Transcript Tome 2 - Université Hassiba Benbouali de Chlef

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche
Scientifique
Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEF
Faculté : Sciences
Département : Physique
Domaine : ST-SM
TOME 2:
ONDES MECANIQUES
Rappels de Cours
Problèmes posés aux concours d’entrée aux
Grandes Ecoles Scientifiques
Module : Physique 03
Niveau : 2ième Année Licence
Présenté par
:
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Année Universitaire : 2014 /2015
DEDICACES
Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:
 Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,
pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient
moral et matériel qui m'a permis d’achever ce travail.
Je le dédie également à:
 Ma très chère femme et mes chers enfants
 Mes chers frères et sœurs
 Mes oncles et tantes
 Toute ma famille et mes proches
Sommaire
 Avant propos
 Nomenclature
 Sommaire
 TOME 2 : ONDES
 Chapitre 6 : Généralités sur le phénomène de propagation.
139
 Chapitre 7 : Propagation d’onde mécanique dans les solides.
164
 Chapitre 8 : Propagation d’onde mécanique dans les fluides
206
 Références bibliographiques
Nomenclature
p( t ) Coordonnées généralisées
ET
Energie totale du système
Ec
Energie Cinétique du système
Ec
Energie Cinétique moyenne du système
Ep
Energie potentielle su système
L
Lagrangien du système
S
Action du système

Fexe
Forces extérieures appliquées au système

M exe
Moments extérieurs appliqués au système
0
Pulsation propre du mouvement libre
A
Amplitude

Déphasage
T0
Période propre du mouvement libre
k
Constante de raideur du ressort
C
Constante de torsion
J
Moment d’inertie
R
Rayon d’un disque
m
Masse d’un système
xi
Coordonnées du système

V
Vitesse du déplacement

Masse volumique
l
Longueur du ressort
l0
Longueur du ressort à vide
P0
Pression du gaz à l’équilibre
V0
Volume du gaz à l’équilibre
dx
Tranche d’élément entre les positions x et x+dx
C ap
Capacité électrique
Lind
Capacité électrique
q
Charge qui circule dans le circuit
u( t )
Tension d’alimentation

f fr
Force de frottement

Coefficient de frottement

Facteur d’amortissement

Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T
Pseudo Période du mouvement faiblement amorti
f ( t ) Force extérieure appliquée au système

Pulsation Force extérieure appliquée au système
p g ( t ) Solution générale du mouvement force
p p ( t ) Solution particulière
r
Pulsation de résonance du mouvement forcé
 1 , 2 Pulsation de coupure en régime forcé

Bande passante
Q
Facteur de qualité
~
Z
Impédance

Masse linéique de la corde

Masse surfacique
T
Tension de la corde

Tension linéaire
E
Constante de Young
w
Longueur d’onde
k0
Vecteur d’onde
V
Vitesse de propagation
s
Coefficient de compressibilité
Avant propos
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières
scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il
répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »
enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la
matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations
et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques
réparties en Huit chapitres.
Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du
formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude
des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté
est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti
qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse
du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au
quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de
liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées
dans les cinq chapitres.
Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes
mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités
des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre
traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier
chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
139
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
TOME 2
ONDES MECANIQUES
Chapitre 6 :
Généralités sur le phénomène de
propagation
Dr Fouad BOUKLI HACENE
140
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Rappels théoriques
 L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un
milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière,
comme le montre la figure 1.6.
Figure 1.6 : Mouvement de la vague
 Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée
équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit :
 2
V
t 2
2
 2
x 2
Ou  est l’onde qui se propage dans la direction Ox avec une vitesse V.
 La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope
et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du
milieu. Elle varie d’un milieu à un autre.
 L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie.
 On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel

par le vecteur d’onde k ( k x , k y , k z ) . Le rapport
k(  ) 

V
est appelé la relation
de la dispersion de l’onde.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
141
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
 Il existe deux types de milieux :
 Milieu dispersif :
La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de la
longueur d’onde, telle que V g

d
dk
. Les composantes se propagent avec
des vitesses de phase différentes. Toute fois si le signal de l’onde n’est
pas déformé il se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se
situent dans une bande très étroite. Nous avons dans ce cas, la vitesse du
groupe
Vg
avec laquelle se déplace le groupe d’onde.
Exemple: ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque
l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute
fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse
fréquence, l'air est dispersif)
Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde
 Milieu non dispersif :
La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation,
telle que k ( 
)

 cons tan te
V
. Elle ne dépend pas de la fréquence,
c’est le cas de la propagation des ondes sonores dans l’air, toutes les
Dr Fouad BOUKLI HACENE
142
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
composantes d’un son, quelque soient leurs fréquences, se déplacent à la
même vitesse. C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans
déformation exécutée par un orchestre.
 Il existe deux types d’ondes :
 Onde longitudinale :
L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le
montre les figures 3.6-a.et 3.6-b
Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale
Figure 3.6-b : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz
 Onde transversale :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
143
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme
le montre les figures 4.6-a et 4.6-b
Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale
Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale de la corde
 Il y a des ondes qui ne sont pas transversale ni longitudinale
comme par exemples les vagues comme le montre les figures
5.6-a et 5.6-b/
Dr Fouad BOUKLI HACENE
144
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
5.6-a
5.6-b
Figure 5.6 : Mouvement de la vague
 L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :
 A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.
 A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.
Exemple : Lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau, comme la montre la
figure 6.6 ci-dessous :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
145
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire
Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant
dans un plan
 A trois dimension : Ondes sonores.
 Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :
 Périodicité temporelle : Caractérisée par la période T (s).
 Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde w (m).
 Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes.
il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les
dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, voire la
figure 7.6 :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
146
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes
 Si deux ondes identiques se rencontrent: c'est le phénomène d'interférence,
voire la figure 8.6 :
Figure 8.6 : Franges d’interférences
 D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
147
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 9.6 : Phénomène d’interférence des ondes
 L’expérience de Young : la lumière passe à travers deux trous
séparés par une distance d. Il apparait sur l’écran alors des
interférences circulaires comme le montre la figure 10.6 cidessus :
Figure 10.6 : Phénomène d’interférence en optique
Dr Fouad BOUKLI HACENE
148
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
 Le phénomène d’interférence des ondes acoustiques émises par
deux hauts parleurs comme le montre la figure 10.6 :
Figure 11.6 : Phénomène d’interférence d’ondes acoustique
 Effet doppler d'une source sonore en mouvement.
L'effet Doppler ou effet Doppler-Fizeau est le décalage de fréquence d’une
onde (onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la mesure à
l'émission et la mesure à la réception lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur
varie au cours du temps. Si on désigne de façon générale ce phénomène physique sous
le nom d'effet Doppler, on réserve le terme d'« effet Doppler-Fizeau » aux ondes
électromagnétiques.
Cet effet fut présenté par Christian Doppler en 1842 dans l'article sur la lumière
colorée des étoiles doubles et de quelques autres astres du ciel, confirmé sur les sons
par le chercheur néerlandais Ballot (en utilisant des musiciens jouant une note calibrée
sur un train de la ligne Utrecht-Amsterdam), et fut également proposé par Hippolyte
Fizeau pour les ondes électromagnétiques en 1848.
 Reconstitution du passage d’une voiture.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
149
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 12.6 : Illustration de la variation de la longueur d’onde en fonction
de la vitesse
Figure 13.6 : passage en supersonique et onde de choc sonore
L'effet Doppler se manifeste par exemple pour les ondes sonores dans la
perception de la hauteur du son d’un moteur de voiture, ou de la sirène d’un véhicule
d’urgence. Le son est différent selon que l’on est dans le véhicule (l’émetteur est
Dr Fouad BOUKLI HACENE
150
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
immobile par rapport au récepteur), que le véhicule se rapproche du récepteur (le son
est plus aigu) ou qu’il s’éloigne (le son est plus grave). (Il faut cependant remarquer
que la variation de la hauteur du son dans cet exemple est due à la position de
l'observateur par rapport à la trajectoire du mobile.
Applications
Problème 1 :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
151
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Une source émet une onde mécanique ψ de fréquence ν se propageant dans la direction
0x avec une vitesse V constante.
 Ecrire l’équation de propagation.
Posant les variables suivantes : p  t 
x
x
et q  t  .
V
V
 Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.
 En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et
infini en régime sinusoïdal.
Solutions :
 L’équation de propagation :
 2
V
t 2
2
 2
x 2
C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.
 Les solutions générales, en utilisant la méthode du changement des variables
qui sont:
x
V
x
qt
V
pt
Pour le premier terme de l’équation
Pour le premier ordre, on a :

 p
 q


t
p t
q t
avec
p
1
t
q
1
t
On obtient alors :
  


t
p q
Pour le deuxième ordre, on aura :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
152
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
 2
t 2
 
  
 
  
  p
  
  q

[
] 





 




t t
t  p
q 
p  p
q  t
q  p
q  t
avec
p
1
t
q
1
t
avec
p
1

x
V
q
1
 
x
V
On obtient alors :
 2

t 2
 2
 2
 2
 2



qp
p q
q 2
p 2
De même pour le deuxième terme :
Pour le premier ordre, on a :

 p
 q


x
p x
q x
avec
p
1

x
V
q
1
 
x
V
On obtient :

1    
 


x V  p q 
Pour le deuxième ordre, on aura :
 2
x 2
 
  
 
  
  p
  
  q

[
] 





