Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 1/25 III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un.
Download ReportTranscript Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 1/25 III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un.
Slide 1
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
1/25
III – Propagation dans les solides
Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous
faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :
la propagation d’une onde génère une contrainte
dynamique qui déforme localement le solide.
1 – Propagation dans un solide illimité isotrope
La force s’exerçant sur une surface
peut toujours se décomposer en :
Fz
F
- deux composantes tangentielles (//)
- une composante normale ()
Fx
Fy
Slide 2
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
2/25
Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique
rectangle :
zz
z
Tz
xz
zx
yz
zy
Tx
yy
yx
xx
x
Ty
xy
y
force par unité de surface (pression)
Tx , Ty , Tz sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces…
… et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.
Slide 3
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
3/25
On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la
forme d’un tenseur :
xx
yx
zx
xy
xz
yy
yz
zy
zz
tenseur des contraintes
Remarque :
Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant
laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction
normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte.
Remarque :
Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes
normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés
contraintes tangentielles.
Remarque :
Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji
Slide 4
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
4/25
L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de
l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être
décrite au moyen d’un tenseur :
Remarque :
xx
yx
zx
xy
xz
yy
yz
zy
zz
tenseur des déformations
Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji
Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la
direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3
vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz
au passage de l’onde, le solide peut se déformer
dans les trois directions de l’espace.
Slide 5
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
5/25
Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces
vibrations :
U x
x
U
Uy
x
1
2
x
y
U
U z
x
1
2
x
z
1
2
Uy
U x
x
y
Uy
y
1
2
Uy
U z
y
z
Uy
Uz
1
2
y
z
U z
z
1
2
U z
U x
x
z
Remarque :
Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La
somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation :
Ux
x
Uy
y
Uz
z
dV
V
variation relative de volume
Slide 6
Université d’Angers
DEUG STU2
6/25
P1 – Propagation dans les solides
Remarque :
Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui
ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de
cisaillement.
élongation
cisaillement
la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison
d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace.
Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une
relation entre les deux :
c
loi de Hooke
où c est le tenseur des constantes élastiques
(caractéristiques intrinsèques du matériau).
Slide 7
Université d’Angers
DEUG STU2
7/25
P1 – Propagation dans les solides
Remarque :
Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour
identifier une de ses composantes.
ij tenseur de rang 2
ij tenseur de rang 2
ij = cijkl kl
c tenseur de rang 4
Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n
Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes.
Et on trouve que cijkl contient 34 = 81 composantes !!!
Par exemple :
xx c xxxx xx c xxxy xy c xxxz xz
c xxyx yx c xxyy yy c xxyz yz
c xxzx zx c xxzy zy c xxzz zz
Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des
tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de
composantes indépendantes à manipuler.
Slide 8
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
8/25
Astuce :
Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient,
on utilise l’astuce suivante :
au tenseur symétrique de rang 2,
on associe un vecteur à 6 composantes :
ij
xx
xy
xz
xy
xz
yy
yz
yz
zz
On peut procéder de même pour :
ij
xx
xy
xz
xy
xz
yy
yz
yz
zz
xx
yy
zz
yz
xz
xy
xx
yy
zz
2
yz
2 xz
2
xy
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
tenseur
de rang 1
tenseur
de rang 1
Slide 9
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
9/25
En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme :
c
où , = 1,2,3,4,5 ou 6.
c est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 :
c
1 c1 1
2 c1 2
c
3 13
4 c1 4
c
5 15
c
6 16
c1 2
c1 3
c1 4
c1 5
c2 2
c2 3
c2 4
c2 5
c2 3
c3 3
c3 4
c3 5
c2 4
c3 4
c4 4
c4 5
c2 5
c3 5
c4 5
c5 5
c2 6
c3 6
c4 6
c5 6
c1 6 1
c2 6 2
c3 6 3
c4 6 4
c5 6 5
c6 6 6
On a ainsi par exemple : 4 c1 41 c2 4 2 c3 4 3 c4 4 4 c4 5 5 c4 6 6
Remarque :
Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes
indépendantes.
