Transcript DIFFUSION DE PARTICULES - Physique PSI Moreggia Sylvain

PSI 13/14
Lycée CONDORCET Belfort
ONDES UNIDIMENSIONNELLES – D’ALEMBERT – EXERCICES
1. Ondes dans un câble coaxial (CCP PSI2 2011) :
III]Propagation et réflexion des ondes dans le câble coaxial :
La gaine est maintenant reliée à la masse (V 2=0), et l’âme, portée au potentiel V1(z,t)=V(z,t), est
parcourue par un courant i(z,t). On adopte le modèle bifilaire local de la portion de câble coaxial de longueur
dz de la figure 2 où L et C désignent respectivement l’inductance linéique et la capacité linéique du câble
coaxial.
25)A quelle(s) condition(s) sur les matériaux peut-on modéliser ainsi la portion de câble coaxial ?
A]Equation de propagation :
26)Explicitez le système d’équations aux dérivées partielles vérifié par les fonctions V(z,t) et i(z,t).
27)En déduire les deux équations aux dérivées partielles, découplées, vérifiées par la fonction V(z,t)
d’une part, puis par la fonction i(z,t) d’autre part. Quelle est la forme la plus générale de la fonction V(z,t) ?
B]Phénomène de réflexion en bout de câble :
On s’intéresse au cas d’ondes sinusoïdales de pulsation .
On posera V(z,t)=Vi(z,t)+Vr(z,t).
Avec Vi(z,t)=Vim.cos(t-kz+)
et
Vr(z,t)=Vrm.cos(t+kz+).
A ces ondes réelles, on associe les ondes complexes V(z,t)=Vi(z,t)+Vr(z,t) avec :
Vi(z,t)=Vim.ej(t-kz)
et
Vr(z,t)=Vrm.ej(t+kz) où
Vim=Vim.ej et Vrm=Vrm.ej
Le câble est relié à générateur basses fréquences, qui délivre en z=0, une tension sinusoïdale, de sorte que
l’onde totale en z=0 est sinusoïdale. Le choix de l’origine des temps nous permet de poser :
V(0,t)=Vo.cos(t), à laquelle on associe la forme complexe V(à,t)=Vo.ejt.
28)Le câble est en court-circuit, ou refermé sur une résistance nulle (R=0) à l’extrémité située en z=
Expliciter la condition limite
vérifiée par la fonction V(z,t) en z= .
En déduire le système de deux équations à deux inconnues vérifié par Vim et Vrm.
Puis exprimer Vim et Vrm en fonction de Vo, k et .
29)On définit le coefficient de réflexion r par :
.
Déterminer r dans le cas du court-circuit (R=0).
30)Le câble est en circuit ouvert, ou refermé par une résistance infinie (
extrémité située en z= .
Expliciter, très brièvement, sur une grandeur physique bien appropriée, la condition limite en z= .
On admettra dans ce cas que r =1.
1
à son
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31)Le câble est maintenant chargé à son extrémité en z= , par une résistance R. En admettant que le
coefficient de réflexion r est réel, justifier qu’il existe au moins une valeur critique de R notée R c pour
laquelle il n’y a pas d’onde réfléchie. Comment qualifie-t-on ce fonctionnement ?
Dans la suite du problème, on admettra que
.
2. Ondes élastiques dans un réseau cristallin unidimensionnel :
On considère la chaîne linéaire illimitée représentée sur la figure , composée d'atomes identiques de masse
m. A l'équilibre les atomes, disposés suivant un axe Ox, sont équidistants; l'atome de rang n a pour abscisse
xn = na. Les déplacements des atomes, petits, sont désignés, en valeur algébrique et pour l'atome de rang n.
par un  unex . avec un << a.