 




x x
x  p
q 
p  p
q  x
q  p
q  x
On obtient alors :
 2
x
2
 
 2
 2
 2
 2



2
2
q p
p q
q
p
Apres, on intègre les deux termes dans l’équation de base, on obtient :
 2
 2

0 
pq
qp
 2
 0
pq
 2
 0
qp
   1( q )
  2( p )
D’ou la solution totale s’écrit sous la forme :
 T   1 ( q )  2 ( p )
On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme :
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153
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
T
x
x
  1 ( t  )  2 ( t  )
V
V
x
)  Onde incidente
V

x
 2 ( t  )  Onde réfléchie
V
 1( t 
Les figures 14.6 et 15.6 représentent l’illustration physique des fonctions
 1( t 
x
x
) et  2 ( t  )
V
V
Figure 14.6: Ondes progressives dans le sens de la direction positive
Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive
 Dans un milieu homogène infini et en régime sinusoïdal, la solution est de la
forme :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
154
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
 ( t , x )  A cos  ( t 

x)
V
Problème2 :
Une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans un espace cartésien Oxyz
avec une vitesse V constante.
 Etablir l’équation de propagation de S
 Déterminer les solutions de l’équation différentielle par la méthode de
séparation des variables.
On définit le vecteur d’onde ko et la pulsation ω.
 En déduire la forme de la solution générale.
 Donner une relation entre ko et ω
L’espace de propagation est une cavité parallépépidique de dimension (a, b, c).
Figure 16.6 : La cavité de la propagation des ondes
On considère qu’à l’instant initial S ( t  0 )  0 .
 Déterminer les solutions finales.
Solutions :
 L’équation de propagation à trois dimensions:
Dr Fouad BOUKLI HACENE
155
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions
On décompose le vecteur d’onde

k
en trois composantes
( k x ,k y ,k z )
sous la
forme suivante :
k 2  k x2  k y2  k z2
On détermine les composantes
1
S
1

S
1

S
k x2 
k y2
k z2
( k x ,k y ,k z )
en trois directions:
2S
x 2
2S
y 2
2S
avec
2 
1 2S
S t 2
z 2
Après sommation terme à terme, On obtient alors :
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156
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation


2S 2S 2S 
1
 k x2  k y2  k z2  k 2   2  2  2 
S  x
y
z 


 
S

D’ou :
2S
 V 2S
t 2
 Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des
variables :
S ( t , x )  A ( x ) B ( y )C ( z )T ( t )
On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient
alors :
 2  A( x )B( y )C( z )T ( t )
x 2

 2  A( x )B( y )C( z )T ( t )
y 2

 2  A( x )B( y )C( z )T ( t )
z 2

1  2  A( x )B( y )C( z )T ( t )
V2
t 2
D’où :
( x ) B( x ) C( x )
A
1 T( t )


 2
 Cste
A( x ) B ( x ) C ( x ) V T ( t )
 Après le calcul on obtient les équations différentielles comme suit :
( x )  k 2 A ( x )  O
A
x
B( y )  k 2 B ( y )  0
y
C( z )  k z2 C ( z )  0
T( t )   2 T ( t )  0
k 2  k x2  k y2  k z2
avec
ko 

V
Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit :
A( x )  A1 cos k x x  A2 sin k x x
B( y )  B1 cos k y y  B 2 sin k y y
C( z )  C 1 cos k z z  C 2 sin k z z
T ( t )  T1 cos t  T2 sin t
 Dans l’espace limité la propagation de l’onde est confinée. On a l’interférence
des ondes incidentes et réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires
dans les trois directions. A cet effet l’onde finale est régie par les conditions aux
bords.
 En appliquant les conditions aux limites suivantes :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Cste
157
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
A( x  0 )  A( x  a )  0
B( y  0 )  B( y  b )  0
C( x  0 )  C( x  c )  0
On obtient les solutions :
n
a
m

b
p

c
A1  0 et k x( n ) 
B1  0 et k (y m )
C 1  0 et
k z( m )
Avec les conditions initiales :
S( t  0 )  0
 T2  0
 Les solutions finales s’écrivent alors :
A( x )  A2 sin k x x
B( y )  B 2 sin k y y
C( z )  C 2 sin k z z
T ( t )  T1 cos t
D’ou :
S n ,m , p ( x , y , z , t )  A2 B 2 C 2 T1 sin k x( n ) x sin k (y m ) y sin k z( p ) z cos  n ,m , p t
 Ainsi la solution totale pour tous les modes propres est :
S T ( x , y , z ,t )    sin k x( n ) x sin k y( m ) y sin k z( p ) z cos  n ,m , p t avec   A2 B2 C 2T1
n
m
p
Problème 3 :
Un haut parleur envoie dans l’air des ondes sonores S de fréquence ν se propageant à
symétrie sphérique avec une vitesse V constante. A tout instant, l’amplitude de l’onde
sonore sera la même sur une surface centrée sur le haut parleur.
 Ecrire l’équation de propagation de S.
 Résoudre l’équation aux dérivées partielles.
 Exprimer la solution générale dans le cas
d’un milieu infini en régime
sinusoïdal. Interpréter les résultats.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
158
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Solutions :
L’onde se propage d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale.
Figure 18.6 : Forme de l’onde sphérique
 L’équation de propagation :
2S
 V 2S
2
t
 La solution générale de l’équation aux dérivées partielles :
Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphère r qui se
calcule comme suit:
r2  x2  y2  z2
Alors, la solution
S ( x , y , z ,t )
ne dépend que de la variable r devient :
S ( x , y , z ,t )  S ( r ,t )
Pour la variable x :
S
S r
x S


x
r x
r r
Pour la deuxième dérivée :
2S
x
2

 S
  x S 
1 S x
  1 S  r
1 S
x 2  1 S
1 2S



x





x x
 x  r  r 
r r x
 r  r  r   x
r r
r  r 2  r
r r 2
D’où :
2S
x 2

x2 2S
r 2 r 2

1 S 
x2 
1  2 
r  r 
r 
Dr Fouad BOUKLI HACENE



159
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
De même pour la direction y :
2S
y 2

y2 2S
r 2 r 2

1 S 
y2 
1  2 
r  r 
r 

1 S 
z2 
1  2 
r  r 
r 
De même pour la direction z :
2S
z 2

z2 2S
r 2 r 2
On somme pour les trois directions, on obtient :
2S
x 2

2S
y 2

2S
z 2
 S 
2S
r 2

2 S
r r
Après transformation on aura :
1  2 ( rS )
r r 2
S 
D’où :
 2 ( rS )
r 2

1  2 ( rS )
V
t 2
2
En posant la nouvelle variable :
  rS
L’équation aux dérivées partielles devient :
 2
r 2

1  2
V 2 t 2
La solution s’écrit sous la forme :
 ( t ,r )  1( t 
r
r
)  2( t 
)
V
V
D’où la solution globale devient :
S ( r ,t ) 
1
r
r
f(t 
)  g( t 
r 
V
V

)

On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique
réfléchie.
 La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal dans un milieu infini
devient comme suit :
S ( r ,t ) 
1
r
cos  ( t 
) avec
r
V
r2  x2  y2  z2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
160
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure
10.6.
Figure 19.6 : Forme conique de l’Onde
Le facteur
1
représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui
r
est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même
manière.
Problème 4 :
Soit une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans le plan (0xy) avec une
vitesse V constante.
 Ecrire l’équation de propagation.
 Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables.
On pose les conditions suivantes :
S( x  0 )  0,
S
(y 0)0
y
 Déterminer les solutions générales.
Application :
 Etablir l’équation de propagation dans le cas d’un jet de pierre sur une surface
d’eau.
 En déduire les solutions générales.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
161
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
Figure 20.6 : Mouvement ondulatoire circulaire à la surface de l’eau
Solutions :
 La propagation se fait à deux dimensions suivant le schéma :
Figure 21.6 : Mouvement d’une onde a deux dimensions

L’équation de propagation à deux dimensions s’écrit comme suit:
2S
t
2
 2S
2S
 V 2 

2
y 2
 x




Dr Fouad BOUKLI HACENE
162
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
 Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des
variables :
S ( t , x )  A ( x ) B ( y )T ( t )
 On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient
alors :
 2  A( x )B( y )T ( t )
x 2

 2  A( x )B( y )T ( t )
y 2

1  2  A( x )B( y )T ( t )
t 2
V2
 Cste
D’où :
B( y )T ( t )
 2  A( x )
x 2
 A( x )T ( t )
 2 B( y )
y 2

1
V2
A( x )B( y )
 2 T ( t )
t 2
 Cste
Après simplification on obtient :
( x ) B( x )
A
1 T( t )

 2
 Cste
A( x ) B ( x ) V T ( t )
On en déduit que :
S ( t , x , y )  A ( x ) B ( y )T ( t ) 
V
2
[
( x ) B( y )
A
T( t )

] 
   02
A( x ) B ( y )
T(t )
 Après le calcul on obtient les équations différentielles séparées :
( x )  k 2 A( x )  O
A
x
B( y )  k y2 B ( y )  0 avec
T( t )   2 T ( t )  0
k O2  k x2  k y2

ko 
V
D’ou les solutions sont déterminées comme suit :
A( x )  A1 cos k x x  A2 sin k x x
B( y )  B1 cos k y y  B 2 sin k y y
T ( t )  T1 cos t  T2 sin t
 L’espace de propagation est limité (fini), on obtient des ondes stationnaires dans
les trois directions.
 En appliquant les conditions aux limites On obtient :
S( x  0 )  0
S