Slide 10
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
10/25
Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes
indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide :
Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que
3 composantes indépendantes :
c1 1
c1 2
c
12
c
0
0
0
c1 2
c1 2
0
0
c1 1
c1 2
0
0
c1 2
c1 1
0
0
0
0
c4 4
0
0
0
0
c4 4
0
0
0
0
0
(
0
0
0
0
c4 4
2 )
0
0
( 2 )
0
0
( 2 )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope,
alors on doit vérifier :
c 1 c c
44
2
11
12
il ne reste plus que 2 composantes indépendantes :
c1 2
les coefficients de Lamé
c4 4
c11 2
0
0
0
0
0
Slide 11
Université d’Angers
DEUG STU2
11/25
P1 – Propagation dans les solides
Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux
deux coefficients de Lamé :
module de cisaillement (viscosité pour un fluide)
module d’incompressibilité (1/ pour un fluide)
Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide,
il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du
processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental
de la Dynamique sur un élément de volume.
la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent
(contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au
produit de la masse par l’accélération…
… après calcul, on trouve…
Slide 12
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
12/25
2
xy
xx
xz
Ux
2
x
y
z
t
2
yy
yz
Uy
xy
PFD
2
x
y
z
t
2
yz
zz
Uz
xz
2
x
y
z
t
contraintes
tangentielles
contrainte
normale
accélération
A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation
n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz.
Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :
xx 1 (2 )1 2 3 2
xx
Ux
x
yy
Uy
y
zz
Uy
Ux
Uz
x
y
z
x
Ux
Uz
z
Slide 13
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
13/25
Soit : xx 2
Ux
x
On trouve de même : yy 2
Uy
y
et
zz 2
Uz
z
Pour les contraintes tangentielles, on a :
U
U
y
x
xy 6 6 2 xy
x
y
Ux
Uz
x
z
Uy
Uz
y
z
xz 5 5 2 xz
yz 4 4 2 yz
Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des
3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques
hypothèses simplificatrices…
Slide 14
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
14/25
Hypothèses simplificatrices :
On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et
générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y.
Dans ces conditions :
y
Uy
Uz 0
k
Ux
y
x
z
(onde plane)
0
Ux U0 x cos(t kL x)
z
(milieu isotrope)
onde longitudinale
Uy U0y cos(t kT x) onde transversale
On a alors :
xx
xx
0
Uy
Ux
Uz
2
2
x
x
y
z
x
Ux
Ux
(2 )
et de même : yy
x
x
Ux
Ux
0
zz
Ux
x
Slide 15
Université d’Angers
DEUG STU2
0
xy
Uy
Ux
x
y
0
Ux
xz
z
P1 – Propagation dans les solides
15/25
xy
0
xy
x
Uy
xy
xx
x
y 0
yy
xy
PFD
y 0
x 0
yz
xz
y
x
yy
Ux
x
xz 0
x
0
0
xz
z
2
0
yz
z 0
zz
z
0
Uy
Uz
z
y
yz
Ux
xx (2 )
x
0
Uz
0
x
Bilan :
Uy
Ux
t
2
zz
2
t 0
2
Uz
t
2
Ux
x
yz 0
2
(2 )
2
2
Uy
0
Uy
x
2
Ux
x
2
2
2
Uy
t
2
Ux
t
2
Slide 16
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
16/25
On a donc obtenu deux équations de propagation :
onde longitudinale
2
(2 )
2
Ux
x
2
Ux
x
2
onde transversale
2
2
Ux
t
2
2
Ux
2 t
2
Uy
x
2
2
2
Uy
x
2
t
2
2
Uy
t 2
1
1
2
vT
2
vL
L’onde longitudinale se propage à la vitesse : v L
L’onde transversale se propage à la vitesse :
Uy
vT
2
Slide 17
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
17/25
Remarque :
On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation
dans un fluide :
le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc 0
vT
0
et
2
vL
1
c
on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes
longitudinales peuvent se propager à la vitesse c 1
Ordre de grandeur des vitesses de propagation :
Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de
l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1.
Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est
moins rapide que celle d’ondes longitudinales :
vL
vT
(2 )
2
2
2
vL vT
Slide 18
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
18/25
Conversion des coefficients de Lamé
On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, et , peuvent
décrire le comportement élastique du solide dans lequel se
propage l’onde.
D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux
autres coefficients :
- le module d’Young : E
- le coefficient de Poisson : P
La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :
E P
(1 2 P )(1 P )
E
2(1 P )
Slide 19
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
19/25
Expression des vitesses en fonction de E et P
2
et
E P
2
(1 2 P )(1 P )
E(1 P )
(1 2 P )(1 P )
vT
E
2(1 P )
vL
E P E(1 2 P )
(1 2 P )(1 P )
(1 P )
E
(1 2 P )(1 P )
E
2 (1 P )
On peut alors remarquer que :
vL
vT
2
(1 P )
(1 2 P )
le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul
coefficient : le coefficient de Poisson.
P
vL/vT
0
0,25
0,3
0,49
21/2=1,4
31/2=1,73
3,51/2=1,87
511/2=7,14
Slide 20
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
20/25
2 – Propagation dans un solide de dimensions finies
Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson
On considère une tige homogène, de
longueur L et d’épaisseur a.
a
da
L
Soumise à une force de traction F, la tige
s’allonge d’une longueur dL, et son
épaisseur se contracte de da.
dL
L’allongement relatif et la contraction
relative sont alors fonction du module
d’Young E et du coefficient de Poisson P
du matériau. On a :
dL
F
L
1 F
da
E S
a
Remarque :
P
dL
L
E a la dimension d’une pression.
P est sans dimension.
Slide 21
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
21/25
Application à la propagation d’une onde en milieu fini
Fx dx
Fx
h
k
D
x
x
x+dx
On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se
propage longitudinalement une onde de longueur d’onde .
L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : h, D
Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise,
en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.
PFD
F
2
Fx dx Fx Sdx
Ux
t
2
Slide 22
Université d’Angers
DEUG STU2
dL
Or
L
P1 – Propagation dans les solides
22/25
1 F
E S
U x
F
ES
x
x x
U x
F
ES
x dx
x x dx
2
Fx dx Fx Sdx
Donc
Ux
t
2
2
Ux
Ux
Ux
ES
Sdx
2
t
x x dx x x
2
Ux
Ux
Ux
dx
2
x
x x dx
x x
2
E
Ux
x
2
2
dx dx
Ux
t
2
2
Ux
x
2
2Ux
E t
2
équation de
propagation
Slide 23
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
23/25
On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale
dans un milieu solide de dimensions finies :
2
Ux
x
2
2Ux
E t
2
1
E
vl
vL
(1 P )
E
(1 2 P )(1 P )
On remarque que la vitesse de propagation d’une
onde longitudinale est différente selon que le solide
est limité ou illimité
2
vl
On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale
est la même, que le solide soit limité ou illimité.
Bilan :
milieu illimité
milieu limité
onde longitudinale
vL
vl
2
E
onde transversale
vT
vt
Slide 24
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
24/25
Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde
longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :
vL
2
E
(1 P )
(1 2 P )(1 P )
vl
E
vL
vl
(1 P )
(1 2 P )(1 P )
1er cas limite : P 0
Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions
transversales, donc pas d’effet de traction latérale la déformation locale
n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines.
vL vl
C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.
2ème cas limite : P 1/2
Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines.
vL vl
C’est le cas du caoutchouc.
Slide 25
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
25/25
Quelques valeurs typiques :
P
vL/vl
0
1
0,25-0,30
1,10-1,16
Aluminium
0,35
1,27
Laiton
0,45
1,95
Caoutchouc
0,49
4,41
Matériaux
Liège, éponge
Valeurs courantes
(principales roches)
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
1/25
III – Propagation dans les solides
Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous
faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :
la propagation d’une onde génère une contrainte
dynamique qui déforme localement le solide.