On admet que chaque atome n'interagit qu'avec ses deux plus proches voisins auxquels il est lié
élastiquement: il est soumis de la part de ces atomes à une force de rappel proportionnelle aux variations de
longueur des liaisons correspondantes. On désigne par  la constante de proportionnalité ( > O).
a) Ecrire l'équation du mouvement de l'atome de rang n. liant un aux déplacements un l et un+1 de ses
voisins.
b) On cherche des solutions de cette équation correspondant, quand elles existent, à des ondes mécaniques
longitudinales de pulsation  caractérisées par:
un  Um exp i( kxn  t ) avec k réel
Déterminer en fonction de k les valeurs possibles de la pulsation  des ondes susceptibles de se propager
sur la chaîne. Montrer qu'il existe une valeur maximale,  de  et calculer la fréquence correspondante f.
a)
Indiquer la parité de k) et préciser à quoi correspond le changement de k en - k.
b)
Montrer que le changement de k en k + 2/a conduit à une même position instantanée des atomes de
la chaîne; en déduire l'intervalle minimal des variations de k qui donne l'ensemble de toutes les ondes
possibles. Tracer, dans cet intervalle, le graphe(k).
c)
Ecrire la relation (k) pour les mouvements qui correspondent aux faibles valeurs de k (ka << ) .
d)
Représenter l'état de vibration de la chaîne pour les faibles valeurs de k en portant en ordonnée les
déplacements un des atomes et en abscisse leurs positions xn (bien que les mouvements soient
longitudinaux).
e)
Déterminer pour la fréquence limite f le mouvement des atomes de la chaîne et représenter l'état de
vibration correspondant. Comment peut-on qualifier le type d'onde ainsi obtenu ?
3. Corde libre à une extrémité :
On considère une corde de tension T0 et de masse linéique  fixée à son extrémité x = 0 à un anneau sans
masse coulissant sans frottement sur une tige verticale.
Une onde progressive harmonique de pulsation  arrive dans le sens des x croissants.
a) Donner l'expression générale de l'élongation y(x,t) de la corde pour cette onde.
b) Quelle est l'expression générale de l'élongation pour l'onde réfléchie ?
c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'anneau, montrer que la condition aux limites
s'écrit Ty(0,t) = 0.
d) Quelle est l'expression de l'onde résultante ?
e) La corde est fixée en x = - L. Quels sont les modes propres d 'oscillation ?
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4. Analyse harmonique d'une corde pincée :
y(x,t0)
On considère une corde de longueur L, fixée à ses deux extrémités.
a) Ecrire la solution générale y(x, t) sous forme d'une série de cosinus
et de sinus de coefficients An et Bn.
En déduire l'expression des séries y(x, 0) et (y/t) (x, 0).
h
O
l
b) Déterminer l’expression, à partir de cette série, des coefficients An (cf. méthode ci-dessous)
L
x
c) Idem pour les coefficients Bn.
d) La corde est pincée et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Le profil de la corde à t = 0 est donné ci-contre.
Calculer An et Bn.
e) On constate en pratique que l’harmonique de rang 7 est dissonant. Ou faut-il pincer la corde pour l’éliminer ?
Aides mathématiques :
Calcul coefficient de Fourier, d’une fonction
On donne :

l
0
de période , de pulsation
:
L3
L xL
x
x
x
l
. sin(n )dx  
. sin(n ).dx  2 2
sin( n )
l l L
l
L
L
L
 n ( L  l )l
5. Réflexion et transmission sur une discontinuité :
On considère une corde très longue, composée de deux tronçons, l’un de masse linéïque 1, l’autre de masse
linéique µ2, reliés en x = 0.
La corde est tendue par une force de module T.
Une onde incidente yi ( x, t ) = f( t – x / c1 ) arrive du côté x < 0.
On observe l’existence d’une onde réfléchie et d’une onde transmise en x = 0.
a) Ecrire leurs expressions générales à l’aide des coefficients de réflexion  et de transmission  en x = 0,
définis par  = yr ( 0, t ) / yi ( 0, t ) et  = yt ( 0, t ) / yi ( 0, t ).
b) Quelles sont les conditions de continuité en x = 0 ?
c) En déduire les expressions de  et  en fonction de µ1 et µ2.
d) Examiner quelques cas limites.
Réponses :  = ( µ1 - µ2)/ (µ1+µ2) ;  = 1+.
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