(y 0)0
y
A1  0
et
B2  0
k x( n ) 
n
a
Les solutions s’écrivent alors :
A( x )  A2 sin k x( n ) x
B( y )  B1 cos k y y
 Les solutions générales sont :
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163
Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation
S T ( x , y ,t )    sin k x( n ) x cos k y( m ) yT ( t ) avec   A2 B2
n
Application :
 Dans le cas d’une membrane circulaire de rayon R, l’équation de propagation
est sous forme :
2z
x 2

2z
y 2
 z 
 2z
 t 2
D’où :
z( r ) 
1 
z
 2z
(r
)
r r r
 t 2
Ainsi, la célérité de l’onde est égale a :
V


 La forme de la solution générale de l’équation de propagation :
z ( t , x , y )  A1 J ( r )  A 2 Y ( r )
Où
J ( r ), Y ( r )
sont les fonctions de Bessel et Neumann.
Figure 21.6 : Représentation des fonctions de Bessel
A gauche : Première espèce Jm(r)
Adroite : Seconde espèce Ym(r)
Dr Fouad BOUKLI HACENE
164
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Chapitre 7
Propagation d’onde mécanique
dans les solides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
165
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Rappels théoriques
On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une
perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation. Puisque le milieu est
constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont
responsables du déplacement de la perturbation. Cette propagation dépend des
propriétés physiques du milieu où l’onde se propage.
Figure 1.7: Propagation dans différents milieux
 Onde élastique dans le solide :
Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une
extrémité est fixé sur un support rigide fixe. On applique à l’autre extrémité une force
de traction

F
à la longueur du barreau, on constate un allongement l.
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166
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 2.7 : Allongement due à la force de traction
Les variations relatives
l
F
 f(
) présentent
l
S
deux aspects fondamentaux. Le premier
est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur
originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA. Le deuxième aspect est
représenté dans l’intervalle AB, appelé zone non linéaire, à cet effet, même après la
suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel comme le montre la
figure 3.7
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167
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 3.7: Comportement de la loi de Hooke
Dans la zone élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke comme suit
l
1 F

l
E S
Où E est une constante propre au matériau, appelée module de Young qui s’exprime
en Newton par mètre carré.
 On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un
barreau solide indéformable, homogène et continue. A cet effet, On considère
un élément du barreau de section S, de masse volumique, de constante de
Young E, de longueur dx , et de masse dm . Les deux sections réparties sur les
abscisses x et
x  dx
sont soumises respectivement aux
forces de traction
F ( x ) et F ( x  dx ) .
 L’équation du mouvement de l’élément
 Sdx
 2U
t
2
dx
s’écrit comme suit :
 F ( x  dx )  F ( x ) 
F
dx
x
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la
déformation comme suit :
F ( x )  SE
U
x
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes
élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des
caractéristiques macroscopiques des matériaux :
 2U
t
2

E  2U
 2U

V
 x 2
t 2
2
 2U
x
2
avec
V 
E

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168
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 4.7 : Déformation locale du barreau
 Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles
sont de la forme:
U ( x )  U 0e
Où
k 

V
j (  t  kx )
est le module du vecteur d’onde.
 On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le
rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du
déplacement de l’onde :
F( x )
Z( x ) 

U ( x )
U
 x  SEjkU ( x )
U ( x )
j U ( x )
t
 SE
Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :
Z ( x )  S V  SZ c
Où
Z c est
appelée l’impédance caractéristique du barreau. Elle ne dépend pas de
la position du milieu.
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169
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Mouvement ondulatoire dans une corde
Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde libre représentée
comme suit.
Figure 5.7 : La corde est au repos
Soit une corde de longueur l et de masse m, la masse linéique μ (supposée constante le
long de celle-ci) est définit comme suit :
 
m dm

l
dx
Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas déformer
le câble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone perturbée, un
élément de fil, de longueur dl :
Les Approximations sont les suivantes:
 Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon
à être presque parallèle à l'axe x. Les angles  ( x ,t ), ( x  dx , t ) sont donc
considérés comme petits
 La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme
des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.
Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure 6.7 ci-dessous :
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170
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 6.7: Mouvement transversal de la corde
 Le bilan des forces s’écrit :


F
  dma 
F [cos  x  dx  cos  x ]  0
 2 y avec dm  dl
F [sin  x  dx  sin  x ]  dm 2
t

Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et a représente l’accélération selon
y. Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement
qui donne :
sin x  tan x 
y
x
dl  dx
 La loi de Newton appliquée à la masse dm  dx donne (nous considérons que
chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas
allongement) :
Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :
F[
y
x

x  dx
y
2 y
]  dx 2
x x
t
 Il en résulte l’équation aux dérivées partielles :
2y
t
2

F 2y

 x 2
2y
t
2
V
2
2y
x
2

V 
F

Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".
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171
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Nous vérifions les unités de
F
sont celles du carré d'une vitesse ( m / s ) 2 ,

comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :
V 
F

 Le Fouet
Le fouet est une corde dont la masse linéique diminue avec la longueur, très
massique prés de la poignée et peu massive à l’autre extrémité représenté dans la
figure 7.7.
Lorsqu’on agite le fouet, l’onde ne se déplace pas de la même vitesse, car la vitesse
dépend de la masse linéique. La grande vitesse atteinte par l’extrémité du fouet peut
déplacer une quantité d’air et ainsi provoquer un claquement.
Figure 7.7 : Le fouet
 Corde tendue : Ondes stationnaires :
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172
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, on aura l’interférence des
ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes
stationnaires. Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords, comme suit :
y ( x  0 ,t )  y ( x  a ,t )  0
 On obtient les modes propres :
kn 
n
a
avec
n N

Le schéma est représenté dans la figure 8.7
Figure 8.7 : Modèle de la corde tendue
 Le premier dispositif expérimental qui illustre l’expérience de la production
des ondes stationnaires est celui de « MELDE » représenté dans la figure 9.7.
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173
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 9.7: Dispositif expérimental de « MELDE »
Expérience générale :
Une corde de longueur L est placée horizontalement sur deux tiges en fer, à l’une des
extrémités de la corde nous attachons un poids de masse M. Un vibreur fait vibrer la
corde selon une intensité variable. Nous constatons qu’il se produit un mouvement
particulier de la corde qui présente des ventres et des nœuds en différents points.
Figure 10.7 : Expérience de la corde tendue
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174
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Autres applications :
Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples :
La mise en vibration peut s’effectuer par :
 Pincement (harpe)
 Percussion (piano)
 Frottements (violon)
Figure 11.7 : cordes de la guitare
 Réflexion et transmission
La figure 12.7 montre deux cordes ayant la même tension et de masse linéaires
différentes raccordées au point x=0, appelé point de discontinuité.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
175
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 12.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique
 Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il
existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1.
 Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité telle que :
y i ( 0 ,t )  y r ( 0 ,t )  y t ( 0 ,t )

  y ( x ,t )


  y ( x ,t ) 
  y ( x ,t ) 
i

 r
  t



 
x
x
x
 x 0
 x 0 

 x 0

 Mouvement transversal dans une membrane
On considère un petit élément de cotés
( dx , dy )
dans une membrane
 caractérisée par une tension par unité de longueur
surfacique M s . On définit
f ( x , y ,t )
w ( x , y , t ) le

et une masse
déplacement transversal local et
la densité surfacique des forces extérieures.
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176
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 13.7 : Mouvement ondulatoire de la membrane
 En appliquant la loi dynamique de Newton pour l’élément
( dx , dy )
:
2
2
 w



2w
   dy  w   dx   w   w dy    dx  w  f ( x , y , t ) dxdy  M s dxdy  w
 dy 

dx

 x

x
y
x 2
x 2
t 2
 x



Avec :
 2w
2w
 dxdy 

2
y 2
 x
2

  f ( x , y , t ) dxdy  M s dxdy  w

t 2

 En considérant que la force extérieure est nulle
f ( x, y ,t )  0 :
L’équation d’Alembert aux dérivées partielles devient alors :

M

Ms
La quantité
s
 2w
2w


 x 2
y 2

 2w


t 2


V 2 w 
2w
t 2
représente la célérité de la propagation de l’onde dans la membrane.
Les solutions devront satisfaire les conditions aux limites sur le contour  .
 Pour

fixe : on a
w( x , y )  0
 Pour

libre: on a
w( x , y )
0
n
n Représente
la dérivée de
pour ( x , y )  
pour ( x , y )  
w( x , y ) dans

la direction normale de n
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177
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Applications
Problème 1 :
Soit une corde vibrant transversalement dans le plan Oxy . L’équation de mouvement
est de forme y  f ( x , t ) . Soient T et μ la tension et la masse linéique de la corde à
l’équilibre.
Figure 14.7 : La corde libre
 Ecrire l’équation de propagation de l’onde.
 En déduire la célérité V des oscillations.
On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal.
 Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la
méthode des séparations des variables.
Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distance a, lâchée sans vitesse
initiale.
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178
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 15.7: La corde tendue
 Déterminer la forme de la solution générale.
 Montrer que les fréquences de vibration de la corde sont multiples entier
d’une fréquence fondamentale f1.
Application numérique :
Pour la troisième corde de la guitare de longueur a=63cm en nylon, de masse
volumique ρ=1200kg/m3 et de section S=0.42mm2.
 Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son
fondamental f1=147Hz (note ré).
 La corde maintenant est écartée de la position d’équilibre à l’instant t=0,
telle que représentée par la figure 16.7 et lâchée sans vitesse initiale:
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179
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 16.7 : La corde écartée de sa position initiale
Déterminer la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
 L’équation de propagation aux dérivées partielles s’écrit:
2y
t 2

