Corrigé DM 7 - PROFSKLEIN
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Transcript Corrigé DM 7 - PROFSKLEIN
Spé PT
Corrigé du devoir en temps libre n°7
Exercice : Superposition d’ondes
1. Les équations de Maxwell dans le vide s’écrivent :
݀݅ݒ൫ܧሬԦ ൯ = 0
ሬԦ ൯ = 0
݀݅ݒ൫ܤ
Equation de Maxwell-Gauss
Equation de Maxwell-Flux
ሬԦ
߲ܤ
߲ݐ
߲ܧሬԦ
ሬԦ ൯ = ߝ µ
ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ܤ
ݐݎ
߲ݐ
ሬሬሬሬሬሬԦ
ݐݎ൫ܧሬԦ ൯ = −
Equation de Maxwell-Faraday
Equation de Maxwell-Ampère
2. Le but de la question est de déterminer l’équation de dispersion. Pour cela, nous allons
d’abord démontrer l’équation de propagation pour le champ électrique.
Combinons l’équation de Maxwell-Faraday par l’opérateur rotationnel :
ሬሬሬሬሬሬԦ ቀ ቁ =
Or ݐݎ
డ௧
ሬԦ
డ
ሬԦ൯
ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൫
డ௧
డ௧
Donc ሬሬሬሬሬሬԦ
ݐݎቀ ቁ = ߝ µ
ሬԦ
డ
డ௧
ሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ܧሬԦ ൯ቁ = −ݐݎ
ሬሬሬሬሬሬԦ ቆ
ݐݎቀݐݎ
ሬԦ
߲ܤ
ቇ
߲ݐ
ሬԦ ൯ = ߝ µ
ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ܤ
et ݐݎ
(équation de Maxwell-Ampère)
డ௧
డ మ ாሬԦ
డ௧ మ
డாሬԦ
.
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ቀ݀݅ݒ൫ܧሬԦ ൯ቁ − ߂ԦܧሬԦ . Or, d’après l’équation de Maxwell-Gauss,
ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ܧሬԦ ൯ቁ = ݃݀ܽݎ
De plus, ሬሬሬሬሬሬԦ
ݐݎቀݐݎ
݀݅ݒ൫ܧሬԦ ൯ = 0.
ሬሬሬሬሬሬԦ ቀݐݎ
ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ܧሬԦ ൯ቁ = −߂ԦܧሬԦ . D’où, finalement,
Donc ݐݎ
Or ߝ µ = మ
ଵ
߲ ଶ ܧሬԦ
߲ ݐଶ
donc l’équation de propagation s’écrit :
߂ԦܧሬԦ = ߝ µ
߂ԦܧሬԦ =
1 ߲ ଶ ܧሬԦ
ܿ ଶ ߲ ݐଶ
En remplaçant alors le champ électrique par son expression nous obtenons :
݇ଵଶ
Et donc :
3. L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit :
ሬሬሬሬԦ
డ
భ
డ௧
߱ଶ
= ଶ
ܿ
݇ଵ =
߱
ܿ
ሬሬሬሬሬሬԦ൫ܧሬԦ ൯.
= −ݐݎ
L’onde est plane monochromatique et progressive : nous pouvons alors utiliser la notation
complexe :
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ሬሬሬሬԦଵ =
Donc ܤ
De plus,
భ
ఠ
ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ
భ ∧ா
భ
ఠ
=
ଵ
ఠ
ሬሬሬሬԦଵ ൯ ∧ ܧ
ሬሬሬሬԦଵ = −൫−݆݇
ሬሬሬሬԦଵ
݆߱ܤ
݇ଵ ሺcosሺߙሻ ݁ሬሬሬԦ௫ + sinሺߙሻ ሬሬሬԦሻ
݁௭ ∧ ܧ cos൫߱ ݐ− ሬሬሬሬԦ
݇ଵ . ݎԦ൯ ݁ሬሬሬሬԦ
௬
= ܿ donc
ሬሬሬሬԦ
ܤଵ =
ܧ
ሺ− sinሺߙሻ ݁ሬሬሬԦ௫ + cosሺߙሻ ሬሬሬԦሻ
݁௭ cos൫߱ ݐ− ሬሬሬሬԦ
݇ଵ . ݎԦ൯
ܿ
ܧଶ , de même fréquence, amplitude et polarisation que ሬሬሬሬԦ
ܧଵ mais de vecteur
4. Le champ électrique ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦଶ a pour expression :
d’onde ݇
ሬሬሬሬԦ
ܧଶ = ܧ cos൫߱ ݐ− ሬሬሬሬԦ
݇ଶ . ݎԦ൯ ݁ሬሬሬሬԦ
௬
ሬሬሬሬԦଶ .
