Université d’Angers DEUG STU2 1/19 P2 – Vitesses de phase et radiale II – Vitesse de phase et vitesse radiale 1 – Définitions Vitesse de.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
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av bv c 0
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ak
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av bv c 0
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avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
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et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
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e2
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R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
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2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
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2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
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2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 3
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
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2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
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2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 5
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 6
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P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 7
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
Université d’Angers
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 8
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 10
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 12
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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DEUG STU2
19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 13
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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DEUG STU2
2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 15
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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DEUG STU2
13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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DEUG STU2
19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 17
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
Université d’Angers
DEUG STU2
13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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DEUG STU2
19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 18
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 19
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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DEUG STU2
2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 2
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 3
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
Université d’Angers
DEUG STU2
13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
Université d’Angers
DEUG STU2
19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 4
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DEUG STU2
1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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DEUG STU2
2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 5
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 6
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
DEUG STU2
ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 8
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 9
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
Université d’Angers
DEUG STU2
2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 10
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 11
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
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2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 13
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
Université d’Angers
DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 15
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
Université d’Angers
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
Université d’Angers
DEUG STU2
9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
Université d’Angers
DEUG STU2
10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
Université d’Angers
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
Université d’Angers
DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
Université d’Angers
DEUG STU2
16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 16
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
Université d’Angers
DEUG STU2
Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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DEUG STU2
R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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19/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 18
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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P2 – Vitesses de phase et radiale
12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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13/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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P2 – Vitesses de phase et radiale
14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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P2 – Vitesses de phase et radiale
15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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16/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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P2 – Vitesses de phase et radiale
18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi
Slide 19
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1/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
II – Vitesse de phase et vitesse radiale
1 – Définitions
Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.
Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.
instant t
D
H
B
O
Vitesse de phase : v
instant t’
E
D
k
R
Vitesse radiale : v r
O
v
H
P
B
OO' OP cos
OP cos
t 't
v vr cos
v vr
OO'
t 't
OP
t 't
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2/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
2 – Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)
On choisit comme repère de l’espace la base principale (e1, e2 , e3 )
Dans cette base, le tenseur des permitivités diélectriques s’exprime :
1
0
0
0
2
0
0
0
3
où, pour un milieu anisotrope, 1 2 3
Physiquement, les permitivités diélectriques principales sont liées aux
vitesses de propagation par les relations suivantes :
Indice optique :
n
c
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide (ou l’air) et v la vitesse de
propagation dans le milieu.
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P2 – Vitesses de phase et radiale
3/19
Permitivité relative :
r
0
où 0 est la permitivité diélectrique du vide (ou de l’air).
La permitivité relative et l’indice optique sont liés par :
On en déduit alors :
0
c
v
2
v
2
2
r n
0c 2
A chaque permitivité diélectrique principale est donc associée une
vitesse de phase :
2
2
2
0c
0c
0c
2
2
2
v1
Remarque :
on note 0
1
1
0c
2
v2
2
v3
3
la perméabilité magnétique du vide.
2
v1
1
01
2
v2
1
0 2
2
v3
1
0 3
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DEUG STU2
P2 – Vitesses de phase et radiale
4/19
Si une onde présente une direction de propagation donnée par k ,
il est possible de décomposer ce vecteur suivant ses 3 composantes
dans la base principale :
k3
e3
Suivant cette direction, l’onde
se propage à la vitesse v, qui
doit vérifier l’équation :
k
2
2
1
2
(v v )
k2
k1
e1
e2
2
2
k1
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
0
équation de Fresnel
il s’agit d’une équation du second
degré en v2…
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P2 – Vitesses de phase et radiale
5/19
2
2
2
k1
2
1
2
(v v )
k2
2
2
2
(v v )
k3
2
3
2
(v v )
équation de Fresnel
0
Réduction au même dénominateur :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v )
2
1
2
2
2
2
2
3
2
(v v )(v v )(v v )
0
Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
En développant, on a :
2
2
2
(k1 k2 k3 )v
k
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 ) v
2
L’équation est alors de la forme :
2
2
2
2
2
2
2
k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2 0
4
2
av bv c 0
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ak
4
P2 – Vitesses de phase et radiale
6/19
2
av bv c 0
2
2
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b k1 (v2 v3 ) k2 (v1 v3 ) k3 (v1 v2 )
2
2
2
2
2
2
2
c k1 v2v3 k2 v1 v3 k3 v1 v2
v
2
2a
2
av bv c 0
v
2
1
2a
k k2 0
k k3e3 1
k3 k
on a alors :
4
Il existe donc 2 vitesses
de phase possibles dans une
même direction de propagation
v '2
2
v ' '
b 4ac
prenons le cas particulier d’une propagation suivant e3
Remarque :
4
2
b
2
2
2
2
1
(v v )v v v
2
2
2
4
2
2
a k2
2
2
2
b k (v1 v2 )
c k 2v 2v 2
1 2
2
2
2
2
2
k v k (v1 v2 )v k v1 v2 0
0
v
2
2
1
v
2
v2
dans la direction e3
l’onde peut se propager à la
vitesse v1 et à la vitesse v2
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Remarque :
cas trivial d’un milieu isotrope
1 2 3 i
2
2
2
P2 – Vitesses de phase et radiale
7/19
2
2
et
vr v
k // R
v1 v2 v3 v i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1 (v2 v )(v3 v ) k2 (v1 v )(v3 v ) k3 (v1 v )(v2 v ) 0
2
2
2
2
2 2
v vi k
(k1 k2 k3 )(v i v ) 0
Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est
la même dans toutes les directions de l’espace.