T 2 y
 x 2

2y
t 2
V
2
2y
x 2
 la célérité de l’onde est égale :
V
T

 Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre :
 En utilisant la méthode des séparations des variables
y  A( x )T ( t )
 On obtient :
V
2
( x ) T( t )
A

  2
A( x ) T ( t )
D’où la solution s’écrit comme suit :


x  A2 sin x
V
V
T ( t )  T1 cos t  T2 sin t
A( x )  A1 cos

y( x , t )  A( x )T ( t )
 La corde est maintenant fixée :
 les conditions aux limites nous donnent :
y( x  0 )  0
y( x  a )  0

A1  0
A ( x )  A 2 sin k x x

k x( n )  (

n
)x 
V
a
La solution s’écrit sous la forme:
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180
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
A( x )  A2 sin k x( n ) x
Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :
k x( n ) 
2

n
 ( )x 

V
a
 
2a
n
La figure ci-dessus, Figure 14.7 illustre les différents types des modes
propres :
Figure 17.7 : Modes propres
 les conditions initiales nous donnent :
T ( t  0 )  0
 T2  0
donc
T ( t )  T1 cos  n t
D’où, la solution finale s’écrit:
yT ( x , t ) 
  sin k
(n)
x x cos  n t
avec   A2 B1
n 1
 Les fréquences propres des vibrations de la corde :
k x( n ) 
n
2 f n
n



V
V
a
f n  nf 1 avec
f1 
1
2a
T

 Application numérique :
f1 
1
2a
T


T  4 a 2  Sf 12

T  17 . 3 N
 La corde pincée en son milieu :
L’équation de la corde à l’instant initial dans ce cas est de la forme :
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181
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
2h

y ( x ,0 ) 
x

a

2h
 y ( x ,0 ) 
(a  x)
a

a
2
pour
0  x 
pour
a
 x  a
2
 En appliquant la condition initiale :
y ( x , t  0 )  0
On obtient :
y ( x ,0 ) 

n 1
2h

y ( x ,0 ) 
x

n
a
 sin
x  
2h
a
 y ( x ,0 ) 
(a  x)
a

On multiplie les deux membres par
a
   sin
2
n1 0
n
2h
xdx 
a
a
sin
a
2
 x sin
0
n
x
a
a
2
pour
0  x 
pour
a
 x  a
2
et on intègre sur 0 , a 
n
xdx 
a
a
2
 2 h ( 1  a ) sin
x
0
n
xdx
a
Après intégration, on obtient :
a
2
   ( n )
4 ha
n1
2
sin
n
2

 
8h
( n )
2
sin
n
2
 La solution finale s’écrit alors :
yT ( x , t ) 
 ( n )
8h
n 1
2
sin
n
n
sin
x cos  n t
2
a
avec   A2 B1
Problème 2:
Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique, tendue par une
force de tension d’intensité F constante. La corde au repos est horizontale et
matérialisée par l’axe Ox .
Au cours de la propagation d’une onde, le point M de la corde, d’abscisse x au repos
subit le déplacement transversal y(x, t) à l’instant t. On néglige l’influence de la
pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée
suivant l’axe Ox , Ox  Oy et de valeur algébrique :  bV ( x , t ) par unité de
longueur (avec b0), où V ( x , t ) 
y
est la vitesse transversale de l’élément de la
t
corde d’abscisse x à l’instant t.
 Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t).
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182
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
On définit k le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible
(b).
 Etablir la relation de dispersion sous la forme :
k(  )  
[ 1  jg (  )]
c
 Exprimer les coefficients g et c en fonction des données F,  et b.
 En déduire l’équation de l’onde y(x, t). Que peut on dire sur y(x, t) ?
On définit l’impédance mécanique complexe
~
Z 
Ty
V ( x ,t )
Où T y désigne la projection sur Oy de la tension de la corde en M(x).
~
 Exprimer l’impédance mécanique complexe Z de la corde en fonction de
F, , b. et.
Solutions :
Soit le schéma d’un élément de la corde subit des forces de tensions et de frottement
comme suit :
Figure 18.7 : Mouvement oscillatoire de la corde sous la force de frottement
 En appliquant la loi dynamique de Newton, on a :



F  dma 
F [cos  x  dx  cos  x ]  0
f fr  F [sin  x  dx  sin  x ]  dm
 2 y avec dm  dl
t 2
L’équation du mouvement s’écrit :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
183
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
y

sin  
et l  x

x
 y
2
 b dx  F [( y )x  dx  ( y )x ]  dx  y
t
x
x
t 2

On obtient alors :
b
y
2 y
2 y
dx  F 2 dx  dx 2
t
x
t
 L’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t) :
2y
x
2

 2y
b y

F t 2
F t
2y

x
2

1 2y
V
2
t

2
b y
F t
La célérité de l’onde est égale a :
F

V
 La relation de dispersion
k (  )
:
On remplace la forme de la solution sinusoïdale dans l’équation de propagation,
on obtient :
y ( t , x )  Ae
j(  t  k  x )

 2 ( Ae
j(  t  k  x )
)
x 2

1  2 Ae
V
j(  t  k  x )
t 2
2
b  Ae j (  t  k

F
t

x)
Après simplification, On aura :
 k*2 
1
2
V
( 
)  j
2
b
F
La relation de dispersion devient alors :
b  

k ( ) 

b
(1 j
)
c
2 
Ainsi que les coefficients sont déterminés comme suit :
c
F

g(  ) 
et
b
2 
 La solution de l’équation de l’onde y(x, t)s’écrit alors :
y ( t , x )  Ae

bx
2 c
e
j( t
x
)
c
C’est une onde progressive amortie.
 L’impédance mécanique complexe s’écrit:
~
Z 
y
 F x
y
V ( x ,t )
t
Ty
Dr Fouad BOUKLI HACENE
184
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
D’ou
b
~
Z   F ( 1  j
)
2 
Problème 3 :
Partie A : Equation de la corde vibrante :
Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique, est tendue horizontalement
suivant l’axe Ox avec une tension F constante, voire la figure 19.7.
La corde, déplacée de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant
t par le déplacement quasi vertical y(x, t), compté à partir de sa position d’équilibre,
d’un point M d’abscisse x au repos.
A l’instant t, la tension T ( x , t ) exercée par la partie de la corde à droite de M sur la
partie de la corde à gauche de M, fait un petit angle  ( x , t ) avec l’horizontale.
On admettra  petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de
pesanteur.
Figure 19.7 : Mouvement de la corde
Equation des cordes vibrantes :
On considère le tronçon de la corde compris entre les abscisses x , x  dx .
 Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante.
 En déduire la célérité V de l’onde en fonction de  et F.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
185
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Partie B : Analogie électrique :
Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure 20.7
comme suit :
Figure 20.7 : une tranche d’une cellule électrique sans perte
 Montrer que la cellule électrique représentée ci dessus constitue un circuit
analogique d’un élément de corde vibrante de longueur dx
 Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique Lind, de la
capacité linéique Cap, de l’intensité du courant i(x, t) et de la tension électrique
u(x, t).
Solutions :
Partie A :
 L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante :
En appliquant la loi dynamique sur l’élément de la corde, on a :



F  dma 
F [cos  x  dx  cos  x ]  0
2 y
F [sin  x  dx  sin  x ]  dm 2
t
avec dm  dl
L’équation du mouvement s’écrit :
y

sin  
et l  x

x

2
 F [( y )x  dx  ( y )x ]  dx  y

x
x
t 2
On obtient :
F
2 y
x
2
dx  dx
2 y
t 2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
186
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
D’ou l’équation aux dérivées partielles du déplacement
 y
2
x
2

  y
F t 2
2
 y
2

x
2

y ( x ) s’écrit:
1  y
2
V
2
t 2
La célérité de l’onde est égale à :
V
F

Partie B :
 L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :




i0
U 0
 i

  x   C ap
 u

  L ind
 x

u
t
i
t
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des
ondes de courant et de tensions comme suit :
 2i
x 2

 Lind C ap
 2i
t 2
 La célérité de l’onde de courant est égale à :
V

1

Lind C ap
L’équivalence mécanique-électricité :
2
 2i

  i

L
C
ind ap
x 2
t 2
Avec
Lind


C ap

i(( x ,t ) 

2 y  2 y

x 2 F t 2

1
F
y
t
Problème 4 :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
187
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Deux cordes, de masses linéiques 1 et 2, sont attachées à la jonction O pour former
une longue corde tendue horizontalement suivant l’axe Ox avec une force de tension
d’intensité F. On choisit l’abscisse x=0 à la jonction O des deux cordes.
Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude ai et venant de la
gauche (région x0) de la forme :
y i ( x , t )  a i cos(  t  k 1 x )
A la jonction O il y a une onde réfléchie dans la région x0 et une onde transmise vers
la région x0. On définit k1 et k2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes
dans les régions x0 et x0 :
 Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux
relations qui lient les amplitudes a i , a t , a r et le rapport
 En déduire les coefficients de réflexion R 
k1
.
k2
a
ar
et de transmission T  t
ai
ai
pour l’amplitude en fonction de k1 et k2, puis en fonction de 1 et 2.
Commenter.
 Application numérique : On attache en O un fil d’acier(1) de diamètre d1=2
mm et un fil d’acier (2) de diamètre d2=1.2mm.
Calculer, pour l’onde qui se propage du fil (1) vers le fil (2), les coefficients R
et T.
Solutions :
 Les deux équations de continuité :
En appliquant les deux équations de continuités :
y i ( 0 ,t )  y r ( 0 ,t )  y t ( 0 ,t )



y
(
x
,
t
)


  y ( x ,t ) 
 y ( x ,t ) 

i
 r
  t



 
x
x
x
 x 0
 x 0 

 x 0

On obtient alors :
 ai  a r  at

a  a  k 2 a
r
t
 i
k1
 Les coefficients de réflexion et de transmission :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
188
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
ar
ai
at
T 
ai
R 
On obtient :
R
k 01  k 02
 R
k 01  k 02
T
2k 01
 T
k 01  k 02
1   2
1   2
2 1
1   2
 Commentaires :
1  2
1  2