Remarque : les deux ondes sont bien en phase à l’origine puisque, en ݎԦ = ሬԦ
0, ሬሬሬሬԦ
ܧଵ = ܧ
Nous pouvons alors en déduire l’expression du champ magnétique en procédant de la même
ሬሬሬሬԦଵ :
manière que pour ܤ
De plus,
భ
ఠ
ሬሬሬሬԦ
ܤଶ =
= ܿ donc
ሬሬሬሬԦ
݇ଶ ∧ ሬሬሬሬԦ
ܧଶ 1
= ݇ଶ ሺcosሺߙሻ ݁ሬሬሬԦ௫ − sinሺߙሻ ሬሬሬԦሻ
݁௭ ∧ ܧ cos൫߱ ݐ− ሬሬሬሬԦ
݇ଶ . ݎԦ൯ ݁ሬሬሬሬԦ
௬
߱
߱
ሬሬሬሬԦ
ܤଶ =
ܧ
ሺsinሺߙሻ ݁ሬሬሬԦ௫ + cosሺߙሻ ሬሬሬԦሻ
݁௭ cos൫߱ ݐ− ሬሬሬሬԦ
݇ଶ . ݎԦ൯
ܿ
Le champ électromagnétique total s’en déduit en sommant les deux champs précédemment
obtenus, sachant que cosሺሻ + cosሺݍሻ = 2 cos ቀ
ା
ଶ
ቁ cos ቀ
ି
ଶ
ቁ:
ܧሬԦ = 2ܧ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ ݁ሬሬሬሬԦ
௬
ሬԦ =
ܤ
2ܧ − sinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ sinሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ อ
0
ܿ − cosሺߙሻ cosሺ݇ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ cosሺߙሻ ݔሻ
ଵ
5. L’onde se propage suivant ݁ሬሬሬԦ,
௫ dans le sens des ݔcroissants.
ଵ
Ce n’est pas une onde plane puisque son amplitude n’est pas uniforme dans un plan ݁ݐܿ = ݔ
(elle dépend de )ݖ.
Ce n’est pas une onde stationnaire dans la mesure où il n’est pas possible de l’écrire sous la
forme ݂ሺݔሻ݃ሺݐሻ.
La phase de cette onde a pour expression : ߮ = ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔ.
Pour déterminer la vitesse de phase, nous pouvons considérer deux surfaces équiphases, l’une
se trouvant à l’instant ݐdans le plan d’ordonnée ݔet la seconde à l’instant ݐ+ ݀ ݐen ݔ+ ݀ݔ. La
phase aura donc parcouru la distance ݀ ݔen une durée ݀ ݐet sa vitesse de phase sera donc
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ݒఝ =
ௗ௫
ௗ௧
. De plus, comme ߮ሺ ݔ+ ݀ݔ, ݐ+ ݀ݐሻ = ߮ሺݔ, ݐሻ, ߱ሺ ݐ+ ݀ݐሻ − ݇ଵ cosሺߙሻ ሺ ݔ+ ݀ݔሻ = ߱ ݐ−
݇ଵ cosሺߙሻ ݔdonc ߱݀ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݀ = ݔ0 et donc ݒఝ =
ఠ
భ ୡ୭ୱሺఈሻ
.
La particularité de cette vitesse de phase est d’être supérieure ou égale à ܿ, ce qui n’est pas
un problème puisque cette vitesse ne représente que la propagation de la phase et non celle
de l’information (l’énergie).
6. L’expression du vecteur de Poynting est ߨ
ሬԦ =
ሬԦ
ாሬԦ∧
µబ
.