3 – Equation des vitesses radiales
L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du
vecteur de Poynting à la vitesse vr.
De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut
décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…
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R3
e3
Le rayon lumineux, suivant la
direction
R R1e1 R2e2 R3e3
R
se propage à la vitesse vr, devant
vérifier l’équation :
R2
R1
e1
P2 – Vitesses de phase et radiale
8/19
2
e2
2
2
R1 v1
2
1
2
r
(v v )
2
2
R2 v2
2
2
2
r
(v v )
2
R3 v3
2
3
2
r
(v v )
0
équation des vitesses radiales
Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.
Sa résolution conduit donc au résultat suivant :
2
vr
v r'2
''2
v r
Dans une même direction R , l’énergie lumineuse se propage
avec 2 vitesses radiales différentes.
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9/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
4 – Directions privilégiées
L’analyse de la structure de l’onde
nous a permis de voir que :
?
D
k
H
,
et
direct
k D
H forment un trièdre
le plan d’onde est à k
Mais D (et a fortiori H ) peut
prendre a priori n’importe quelle
orientation dans le plan d’onde.
Les lois de l’électromagnétisme lèvent
l’indétermination de la façon suivante :
« pour
une vitesse de phase donnée, dans
une direction
de k donnée, une seule orientation de D est possible »
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10/19
P2 – Vitesses de phase et radiale
Les conséquences sont les suivantes :
Selon une direction k , on a vu qu’il existe 2 vitesses de
phase possibles : v’ et v’’
A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule
orientation possible du vecteur D dans le plan d’onde :
v' D'
v' ' D' '
où l’on doit toujours vérifier que D' D' '
Les 2 directions prises par D' et D' ' sont appelées « directions
privilégiées »
Le vecteur D' se propage
donc suivant k à la vitesse
v’,
alors que le vecteur D' ' se propage aussi suivant k mais à
la vitesse v’’.
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11/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur
vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est
rectiligne ».
La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut : 0
2
c
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12/19
e'
air
milieu anisotrope
D'
D'
D
D
k
D' '
k
D' '
k
e' '
Dans le matériau anisotrope, D se décompose en D' et D' '.
2
La différence de
D' se propage à la vitesse v’ '
v'
longueur d’onde
génère un déphasage
2
des 2 composantes
D' ' se propage à la vitesse v’’ ' '
v' '
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D'
D'
D' '
D D'D' '
D' '
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14/19
Bilan :
Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes D D'D' '
une ellipse
est un vecteur qui tourne
: de
et décrit
plan
E est « polarisation
on dit alors que D
la polarisation
elliptique ».
Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.
A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la
polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.
Remarque :
H
B
k
R
Comme E appartient au plan de polarisation
pardeDpropagation
, il s’en
défini
direction
suit que E tourne de la même façon que D .
du rayon lumineux
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15/19
5 – Représentations géométriques
Surface d’onde :
A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans
toutes les directions de l’espace, tous les points
atteints par les rayons lumineux au même instant
définissent la surface d’onde.
vr
R
La détermination de la surface d’onde
nécessite donc la connaissance de la
vitesse radiale dans toutes les
directions de l’espace.
Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la
surface d’onde doit alors vérifier l’équation
des vitesses radiales :
2
2
2
x1 v1
t=1
2
1
2
r
(v v )
2
2
x2v2
2
2
2
r
(v v )
2
x3v3
2
3
2
r
(v v )
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même
direction.
Il existe 2 surfaces d’onde.
Remarque :
Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les
directions de l’espace.
La surface d’onde est unique et sphérique.
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17/19
Ellipsoïde des indices :
Tout point M(x1,x2,x3) se trouvant sur l’ellipsoïde des indices
est tel que :
e3
OM n
D
n3
2
x1
M
O
x1
n1
e1
2
n1
n2
2
2
2
e2
2
2
où n1
x2
2
x1 x2 x3 n
l’équation de cette surface est :
E
x3
x2
2
n2
c
v1
x3
2
n3
n2
1
c
v2
n3
c
v3
si D // OM alors on sait que
E à la surface de l’ellipsoïde
au point M
l’ellipsoïde des indices permet
de déterminer
l’orientation relative de D et E .
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18/19
Surface des indices :
La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour
représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par k .
Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse
c
de phase, on préfère utiliser la notion d’indice : n
v
A chaque direction prise par k est
e3
associée une vitesse de phase v. On peut
alors également y associer une valeur de
l’indice : n c v
k
x3
M
O
x1
e1
Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel
que :
OM n et OM // k
x2
e2
alors l’ensemble des points M vérifiant :
2
2
2
x1 n1
2
1
2
(n n )
2
2
x2 n2
2
2
2
(n n )
2
x3 n3
2
3
2
(n n )
constitue la surface des indices.
0
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P2 – Vitesses de phase et radiale
Remarque :
Puisque suivant une même direction k il existe 2 vitesses de
phase possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible
de l’indice
Il existe 2 surfaces des indices.
Remarque :
Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale
sont identiques :
la surface des indices est unique et sphérique,
de rayon ni c vi