1 – Propagation dans un solide illimité isotrope
La force s’exerçant sur une surface
peut toujours se décomposer en :
Fz
F
- deux composantes tangentielles (//)
- une composante normale ()
Fx
Fy
Slide 2
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
2/25
Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique
rectangle :
zz
z
Tz
xz
zx
yz
zy
Tx
yy
yx
xx
x
Ty
xy
y
force par unité de surface (pression)
Tx , Ty , Tz sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces…
… et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.
Slide 3
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
3/25
On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la
forme d’un tenseur :
xx
yx
zx
xy
xz
yy
yz
zy
zz
tenseur des contraintes
Remarque :
Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant
laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction
normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte.
Remarque :
Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes
normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés
contraintes tangentielles.
Remarque :
Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji
Slide 4
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
4/25
L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de
l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être
décrite au moyen d’un tenseur :
Remarque :
xx
yx
zx
xy
xz
yy
yz
zy
zz
tenseur des déformations
Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji
Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la
direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3
vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz
au passage de l’onde, le solide peut se déformer
dans les trois directions de l’espace.
Slide 5
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
5/25
Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces
vibrations :
U x
x
U
Uy
x
1
2
x
y
U
U z
x
1
2
x
z
1
2
Uy
U x
x
y
Uy
y
1
2
Uy
U z
y
z
Uy
Uz
1
2
y
z
U z
z
1
2
U z
U x
x
z
Remarque :
Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La
somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation :
Ux
x
Uy
y
Uz
z
dV
V
variation relative de volume
Slide 6
Université d’Angers
DEUG STU2
6/25
P1 – Propagation dans les solides
Remarque :
Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui
ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de
cisaillement.
élongation
cisaillement
la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison
d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace.
Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une
relation entre les deux :
c
loi de Hooke
où c est le tenseur des constantes élastiques
(caractéristiques intrinsèques du matériau).
Slide 7
Université d’Angers
DEUG STU2
7/25
P1 – Propagation dans les solides
Remarque :
Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour
identifier une de ses composantes.
ij tenseur de rang 2
ij tenseur de rang 2
ij = cijkl kl
c tenseur de rang 4
Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n
Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes.
Et on trouve que cijkl contient 34 = 81 composantes !!!
Par exemple :
xx c xxxx xx c xxxy xy c xxxz xz
c xxyx yx c xxyy yy c xxyz yz
c xxzx zx c xxzy zy c xxzz zz
Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des
tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de
composantes indépendantes à manipuler.
Slide 8
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
8/25
Astuce :
Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient,
on utilise l’astuce suivante :
au tenseur symétrique de rang 2,
on associe un vecteur à 6 composantes :
ij
xx
xy
xz
xy
xz
yy
yz
yz
zz
On peut procéder de même pour :
ij
xx
xy
xz
xy
xz
yy
yz
yz
zz
xx
yy
zz
yz
xz
xy
xx
yy
zz
2
yz
2 xz
2
xy
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
tenseur
de rang 1
tenseur
de rang 1
Slide 9
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
9/25
En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme :
c
où , = 1,2,3,4,5 ou 6.
c est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 :
c
1 c1 1
2 c1 2
c
3 13
4 c1 4
c
5 15
c
6 16
c1 2
c1 3
c1 4
c1 5
c2 2
c2 3
c2 4
c2 5
c2 3
c3 3
c3 4
c3 5
c2 4
c3 4
c4 4
c4 5
c2 5
c3 5
c4 5
c5 5
c2 6
c3 6
c4 6
c5 6
c1 6 1
c2 6 2
c3 6 3
c4 6 4
c5 6 5
c6 6 6
On a ainsi par exemple : 4 c1 41 c2 4 2 c3 4 3 c4 4 4 c4 5 5 c4 6 6
Remarque :
Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes
indépendantes.
