ui 0


Ut 0
 t   Ut 

 U U 
 i  x  0 Ui 0

 coefficient de réflexion
 coefficient de transmission
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Comme on doit vérifier la continuité des amplitudes à l’interface :
U
i
 Ur

x 0
 
 Ut
x 0

Ui 0  Ur 0  Ut 0
De même, on doit vérifier la continuité
des pressions acoustiques :
p
i
 pr

x 0
 
 pt
x 0
où
1 Ui
pi  
1 x
1 Ur
pr  
1 x
1 Ut
pt  
2 x
Ui


x
x

 
 
i
x 
x   
Ui 0 exp i  t       Ui 0 exp i  t   
c1
c1  
c1   

 
 

pi  i
 

x 
Ui 0 exp i  t   
1c1
c1  
 
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On trouve de même :
 

x 
pr  i
Ur 0 exp i  t   
1c1
c1  
 
donc :

pi  pr

x 0
 
 pt
Soit encore :
x 0

 

x 
Ut 0 exp i  t   
et pt  i
2c2
c2  
 
i
Ui 0  Ur 0 


U

U

i
Ut 0
 i0 r 0 
1c1
2c2
1c1
Ut 0
2c2
Définissons alors les coefficients de réflexion et de transmission pour
les amplitudes de pression acoustique :

 pr 
Ur 0
r




 
p
Ui 0
 pi  x  0


1c1 Ut 0
 t   pt 

 p p 
 i  x  0 2c2 Ui 0


 rp  rU

1c1

 t p   c tU

2 2
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Bilan :
Ui 0  Ur 0  Ut 0
Ui 0  Ur 0 
par soustraction

c 
2Ur 0  1  1 1  Ut 0
2c2 


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1c1
Ut 0
2c2
rU 
rp  rU
Ut 0
Ui 0
c
t p  1 1 tU
2c2
tU 
par addition

c 
2Ui 0  1  1 1  Ut 0
2c2 

Ur 0 
1c1  
1c1 
 1 
 1 
2c2  
2c2 
Ui 0 
On en déduit aussi :
 c  1c1
rp   2 2
2c2  1c1
Ur 0
Ui 0
21c1
tp 
1c1  2c2

Ut 0

Ui 0
2
1
2c2  1c1
rU 
2c2  1c1
1c1
2c2
22c2
tU 
1c1  2c2
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En fonction des impédances acoustiques, on a :
Z1  1c1 
1
1c1
Z2  2c2 
1
2c2
2c2  1c1 1 Z2  1 Z1 Z1  Z2
rU 


2c2  1c1 1 Z2  1 Z1 Z1  Z2
tU 
22c2
2 Z2
2Z1


1c1  2c2 1 Z1  1 Z2
Z1  Z2
rp  rU 
Z2  Z1
Z1  Z2
2Z2
1c1
Z2
tp 
tU 
tU 
Z1  Z2
2c2
Z1
Z  Z2
rU  1
Z1  Z2
2Z1
tU 
Z1  Z2
Z  Z1
rp  2
Z1  Z2
2Z2
tp 
Z1  Z2
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Définissons à présent les coefficients de réflexion et de transmission
relatifs aux intensités acoustiques :
p02
1 p0
I 

p0
2Z 2 Z
Donc :
p0   cU0  ZU0

I 
1
U0 p0
2
2
I
U p
R  r  r 0 r 0  rU rp
Ii
Ui 0 pi 0

 Z1  Z2 
R

Z

Z
 1
2 
I
U p
T  t  t 0 t 0  tU t p
Ii
Ui 0 pi 0

T 
4Z1Z2
 Z1  Z2 
2
Les coefficients de réflexion et de transmission, qu’ils soient relatifs
aux amplitudes de vibration, de pressions acoustiques ou aux
intensités, dépendent uniquement des impédances acoustiques des
fluides se trouvant de part et d’autre de l’interface.
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Remarque :
Comme l’interface n’absorbe pas d’énergie, on doit vérifier que
Ii  Ir  It
Ir It
1

Ii
Ii


1 RT
Vérification :
2
 Z1  Z2 
4Z1Z2
Z12  Z22  2Z1Z2  4Z1Z2
RT  
 
2 
2
 Z1  Z2 
 Z1  Z2 
 Z1  Z2 

2
1
2
2
Z  Z  2Z1Z2
 Z1  Z2 
2
 Z1  Z2 
2

 Z1  Z2 
2
1
CQFD
Voyons les conséquences pour les cas limites…
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2
 Z  Z2 
R 1

Z

Z
 1
2 
T 
4Z1Z2
 Z1  Z2 
2
 Si les impédances acoustiques des deux milieux sont
identiques (Z1=Z2), alors on remarque que R = 0 et T =1.
Il n’y a donc pas de réflexion, l’onde est totalement transmise
d’un milieu à l’autre. On dit qu’il y a adaptation d’impédance.
 Si Z1<<Z2, alors on a R  1 et T  0 : il y a réflexion totale.
 Si Z1>>Z2, alors on a R  1 et T  0 : il y a réflexion totale.
On constate alors que la transmission est d’autant plus grande que
les impédances acoustiques des deux milieux sont proches.
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Illustration :
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P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces



Z1 = Zair = aircair = 1,294x331 = 428 kg.m-2.s-1
Z2 = Zsol = solcsol  2500x6000 = 1,5.107 kg.m-2.s-1
Z1 << Z3 < Z2
Z3 = Zeau = eauceau  1000x1500 = 1,5.106 kg.m-2.s-1
Donc :
Tair-eau 10-3 et Rair-eau 1
 il y a quasiment réflexion totale.
Tsol-eau 0,33 et Rsol-eau 0,67  les vibrations du sol sont en partie
transmises dans l’eau.
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P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces
2 – Interface solide-fluide
Si on se place dans la configuration où Zsolide>>Zfluide, alors on peut
admettre qu’il y a pratiquement réflexion totale à l’interface.
On considère alors une onde incidente transversale dans le milieu
solide :
Après réflexion à l’interface,
l’onde transversale donne
naissance à deux ondes :
fluide
0
L 
Ur k L
r
solide

ki

'
T
Ui
z

T
Ur

k rT
 une transversale
 une longitudinale
La direction prise par ces
deux ondes est régie par la
loi de Snell-Descartes…
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P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces
Loi de Snell-Descartes :
fluide
0
L 
Ur k L
r
solide

ki

'
T
Ui
T
Ur

Milieu (1)

k rT
z
sin sin '

vT
vT
Donc :
onde incidente
transversale
et :
sin sin 

vT
vL

sin1 sin 2

v1
v2
Milieu (2)
Or, ici il s’agit d’un seul et même
milieu, mais dans lequel la
vitesse de propagation diffère
selon la nature de l’onde.
'  
onde réfléchie
transversale
onde réfléchie
longitudinale

sin  
vL
sin  sin
vT

 
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Si l’onde incidente est
longitudinale, on a :
fluide
0
solide
sin sin '

vL
vL

'  

ki
L
Ui


T
Ur
z
sin sin 

vL
vT

sin  
vT
sin  sin
vL
L
Ur  L
kr
'

 

krL
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3 – Interface solide-solide
On considère deux milieux solides (1) et (2) caractérisés par les
vitesses de propagation longitudinales et transversales (vL1,vT1) et
(vL2,vT2).
On supposera que les vitesses dans le milieu (1) sont inférieures à
celles dans le milieu (2).

kiL
 iL

k rT
 rT

L
r

krL
Solide (1)

ktL
Solide (2)
 tT

z
L
t

ktT
sin iL sin rL

v L1
v L1
  rL   iL
sin iL sin rT

v L1
vT1
  rT   iL
sin iL sin tL

v L1
v L2
  tL   iL
sin iL sin tT

v L1
vT2
  tT   iL
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4 – Application à l’étude des séismes
L’étude de la propagation en milieu solide a montré qu’on pouvait
distinguer deux vitesses de propagation :
 onde longitudinale : vitesse la plus grande
onde P (primae)
 onde transversale :
onde S (secundae)
vitesse la plus faible
De part la nature transversale de leurs vibrations, les ondes S
sont les plus intenses… donc les plus destructrices.
Toute onde sismique est généralement de très basse fréquence (qq Hz).
L’application directe des différents principes vus dans ce cours n’est pas
suffisante ; les raisons principales sont les suivantes :
 Le globe terrestre n’est pas un matériau homogène
 diversité géologique de la croûte terrestre
 structure en couches
vitesses de propagation
très variées
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 Effet de la pression
au sein d’un même matériau (par exemple le manteau), la pression
augmente avec la profondeur
 la densité (masse volumique) et les coefficients de Lamé augmentent
alors avec la pression et la profondeur :
globalement, les vitesses augmentent avec la profondeur
 Effet des discontinuités
Les discontinuités telles que le passage du manteau solide au noyau
externe liquide provoquent des effets complexes dont le plus simple est
par exemple l’extinction des ondes S lors de la transmission d’un milieu
solide à un milieu liquide.
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Croûte
14
12
P
P
vitesse (km.s-1)
10
8
S
6
4
2
0
Manteau
(solide)
2000
Noyau externe
(liquide)
Noyau interne
(solide)
4000
6000
profondeur (km)
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 Courbure des rais sismiques
L’augmentation continue de la vitesse de propagation avec la profondeur a
pour effet la courbure des rais de propagation.
A titre de démonstration, considérons l’interface entre deux milieux
caractérisés par des vitesses de propagation voisines :

sin
sin(  d )

v
v  dv
v
v+dv

  d
sin(  d ) 
sin(  d )  sin
Les rais de propagation (rais sismiques)
se courbent progressivement avec la
profondeur.
v  dv
dv 

sin  1 
 sin
v
v 


d  0
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A l’échelle du globe, s’il n’y avait pas de discontinuité, on observerait :
globe parfaitement
homogène
vitesse croissante
avec la profondeur
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P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces
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En tenant compte des discontinuités et de la courbure des rais sismiques,
les choses se compliquent…
Conventions d’écriture :
PkP
PkikP
PP
P : onde directe
PP : une réflexion en surface
PcP : une réflexion sur le
noyau externe (core)
PkP : une transmission par
le noyau externe (kern)
i : transmission par le noyau
interne (innercore)
P
PcP