Il suffit de développer le produit vectoriel pour obtenir
4ܧଶ
ߨ
ሬԦ =
cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ ቮ
µ ܿ
cosሺߙሻ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosଶ ሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ
0
sinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ sinሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ
Or ۃcosଶ ሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ = ۄଶ et ۃsinሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ = ۄ0 donc
ଵ
2ܧଶ
ߨۃ
ሬԦ= ۄ
cosଶ ሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺߙሻ ݁ሬሬሬԦ௫
µ ܿ
Nous retrouvons le sens et la direction de propagation de l’onde, suivant ݁ሬሬሬԦ.
௫
Donc ߨ
ሬԦ ≠ ߨ
ሬሬሬሬԦଵ + ߨ
ሬሬሬሬԦଶ et ߨۃ
ሬԦߨۃ ≠ ۄ
ሬሬሬሬԦۄ
ሬሬሬሬԦۄ.
ଵ + ߨۃ
ଶ
Ces résultats étaient prévisibles, les ondes interférant entre elles.
7. La densité volumique d’énergie électromagnétique a pour expression :
ܤଶ
1
ଶ
ߝ = ݓ ܧ+
2µ
2
ܧሬԦ = 2ܧ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ ݁ሬሬሬሬԦ
௬
ሬԦ =
ܤ
Donc
=ݓ
2ܧ − sinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ sinሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ อ
0
ܿ − cosሺߙሻ cosሺ݇ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ cosሺߙሻ ݔሻ
ଵ
1
ߝ 4ܧଶ cosଶ ሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosଶ ሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻ
2
1 2ܧ ଶ
+
൬
൰ ሺሺsinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ sinሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻሻଶ
2µ ܿ
+ ሺcosሺߙሻ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ cosሺ߱ ݐ− ݇ଵ cosሺߙሻ ݔሻሻଶ ሻ
Donc
ߝ = ۄݓۃ ܧଶ cosଶ ሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ +
ଵ
బ
Or ஜ
ଵ
మ
= ߝ donc
ܧଶ
ሺሺsinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻሻଶ + ሺcosሺߙሻ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻሻଶ ሻ
µ ܿ ଶ
ߝ = ۄݓۃ ܧଶ ൫cos ଶ ሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻ + ሺሺsinሺߙሻ sinሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻሻଶ + ሺcosሺߙሻ cosሺ݇ଵ sinሺߙሻ ݖሻሻଶ ሻ൯
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En prenant alors la moyenne spatiale, notée ሼۄݓۃሽ, nous obtenons alors :
1 1
1
ሼۄݓۃሽ = ߝ ܧଶ + sinଶሺߙሻ + cosଶ ሺߙሻ൨
2 2
2
ଵ
ଶ
ଶ ሺߙሻ
ଶ ሺߙሻ
Or sin
+ cos
= 1 et మ = ߝ donc ሼۄݓۃሽ = ߝ ܧ
ஜబ
8. Considérons un rectangle de cotés ݈௬ et ݈௭ suivant ݁ሬሬሬሬԦ
݁௭ très grands devant la longueur
௬ et ሬሬሬԦ
d’onde de l’onde.
Pendant un temps ݀ݐ, il est traversé par une énergie :
ܷ݀ = ሼۄݓۃሽ݈௬ ݈௭ ݒ ݀ߝ = ݐ ܧଶ ݈௬ ݈௭ ݒ ݀ݐ
Où ݒ est la vitesse de propagation de l’énergie.
De plus, par définition du vecteur de Poynting,
ܧଶ
cosሺߙሻ ݈௬ ݈௭ ݀ݐ
ܷ݀ = ሼߨۃ
ሬԦۄሽ݈௬ ݈௭ ݀݁ݐሬሬሬԦ௫ =
µ ܿ
Donc
ܧଶ
cosሺߙሻ = ߝ ܧଶ ݒ
µ ܿ
ݒ = ܿ cosሺߙሻ
Nous obtenons alors bien une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière.
D’autre part,
•
•
ሬሬሬሬԦଵ = ݇
ሬሬሬሬԦଶ et les deux ondes se superposent et forment une OPPM : ݒ = ܿ.
si ߙ = 0, ݇
గ
ሬሬሬሬԦଵ = −݇
ሬሬሬሬԦଶ, ce qui correspondrait à une onde réfléchie normalement à un
Si ߙ = , ݇
ଶ
conducteur : ݒ = 0 ; l’onde est stationnaire.
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