1  2

1  2
R  0
et
R 0
T  0
 Application numérique :
ar
ai
a
T  t
ai
R 
k 01  k 02

k 01  k 02
2 k 01
T 

k 01  k 02

d1  d 2

d1  d 2
2d1
T 

d1  d2
R 

R 
R  25 %
T  75 %
Problème 5:
Soit U une onde mécanique longitudinale se propageant suivant l’axe Ox dans un
barreau cylindrique homogène indéformable de masse volumique , de module de
Young E de longueur l et de section droite S.
 Ecrire l’équation de propagation d’Alembert.
 Déterminer la solution U(x, t) de l’onde.
 Déterminer l’impédance mécanique Z(x) à la position x. En déduire
l’impédance caractéristique du milieu Zc.
Solutions
 L’équation de propagation des ondes :
 2U
t
2

E  2U
 2U

V
2
 x
t 2
2
 2U
x 2
avec
V 
E

Dr Fouad BOUKLI HACENE
189
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles
sont de la forme:
U ( x )  U 0e
Où
k 

V
j (  t  kx )
est le module du vecteur d’onde.
 On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le
rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du
déplacement de l’onde :
F( x )
Z( x ) 

U ( x )
U
 x  SEjkU ( x )
U ( x )
j U ( x )
t
 SE
Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :
Z ( x )  S V  SZ c
Problème 6:
Un barreau cylindrique d’aluminium, de masse volumique  de longueur l et de
section droite, subit un allongement relatif :
l
F

l
E
Sous l’effet d’une force F d’étirement dans le sens de l’axe 0 x du barreau ; la
constante E est le module d’Young du métal. On négligera les variations de la section
du barreau. Lors du passage d’une onde acoustique, l’élément de barreau compris entre
les plans de section voisins d’abscisses x , x  dx se déplacent respectivement de
s( x ,t ) et s( x  dx ,t ) à l’instant t par rapport à leur position d’équilibre ;
 Montrer que l’élongation s( x ,t ) obéit à une équation de propagation d’ondes.
 Calculer la célérité V de ces ondes dans le barreau d’aluminium pour lequel :
= 2700kg/m3 et E= 71010 Pa
Soit une onde plane progressive acoustique d’amplitude a0 :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
190
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
s( x ,t )  a0 co( t 
x
)
V
 Calculer dans ce cas la variation relative maximale max de volume de l’élément
de barreau ( x , x  dx ) entre les instants 0 et t ;
 La tension T(x, t) du barreau au niveau de sa section droite d’abscisse x, à
l’instant t.
Le barreau de longueur l, fixé à une de ses extrémités O, est libre à l’autre extrémité A.
On cherche la solution de l’équation de propagation de l’onde sous la forme
s( x ,t )  g ( x ) sin t
 Déterminer la fonction g(x), on notera a l’amplitude de cette fonction spatiale.
On prend comme conditions aux limites :
s( x  0 ,t )  0 et
s
( x  l ,t )  0
x
 Déterminer les fréquences propres du barreau en fonction de E, l,  et d’un
entier N.
Dans les conditions où le son le plus grave a une fréquence f0=2KHz,
Déterminer :
 La longueur l= OA du barreau cylindrique.
 L’énergie cinétique moyenne E c ( t ) de ce barreau en fonction de sa masse M et
de la vitesse maximale Vmax d’un élément du barreau.
Solution :
 L’équation de propagation d’ondes :
Soit un élément du barreau représenté comme suit :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
191
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 21.7 : L’élément du barreau soumis à des forces de tractions
En appliquant la loi dynamique de newton :

 F  ma


T ( x  dx )  T ( x , t )  dm
L’équation du mouvement de l’élément
  dx
2s
t
2
dx
2s
t 2
s’écrit comme suit :
 T ( x  dx )  T ( x ) 
T
dx
x
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la
déformation comme suit :
T ( x )  E
s
x
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes
élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des
caractéristiques macroscopiques des matériaux.
 L’équation du mouvement s’écrit alors :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
192
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
2s
t 2

E 2s
 x 2
2s

t 2
V 2
2s
x 2
 La célérité de l’onde est égale :
E

V
 Application numérique :
E
 1610 m / s

V 
 La variation relative max et la tension T(x, t) :
 max 
a0 
x
 T ( x ,t )  a0 S E sin ( t  )
V
V
 La fonction g(x) :
 En utilisant la méthode des séparations des variables, on a :
s( x , t )  g( x ) sin t
On obtient :
d 2 g( x )
dx
2
(
 2
) g( x )  0
V
D’où :
g ( x )  A1 cos


x  A2 sin x
V
V
 Alors la solution générale s’écrit :
s( x , t )  A1 cos


x  A2 sin x sin t
V
V
 En utilisant les conditions aux bords, on aura :
s( 0 ,t )  0 
g( 0 )  0 
g ( x )  a sin
A1  0

x
V
 Les fréquences propres du barreau :
 En utilisant la condition au bord :
(
s
)x l  0
x
On obtient :
(
g
( 2 N  1 )


)x l  0  cos( l )  0  cos( l )  cos
x
V
V
2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
193
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Les fréquences propres sont :
fN 
( 2 N  1 )V
4l
 La longueur l= OA du barreau cylindrique :
 On a la relation de dispersion :
( 2 N  1 )

l
V
2
 Pour le son le plus grave, c'est-à-dire, N=0 : on a :
f0 
V
4l
 D’où la longueur du barreau est égale :
l
1
4 f0
E
 31cm

 L’énergie cinétique moyenne :
1
1 s
E c ( t )   v 2 dm   ( ) 2 Sdx
2
2 0 t
l
 Ec ( t ) 
1
M ( a )2
8
Problème 7:
On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface S d’une
membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace plan Oxyz
et dont les axes sont Ox ,Oy ,Oz . Soit un élément ds dont les cotes sont soumises a des
tensions linéaires  , comme le montre la figure 22.7 comme suit :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
194
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 22.7 : Mouvement transversal de la membrane
 Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une
masse surfacique σ.
 Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations
des variables.
 En déduire la forme de la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
 En appliquant la loi dynamique de Newton



2z
2z 2z
F  dm a  dxdy 2   ( 2  2 )dxdy
t
x
y
 L’équation de propagation de l’onde :
2z
x 2

2z
y 2

 2z
1 2z


z

 t 2
V 2 t 2
 La célérité de l’onde est égale à
V


 Les solutions de l’équation différentielle :
 En utilisant la méthode de séparation des variables :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
195
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
z ( t , x , y )  A ( x ) B ( y )T ( t )
On obtient :
 2 [ A( x )B( y )T ( t )]
x 2

 2 [ A( x )B( y )T ( t )]
y 2

1  2 [ A( x )B( y )T ( t )]
V2
t 2
D’où
( x ) B
( y )
A
1 T( t )

 2
 Cste
A( x ) B( y ) V T ( t )
 Après le calcul, on obtient les équations différentielles séparées comme
suit:
( x )  k 2 A( x )  O
A
x
B( y )  k y2 B ( y )  0
T( t )   2 T ( t )  0
avec
k 02  k x2  k y2

k0 
V
 Dont les solutions sont de la forme :
A( x )  A1 cos k x x  A2 sin k x x
B( y )  B1 cos k y y  B 2 sin k y y
T ( t )  T1 cos t  T2 sin t
 Ainsi, la solution totale s’écrit sous la forme:
Z ( x , y ,t )  ( A1 cos k x x  A2 sin k x x )( B1 cos k y y  B2 sin k y y )( T1 cos t  T2 sin t )
Problème 8 :
Une ligne de transmission téléphonique, parallèle à l’axe Ox , sans pertes, peut être
décomposée en cellules élémentaires de longueur dx . Cette ligne est caractérisée par
son inductance linéique Lind et sa capacité linéique C ap . Comme le montre la figure
23.7 ci dessous :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
196
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Figure 23.7 : Elément de la ligne électrique
 Montrer que le courant i(x, t) et la tension u(x, t) obéissent à une même équation
d’onde d’Alembert que l’on déterminera.
 Exprimer en fonction de Lind et C ap la célérité V de la propagation de l’onde de
courant et de l’onde de tension sur cette ligne.
On admet qu’une onde progressive harmonique de courant se propage dans cette ligne,
supposée infinie :
i( x ,t )  i0 cos ( t 
x
)
V
 Montrer qu’en tout point de la ligne, on a u( x ,t )  Z c i( x ,t ) où l’impédance
caractéristique Z c est une constante qu’on exprimera en fonction de Lind et C ap .
La ligne, située dans l’espace x0, s’étend jusqu’en x=0 où elle est fermée sur une
résistance R. On alimente la ligne par une tension par tension sinusoïdale de pulsation
 L’onde de courant s’écrit alors sous la forme :
i( x ,t )  ( Ae
j

x
V
 Be
j

x
V
)e jt
 Justifier cette écriture en notation complexe.
~
 Exprimer l’impédance Z ( x ,t ) 
u( x ,t )
de cette ligne. On fera apparaître Z c
i( x ,t )
dans l’expression de Z(x).
Solutions :
 L’équation de propagation :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :



U 0
i0

 i

  x   C ap
 u

  L ind
 x
u
t
i
t
Dr Fouad BOUKLI HACENE
197
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des
ondes de courant et de tensions comme suit :






 2i
x 2
 2u
x 2

 Lind C ap

 Lind C ap
 2i
t 2
 2u
t 2
La célérité de l’onde est la même et est égale à :
V
1

Lind C ap
 L’impédance caractéristique Z c :
Soit l’expression :
u( x , t )  i0 Lind V cos ( t 
x
)  Lind Vi( x , t )
V
Alors l’impédance caractéristique :
Zc 
Lind

C ap
 L’onde de courant résultante dans cette ligne fermée par la résistance R est due
à la superposition d’une onde incidente qui se propage vers les x0 qui s’écrit
sous la forme :

j ( t  x )
V
ii ( x ,t )  Ae
 Et en onde réfléchie qui se propage vers les x0 sous forme :
ir ( x ,t )  Ae
j ( t 

x)
V
 Ainsi la résultante est donnée comme suit :
i( x ,t )  ( Ae
j

x
V
 Be
j

x
V
)e jt
 L’impédance complexe de la ligne :
j

x
j

x
u( x , t )
Ae V  Be V
~
~
Z ( x ,t ) 
 Z ( x ,t )  Z c


j x
j x
i( x ,t )
Ae V  Be V
Dr Fouad BOUKLI HACENE
198
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Problèmes supplémentaires
Problème 9 :
On se propose d’étudier le problème des ondes élastiques transversales dans un
barreau solide, de masse volumique, de coefficient de cisaillement G soumis à
l’une de ses extrémités à une force de cisaillement, parallèle à la section S. on
suppose que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en
Dr Fouad BOUKLI HACENE
199
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
bas sans mouvement horizontal. On appelle Uz le déplacement transversal d’une
tranche d’épaisseur
dx
à un instant donné, comme le montre la figure 24.7 :
Figure 24.7 : Ondes transversales dans un barreau
 Sachant que chaque tranche d’épaisseur
antagonistes
F ( x ) et F ( x  dx ) qui
dx
est soumise aux forces
sont tangentes aux sections et qui sont
produites par les portions du barreau qui sont situées de chaque coté du
barreau. Etablir l’équation aux dérivées partielles de l’équation d’onde.
En déduire la célérité de l’onde.
 Résoudre l’équation d’onde par la méthode de séparations des variables.
Problème 10:
Soit une chaine linéaire à un atome par maille de coté a. La position au repos du nième
atome de masse m est x  na comme le montre la figure 25.7.
Figure 25.7 : Chaine d’atomes identiques
Dr Fouad BOUKLI HACENE
200
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de
l’axe Ox est caractérisée par :

Ae j ( q x t )
On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type
1 2
kx comme le montre la figure 26.7 avec k est la constante de rappelle.
2
Figure 26.7 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques
 Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant
y n1 , y n , y n 1 les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.
 On cherchera la solution de forme :

y n  Ae j ( q xn t )
 Déterminer la relation de dispersion ( q  ) .
 Tracer le graphe ( q  ) .
 En déduire la vitesse de la phase.
 Donner l’expression de la vitesse du groupe.
 Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs
d’onde.
Problème 11:
Dans tout le problème on considère une corde vibrante homogène et sans raideur, de
masse linéique, tendue par une force de tension d’intensité F constante. la corde au
repos est horizontale et matérialisée par l’axe Ox .
Partie 1 :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
201
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
On étudie des petits mouvements transversaux d’un point M d’abscisse x de la
corde y
 f ( x , t ) au
plan Oxy . En admettant qu'un élément de corde au repos M0 reste
pendant le mouvement à la même abscisse. L'élongation d'un point d'abscisse x à
l'instant t est notée y ( x , t ) . La tangente en M à la corde fait avec l'axe Ox un angle
 ( x , t ) qui
reste petit, ce qui suppose que
y
 1
x
.
Enfin, l'action du champ de pesanteur sur le mouvement, ainsi que toute cause
d'amortissement sont négligées.
Figure 27.7 : Elément de la corde
 Équation d'onde pour un ébranlement le long de la corde
 La longueur de la corde varie très peu lorsqu'elle vibre. Montrer qu'à des termes
du second ordre en  ( x , t ) près, l'abscisse curviligne C peut être confondue avec
l'abscisse x.

 On admet que la tension F reste, en tout point, tangente à la corde.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un élément de la corde
compris entre x et x  dx .
Dr Fouad BOUKLI HACENE
202
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Montrer à l'aide des hypothèses faites que la tension

F
est de module constant,
noté F, et que l'ébranlement est régi par une équation aux dérivée partielles dont
on déterminera.
 Exprimer la célérité V en fonction de F et .
 Solution en ondes progressives de l'équation de d'Alembert :
 Introduire les grandeurs
p t
x
V
et q
t
x
V
.
En déduire la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
 Applications numériques :
 Calculer V pour une cordelette (type de Melde) en coton ou nylon de 1 gramme
par mètre tendue sur une poulie par une masse de 100g.
 Calculer V pour une corde tendu d'acier de masse volumique 
 7 . 210
3
kgm
3
,
de rayon 1mm.
Partie 2 :
A présent la corde de longueur a est fixée en ses extrémités, deux points de l'axe Ox
d'abscisse x=0 et x=a.
 On cherche des solutions de l'équation (1) sous la forme de variables séparées :
y( x ,t )  f ( x ) g ( t )
 Montrer que f et g doivent être des fonctions sinusoïdales.
 En notant ω la pulsation de g ( t ) . Quelle est la relation de dispersion
k(  )
?
 En utilisant les conditions aux limites, Montrer que les fréquences propres
sont multiples d’une fréquence fondamentale
f 1 ( f n  nf 1 avec
n N

fn
).
En déduire la longueur d’onde  n .
 Montrer que l'expression de la solution générale y n ( x , t ) s’écrit sous la forme :
y T ( x ,t ) 

  C
n1

n
cos
n  ft
n  ft 
n
 D n sin
sin
x

a
a 
a
Applications numériques :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
203
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Pour une corde de longueur a, oscillant à la fréquence f, donner la
tension
à appliquer pour obtenir le seul mode n.
Fn
 En déduire f pour n=1, (la fréquence fondamentale), F 1
  5 . 6510
3
kg .m  1
 2930 N
,
et a=1.22m.
Partie 3 :
 Corde de piano
A l’instant t=0, la corde est immobile dans la position d’équilibre y ( x ,0 ) . Elle est
frappée avec un petit marteau de largeur e (avec e
abscisses x 
d
x  d e
et
 1 )
situé entre les
, qui communique par le choc une impulsion initiale à
la partie frappée. Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l'instant
t=0 est modélisée par une « fonction créneau » comme suit.
y
( x ,0 )  u
t
y
( x ,0 )  0
t
 Déterminer les coefficients
d  x  d e
pour
pour
C n et D n
ailleurs
.
 Trouver une application musicale du fait que les coefficients dépendent de d.
Que faut-il faire pour supprimer un harmonique, en particulier celui
correspondant à n=7?
 Dans le cas d

a
.
2
Quelles sont les harmoniques présentes ?
 Corde de clavecin, de guitare ou de harpe
La même corde est pincée et lâchée au temps t=0 de telle sorte que sa vitesse initiale
soit nulle. L’endroit x=d où a lieu le pincement joue le même rôle vis à vis des
harmoniques que celui de la frappe. En conséquence, et afin de limiter les calculs,
nous nous limitons à un pincement en x