Slide 10
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
10/25
Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes
indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide :
Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que
3 composantes indépendantes :
c1 1
c1 2
c
12
c
0
0
0
c1 2
c1 2
0
0
c1 1
c1 2
0
0
c1 2
c1 1
0
0
0
0
c4 4
0
0
0
0
c4 4
0
0
0
0
0
(
0
0
0
0
c4 4
2 )
0
0
( 2 )
0
0
( 2 )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope,
alors on doit vérifier :
c 1 c c
44
2
11
12
il ne reste plus que 2 composantes indépendantes :
c1 2
les coefficients de Lamé
c4 4
c11 2
0
0
0
0
0
Slide 11
Université d’Angers
DEUG STU2
11/25
P1 – Propagation dans les solides
Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux
deux coefficients de Lamé :
module de cisaillement (viscosité pour un fluide)
module d’incompressibilité (1/ pour un fluide)
Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide,
il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du
processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental
de la Dynamique sur un élément de volume.
la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent
(contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au
produit de la masse par l’accélération…
… après calcul, on trouve…
Slide 12
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
12/25
2
xy
xx
xz
Ux
2
x
y
z
t
2
yy
yz
Uy
xy
PFD
2
x
y
z
t
2
yz
zz
Uz
xz
2
x
y
z
t
contraintes
tangentielles
contrainte
normale
accélération
A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation
n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz.
Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :
xx 1 (2 )1 2 3 2
xx
Ux
x
yy
Uy
y
zz
Uy
Ux
Uz
x
y
z
x
Ux
Uz
z
Slide 13
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
13/25
Soit : xx 2
Ux
x
On trouve de même : yy 2
Uy
y
et
zz 2
Uz
z
Pour les contraintes tangentielles, on a :
U
U
y
x
xy 6 6 2 xy
x
y
Ux
Uz
x
z
Uy
Uz
y
z
xz 5 5 2 xz
yz 4 4 2 yz
Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des
3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques
hypothèses simplificatrices…
Slide 14
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
14/25
Hypothèses simplificatrices :
On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et
générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y.
Dans ces conditions :
y
Uy
Uz 0
k
Ux
y
x
z
(onde plane)
0
Ux U0 x cos(t kL x)
z
(milieu isotrope)
onde longitudinale
Uy U0y cos(t kT x) onde transversale
On a alors :
xx
xx
0
Uy
Ux
Uz
2
2
x
x
y
z
x
Ux
Ux
(2 )
et de même : yy
x
x
Ux
Ux
0
zz
Ux
x
Slide 15
Université d’Angers
DEUG STU2
0
xy
Uy
Ux
x
y
0
Ux
xz
z
P1 – Propagation dans les solides
15/25
xy
0
xy
x
Uy
xy
xx
x
y 0
yy
xy
PFD
y 0
x 0
yz
xz
y
x
yy
Ux
x
xz 0
x
0
0
xz
z
2
0
yz
z 0
zz
z
0
Uy
Uz
z
y
yz
Ux
xx (2 )
x
0
Uz
0
x
Bilan :
Uy
Ux
t
2
zz
2
t 0
2
Uz
t
2
Ux
x
yz 0
2
(2 )
2
2
Uy
0
Uy
x
2
Ux
x
2
2
2
Uy
t
2
Ux
t
2
Slide 16
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
16/25
On a donc obtenu deux équations de propagation :
onde longitudinale
2
(2 )
2
Ux
x
2
Ux
x
2
onde transversale
2
2
Ux
t
2
2
Ux
2 t
2
Uy
x
2
2
2
Uy
x
2
t
2
2
Uy
t 2
1
1
2
vT
2
vL
L’onde longitudinale se propage à la vitesse : v L
L’onde transversale se propage à la vitesse :
Uy
vT
2
Slide 17
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
17/25
Remarque :
On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation
dans un fluide :
le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc 0
vT
0
et
2
vL
1
c
on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes
longitudinales peuvent se propager à la vitesse c 1
Ordre de grandeur des vitesses de propagation :
Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de
l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1.
Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est
moins rapide que celle d’ondes longitudinales :
vL
vT
(2 )
2
2
2
vL vT
Slide 18
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
18/25
Conversion des coefficients de Lamé
On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, et , peuvent
décrire le comportement élastique du solide dans lequel se
propage l’onde.
D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux
autres coefficients :
- le module d’Young : E
- le coefficient de Poisson : P
La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :
E P
(1 2 P )(1 P )
E
2(1 P )
Slide 19
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
19/25
Expression des vitesses en fonction de E et P
2
et
E P
2
(1 2 P )(1 P )
E(1 P )
(1 2 P )(1 P )
vT
E
2(1 P )
vL
E P E(1 2 P )
(1 2 P )(1 P )
(1 P )
E
(1 2 P )(1 P )
E
2 (1 P )
On peut alors remarquer que :
vL
vT
2
(1 P )
(1 2 P )
le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul
coefficient : le coefficient de Poisson.
P
vL/vT
0
0,25
0,3
0,49
21/2=1,4
31/2=1,73
3,51/2=1,87
511/2=7,14
Slide 20
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
20/25
2 – Propagation dans un solide de dimensions finies
Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson
On considère une tige homogène, de
longueur L et d’épaisseur a.
a
da
L
Soumise à une force de traction F, la tige
s’allonge d’une longueur dL, et son
épaisseur se contracte de da.
dL
L’allongement relatif et la contraction
relative sont alors fonction du module
d’Young E et du coefficient de Poisson P
du matériau. On a :
dL
F
L
1 F
da
E S
a
Remarque :
P
dL
L
E a la dimension d’une pression.
P est sans dimension.
Slide 21
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
21/25
Application à la propagation d’une onde en milieu fini
Fx dx
Fx
h
k
D
x
x
x+dx
On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se
propage longitudinalement une onde de longueur d’onde .
L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : h, D
Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise,
en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.
PFD
F
2
Fx dx Fx Sdx
Ux
t
2
Slide 22
Université d’Angers
DEUG STU2
dL
Or
L
P1 – Propagation dans les solides
22/25
1 F
E S
U x
F
ES
x
x x
U x
F
ES
x dx
x x dx
2
Fx dx Fx Sdx
Donc
Ux
t
2
2
Ux
Ux
Ux
ES
Sdx
2
t
x x dx x x
2
Ux
Ux
Ux
dx
2
x
x x dx
x x
2
E
Ux
x
2
2
dx dx
Ux
t
2
2
Ux
x
2
2Ux
E t
2
équation de
propagation
Slide 23
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
23/25
On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale
dans un milieu solide de dimensions finies :
2
Ux
x
2
2Ux
E t
2
1
E
vl
vL
(1 P )
E
(1 2 P )(1 P )
On remarque que la vitesse de propagation d’une
onde longitudinale est différente selon que le solide
est limité ou illimité
2
vl
On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale
est la même, que le solide soit limité ou illimité.
Bilan :
milieu illimité
milieu limité
onde longitudinale
vL
vl
2
E
onde transversale
vT
vt
Slide 24
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
24/25
Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde
longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :
vL
2
E
(1 P )
(1 2 P )(1 P )
vl
E
vL
vl
(1 P )
(1 2 P )(1 P )
1er cas limite : P 0
Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions
transversales, donc pas d’effet de traction latérale la déformation locale
n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines.
vL vl
C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.
2ème cas limite : P 1/2
Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines.
vL vl
C’est le cas du caoutchouc.
Slide 25
Université d’Angers
DEUG STU2
P1 – Propagation dans les solides
25/25
Quelques valeurs typiques :
P
vL/vl
0
1
0,25-0,30
1,10-1,16
Aluminium
0,35
1,27
Laiton
0,45
1,95
Caoutchouc
0,49
4,41
Matériaux
Liège, éponge
Valeurs courantes
(principales roches)