a
2
si bien que la position initiale de la corde
est définie par la « fonction triangle » comme suit :
2h
a
pour
0  x 
2h
(a  x)
a
pour
a
 x  a
2
y ( x ,0 ) 
y ( x ,0 ) 
a
2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
204
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Déterminer les coefficients
C n et D n
.
 Comparer les spectres d'une corde à piano et d'une corde à clavecin et apprécier
la différence de timbre sonore.
 Pour une corde de guitare ou de harpe, le pincement peut être effectué
délicatement avec un doigt de telle sorte que la position initiale soit définie par
la « fonction parabole » comme suit:
y( x ,0 ) 
2h
a2
x( a  x )
 Déterminer les coefficients C n et D n
 Reprendre les calculs dans ce cas et conclure.
 Oscillations entretenues: Expliquer ce qui se passe si, l'extrémité x=a étant
fixée, on place en x=0 un vibreur de très faible amplitude de telle sorte
que y( 0 , t )  A cos t .
 Réflexion et transmission sur discontinuité :
Une corde très longue est composée de deux tronçons de masses linéiques  1
et  2 , la tension étant toujours F, le nœud en x=0 est sans masse.
Figure 28.7 : Phénomène de transmission et de réflexion
Dr Fouad BOUKLI HACENE
205
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
Du coté x<0 arrive un ébranlement d’une onde incidente de la forme :
yi ( x,t )  f ( t 
x
) où
V1
f est une fonction quelconque.
 Montrer qu'en plus de l'onde incidente, il existe une onde réfléchie
y r ( x , t ) du
coté x<0 et une onde transmise du coté y t ( x , t ) .
 En utilisant les deux conditions de continuités, exprimer les deux
expressions qui déterminent respectivement les coefficients de réflexion.
Problème 12:
On considère un mouvement transversal de la corde, supposée semi infinie, de masse
linéique, soumise à une tension F et terminée en x=0 par le système composé par une
masse m, d’un ressort de constante de raideur k et d’un amortisseur de coefficient de
viscosité  comme le montre la figure 29.7.
Figure 29.7 : Mouvement sinusoïdal d’une corde semi infinie
Une onde incidente sinusoïdale
yi ( x,t )
d’amplitude A et de pulsation ω se propageant
à partir de x<0. En équilibre la corde est horizontale et la masse m se trouve en O.
 Etablir l’équation de l’onde.
 En déduire l’expression du déplacement de particule de l’onde incidente y i ( x , t ) .
Dr Fouad BOUKLI HACENE
206
Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides
 Donner les expressions de l’impédance caractéristique
Z c de
la corde et de la
célérité de l’onde.
 En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à la masse m, Etablir
l’expression de l’impédance mécanique terminale de la corde.
 Déterminer la relation du coefficient de réflexion R, pour le déplacement de
particules à l’extrémité de la corde.
 Exprimer l’expression du déplacement totale de particules dans la corde.
Problème 12:
On considère un mouvement transversal y( x , t ) , de pulsation ω et de vecteur d’onde k
se propageant suivant la direction Ox . Soit une corde tendue étant fixée aux extrémités
de longueur L, de masse linéique, sous une tension F, est parcourue par deux ondes :
y 1 ( x , t )  A cos( t  kx   1 )
et
y 2 ( x , t )  A cos( t  kx   2 )
 Décrivez le phénomène résultant dans le milieu.
 Etablir l’expression de la solution totale.

Déterminer sur la corde les points qui sont immobiles.
 Exprimer dans ce cas, la distance d entre deux points successifs en fonction de
la longueur d’onde.
 Montrer que les fréquences propres
fondamentale
f 1 qu’on
fn
sont multiples d’une fréquence
déterminera.
 Sur le violon, la note mi de fréquence fondamentale f=660 Hz est obtenue en
faisant vibrer une corde de longueur L=33cm et de masse linéique
=5.410-4Kg/m. Dans ce cas calculer la tension de la corde.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
206
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Chapitre 8 :
Propagation d’onde mécanique
dans les fluides
Dr Fouad BOUKLI HACENE
207
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Rappels théoriques
Dans un milieu continu, la variation d’une grandeur en un point entraine sa
modification un peu plus loin un peu plus tard, par un phénomène de propagation.
Dans u tuyau, une compression locale a tendance à se propager : ce sont les ondes
acoustiques comme la montre la figure 1.8:
Figure 1.8: Exemple d’onde de compression dans un tuyau rempli d’air

On définit alors, les Ondes élastiques dans les fluides comme des ondes
mécaniques qui se propagent dans les gaz ou dans les liquides.
 On suppose que les fluides soient parfaits, il n’y aura pas d’absorption.
 L’onde élastique dans l’air est due à la propagation de la variation de pression,
c'est-à-dire par la compression et dilatation de l’air comme le montre les figures
2.8 et 3.8:
Dr Fouad BOUKLI HACENE
208
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Figure2.8 : Propagation d’onde élastique plane dans l’air
Figure 3.8 : Propagation d’onde élastique sinusoïdale plane dans l’air
 On définit la pression acoustique :
p=P-P0
P:
Pression absolue du fluide
P0 :
Pression absolue au repos
0 :
Masse volumique du fluide à l’équilibre
 Dans un gaz, la pression est souvent de l’ordre de la pression atmosphérique,
P  10 5 Pa
Dr Fouad BOUKLI HACENE
209
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Une vibration mécanique est véhiculée par une surpression locale
p( x ,t ) ,
telle que :
p   P .
Sachant que les mouvements aux fréquences sonores sont trop rapides
pour qu’il y ait des échanges thermiques, les variations de pression sont donc
adiabatiques et l’évolution d’un volume V est reliée à celle de la pression
comme suit :
dP
dV

0
P
V
Où
 
cp
cv
est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à
volume constant.
 On obtient la relation suivante :
PV

 Cte
 Mise en équation :
 Beaucoup de problèmes de bruit industriel sont liés à la propagation d’ondes
sonores dans des conduites et des tuyaux. Cette propagation est conditionnée
par la longueur d’onde acoustique  telle que :
 
:
D
c:
f
:
c
 D
f
Diamètre de la conduite sonore
Célérité du son dans l’air qui est égale à 344m/s à 20°c
Fréquence de l’onde
 Soit une membrane vibrante émise une onde plane progressive dans un fluide
uniforme, de masse volumique  et de pression P0 à l’équilibre. Cette onde se
propage dans la direction x positif.
 Le phénomène de propagation des ondes sonores dans le fluide est du
principalement par une succession de compressions et de détentes des tranches
de fluide voisines.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
210
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
 On considère une tranche de fluide d’épaisseur
Soient les pressions
P( x ) et P( x  dx ) agissant
dx
située aux abscisses x et dx .
sur les plans x et dx respectivement
qui génèrent le mouvement de la tranche comme le montre la figure 4.8.
 Soient
U( x )
et
U ( x  dx ) les
déplacements à l’instant t des plans d’abscisse x et
x  dx respectivement.
Figure 4.8: Propagation d’onde acoustique dans un fluide
 En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
dm
Où
et
F ( x ) et F ( x  dx ) sont
 2U
t 2
 F ( x  dx )  F ( x )
des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x
x  dx respectivement.
La résultante des forces s’écrit :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
211
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
F ( x  dx )  F ( x )   S  P ( x  dx )  P ( x ) 
L’équation du mouvement s’écrit alors :
 2U
dm
  S P ( x  dx )  P ( x ) 
t 2
Avec :
P ( x  dx )  P ( x )  
dp 
p
dx
x
D’où :
dm
 2U
t
2
 S
p
dx
x
 On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :
1 U
 x
p  
Où

est appelé le coefficient de compressibilité.
 En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
 Sdx
 2U
t
2
 S

1 U
(
)dx
x
 x
D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit:
 2U
t 2
Avec
V
1

1  2U
  x 2


 2U
t 2
V
2
 2U
x 2
est appelée la célérité de l’onde sonore dans le fluide.
 La solution de l’équation de l’onde est de forme sinusoïdale :
p ( x , t )  A cos(  t 

x)
V
 On définit l’impédance acoustique en un point, le rapport de l’amplitude
complexe de la pression
particule
U ( x , t ) comme
p( x ,t )
à l’amplitude complexe de la vitesse de
suit :
Z ( x ,t ) 
 On définit le produit
 0V
p( x ,t )
U ( x , t )
par l’impédance caractéristique du fluide.
 Réflexion et transmission :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
212
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
 Lors du passage de l’onde acoustique incidente du fluide 1 vers le fluide 2, il
existe à l’interface de séparation, une onde transmise vers le milieu 2 dans le
sens des x>0 et une onde réfléchie dans le sens des x<0 vers le milieu 1.
Figure 5.8: Interface fluide-fluide
 Les types d’ondes acoustiques se présentent comme suit :
 p i ( x ,t )  p 0 i e j (  t  k1 x )

j (  t  k1 x )
 p r ( x ,t )  p 0 r e
 p ( x ,t )  p e j (  t  k1 x )
0t
 t
onde
onde
incidente
réfléchie
onde
transmise
 Les relations de continuités à l’interface sont :
 p 1 ( 0 ,t )  p 2 ( 0 ,t )
 

U 1 ( 0 , t )  U 2 ( 0 , t )
On en déduit les équations de continuités à l’interface en fonctions des
caractéristiques :
pi  p r  pt

 1
1

( pi  p r ) 
pt
 Z 1
Z2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
213
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Applications
Problème 1:
Une conduite cylindrique de section S et d’axe horizontal Ox contient un gaz au repos,
de pression P0 , de masse volumique  0 et de coefficient de compressibilité  s . Une
onde acoustique plane se propageant dans ce fluide. On considère s( x ,t ) le
déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse x au repos sous l’action de la
pression P( x , t ) et s( x  dx , t ) le déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse
x  dx
au repos sous l’action de la pression P( x  dx , t ) comme le montre la figure 4.8.
On négligera les échanges thermiques de chaleur.
Figure 6.8 : Mouvement acoustique dans la tranche de fluide
Pour des petites oscillations :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
214
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
 Etablir l’équation de propagation relative au déplacement s( x ,t ) à partir de
l’équation fondamentale de la dynamique.
 Calculer la célérité V de l’onde acoustique dans l’air caractérisé par :
 s  7.15.10 6 Pa 1 et   1.29kg .m 3
 Introduire les grandeurs suivantes :
q1  t 
x
V
et q 2
t
x
V
.
 Déterminer la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
 En déduire la solution de l’onde progressive sinusoïdale.
Solutions :
 En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
dm
Où
et
F ( x ) et F ( x  dx ) sont
x  dx respectivement,
 2U
t 2
 F ( x  dx )  F ( x )
des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x
comme le montre la figure 5.8.
Les forces appliquées aux plans s’écrivent :
F ( x  dx )  F ( x )   S  P ( x  dx )  P ( x ) 
L’équation du mouvement s’écrit alors :
dm
 2U
t 2
  S P ( x  dx )  P ( x ) 
Avec :
P ( x  dx )  P ( x )  
dp 
p
dx
x
D’où :
dm
 2U
t
2
 S
p
dx
x
Dr Fouad BOUKLI HACENE
215
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Figure 7.8 : Mouvement de la tranche de fluide
 On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :
p  
Où

1 U
 x
est appelé le coefficient de compressibilité.
 En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
 Sdx
 2U
t
2
 S

1 U
(
)dx
x
 x
 D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit sous la
forme :
 2U
t 2

1  2U
  x 2

 2U
t 2
V
2
 2U
x 2
 La célérité de l’onde sonore dans le fluide s’écrit :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
216
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
V
1

Application numérique :
V
1
1

 3037 m / s

7.1510 6 1.29
 La solution générale de l’onde acoustique est de la forme :
U ( t , x )  F( t 
x
x
)  G( t  )
V
V
On définit les fonctions comme suit :
x
)  Onde incidente
V
x
G( t  )  Onde réfléchie
V
F( t 
 L’onde progressive sinusoïdale s’écrit alors :
U ( x , t )  A cos( t  kx )
Problème 2:
Une membrane d’un cylindre de section S émis une onde acoustique de pression p se
propageant dans un fluide de masse volumique 0 suivant l’axe Ox . A l’équilibre la
pression du fluide est égale à P0 . On définit k le module du vecteur d’onde.
 Ecrire l’équation de propagation de la pression acoustique
p( x ,t )
 En déduire en notation complexe, l’onde de pression progressive sinusoïdale.
 On définit la pression acoustique au plan x comme suit :
p( x ,t )  
Où

1 U ( x ,t )

x
est le coefficient de compressibilité du fluide.
En déduire l’allongement U ( x , t ) .
 Déterminer l’impédance acoustique au plan x définit comme suit :
Z ( x ,t ) 
p( x ,t )
U ( x , t )
En déduire l’impédance acoustique caractéristique du fluide Z c .
Solutions :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
217
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
 L’équation de propagation de l’onde est égale à :
2 p
t
2

1 2 p
  x 2
2 p

t
V
2
2
2 p
x 2
 La solution de l’onde progressive sinusoïdale s’écrit en notation complexe sous
la forme :
p( x , t )  p0 e
 L’allongement
U ( x ) est
1 

j  ( t  x )
V 

égal :

U ( x , t )    p( x , t )dx
En remplaçant
p( x ,t )
par sa valeur, on obtient:

U ( x , t )    p0 e
1 

j  ( t  x )
V 

dx


1

j  ( t  x )
p0
V 
U ( x ,t ) 
e 
j 0V
 L’impédance acoustique au plan x s’écrit :
Z ( x ,t ) 
p ( x ,t )
U ( x , t )
avec
p0
 U ( x ,t )
U ( x , t ) 

e
t
 0V
1


j  ( t  x )
V


D’où :
Z ( x ,t )   0V
L’impédance caractéristique est égale à :
Z c   0V
Problème 3:
Soit une onde acoustique progressive sinusoïdale de forme
déplaçant dans un fluide de masse volumique
0
U ( x , t )  U 0 cos(  t  kx ) se
de coefficient de compressibilité  .
Un petit élément du fluide de volume v0, se comprime et se dilate sous l’action de la
surpression p comme le montre la figure 7.8
Dr Fouad BOUKLI HACENE
218
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Figure 7.8: Flux d’énergie d’onde acoustique
 Déterminer la densité d’énergie cinétique et la densité d’énergie potentielle
 En déduire la densité d’énergie totale moyenne en régime sinusoïdal.
 Calculer l’intensité de l’onde acoustique par unité de temps qui traverse une
surface perpendiculaire à la direction de propagation.
 On définit le niveau sonore en décibel comme suit :
N db  10 log
I
I0
Déterminer l’intensité, l’amplitude de la pression p0 et la vitesse de la particule.
 Application numérique :
Pour les niveaux 0 dB et 130 dB, V= 330m/s,
I0=10-2W/m2, f=1kHZ et Z c
 411 SI
. Calculer l’intensité I, l’amplitude p0.
Solutions :
Soit un petit élément de volume v0. Sous l’action de la surpression p, cet
élément se comprime ou se dilate et se déplace par u ( t , x ) :
 L’énergie cinétique s’écrit :
Ec 
1
 0 v 0 u 2
2
On déduit la densité d’énergie cinétique :

c

1
 0 u 2
2
Dr Fouad BOUKLI HACENE
219
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
L’énergie potentielle s’écrit:
  pdv
Ep 
avec
p  
v  v0
v0
On en déduit :
Ep 
v0

p


pdp
Ep 
0
v0 p 2
2
Par conséquent, la densité d’énergie potentielle s’écrit alors :
p 
p2
2
 La densité d’énergie totale est égale :
T  p  c
 T 
p2 1
  0 u 2
2 2
En régime sinusoïdal la densité d’énergie totale s’écrit sous la forme :
T 
1
 0V 2
p0 cos 2 ( t  kx )
D’ou la densité d’énergie totale moyenne est égale à:
T 
T
1
 0V T
2

p0 cos 2 ( t  kx )dt
1
 T 
2  0V
0
2
p02
 L’intensité de l’onde :
On calcule tout d’abord l’énergie qui traverse pendant un intervalle de temps
dt
une surface S perpendiculaire à la direction de propagation
dE   T SVdt
 P
dE
  T SV
dt
Avec P est la puissance traversant cette surface.
D’où l’intensité de l’onde acoustique I s’écrit alors :
I( t ) 
P
S
 I( t ) 
1
 0V
P02 cos 2 ( t  kx )
On en déduit l’intensité moyenne de l’onde acoustique comme suit :
I(t ) 
1
 0V T
T

p02 cos 2 ( t  kx )dt
 I
0
On définit l’impédance caractéristique :
1
2  0V
p02
Z c   0V
Dr Fouad BOUKLI HACENE
220
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Alors :
1
p02
2Z c
I
 On déduit à partir du niveau sonore
L’intensité:
I  I 0 10 0.1 N db
L’amplitude de la pression :
p0  2 Z c I
La vitesse de la particule :
p
U  0
ZC
La position :
U
U
2f
 Application numérique :
N dB
I(W / m 2 )
0 dB
10-12
130 dB
10
U ( m / s )
u( m )
2.9 10-5
7 10-8
1.1 10-11
91
0.22
3.5 10-5
p0 ( Pa )
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221
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
Problèmes supplémentaires
Problème 4:
On considère un tuyau de section circulaire et d’axe
Ox
rempli d’un fluide, voir la
figure 6.8.
Figure 8.8 : Tube de rayon r0 et de section S0
0
Au repos le fluide a une masse volumique
P0
et une pression inférieure
identique à la pression extérieure qui est constante. A l’équilibre, on suppose que le
champ des vitesses est nul et que la section du noyau est uniforme et notée S 0 .
On s’intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites amplitudes
suivant l’axe
Ox
dans le cadre linéaire.
On donne les relations suivantes :


v ( x , t )  v ( x , t )u 0
P ( x , t )  P0  p ( x , t )
 ( x ,t )   0   1 ( x ,t )
Ou

u0
est le vecteur unitaire selon la direction Ox .
acoustique, et
p ( x , t ) est
v ( x , t ) est
appelé la vitesse
la surpression par rapport à P0 . Le fluide étant supposé
parfait. On considère que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tube et que
le coefficient de compressibilité  s du fluide considéré constant donnée par la relation:
s 
1 
(
)s
 P
On se place dans un tube rigide où la section du tube ne dépend pas de la surpression.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
222
Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides
 Ecrire l’équation de propagation d’Euler et en déduire une équation
différentielle entre la vitesse acoustique
v ( x , t ) et
la surpression p ( x , t ) .
 Ecrire l’équation générale de conservation de la masse.
 En déduire l’équation différentielle suivante :
  ( x ,t )
 u ( x ,t )
 0
t
x
 Etablir l’équation de propagation de la surpression et de la vitesse u( x ,t ) . En
déduire l’expression de la célérité C de l’onde sonore en fonction de

et de
0
 Application numérique :
Calculer C de l’eau de mer pour :
  5.210 10 Pa 1 et
de
 0  1050 Kgm 3
Dr Fouad BOUKLI HACENE
REFERENCES
 [1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 27298-8751-2, 1987.
 [2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,
Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.
 [3] H. LUMBROS0, « Ondes Mécaniques et Sonores », Edition
DUNOD, ISBN 2-10-00468-8, 2000
 [4] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la
technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.
 [5] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition
MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.
 [6] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition
CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.
 [7] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition
PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES
ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.
 [8] R. GABILLARD, « Vibrations
propagation », Edition DUNOD, 1972.
et
Phénomène
de
 [9] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes
vibratoires », Edition DUNOD, 1973.
 [10] L. LANDEAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition
MIR MOSCOU, 1966.
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des
filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs
d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes
mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et
techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de
vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Mr Fouad BOUKLI HACENE est titulaire d’un doctorat en
Science Génie mécanique obtenu à l’université de sciences et
technologie Mohamed BOUDIAF USTO d’Oran. Il est maitre de
conférences au département de physique de la faculté des
sciences à l’université Hassiba BENBOUALI de Chlef. Il est
auteur de plusieurs travaux scientifiques