Transcript Ondes stationnaires - Interférences a) pi (z, t) = P0 cos(ω(t

Ondes stationnaires - Interférences
Correction TD n°4 –
– Sup PTSI 2
Exercice n°1 / Tubes à ondes stationnaires
a) pi (z, t) = P0 cos((t - )). On définit k = , pi (z, t) = P0 cos(t - kz))
b) pr (z, t) = P1 cos((t + )+ )) = P1 cos(t + kz + )) l’onde se propage dans le sens des z négatifs.
c) La surface réfléchissante en z = 0 est supposée être un ventre de vibration, ainsi quel que soit t elle est toujours
au sommet de la sinusoïde donc la dérivée de p avec z est nulle (pente horizontale)
p (z, t) = pi (z, t) + pr (z, t) = P0 cos(t - kz)) + P1 cos(t + kz + ))
= 0 = k P0 sin(t) - P1 sin(t + )) ce qui doit être valable quel que soit t, donc P0 = P1 et  = 0.
d) p (z, t) = P0 [cos(t - kz) + cos(t + kz )] = 2 P0 sin(t) . sin(kz)
Les variables t et z sont séparées on obtient donc une onde stationnaire.
La représenter à différents instants.
e) La distance entre deux nœuds ou entre deux ventres vaut une demi longueur d’onde, il suffit à l’aide d’un
micro monté sur une règle de repérer la position des ventres ou des nœuds.
Exercice n° 2 / Notes sur une corde de guitare
a) Sur la corde ne reste que les ondes stationnaires telles que la longueur d’onde vaut
avec n un nombre entier.
Ainsi le fondamental correspond à L = .Si c’est le Do3 f = 262 Hz et f = donc c = 2 f L = 336 m.s-1.
b) L’harmonique fn = n f.
n = 2 : f2 = 564 Hz = Do4 (un octave au-dessus)
n = 3 : f3 =
f = 2 ( f)
( f) = 393 Hz = Sol3
donc f3 = Sol4
n = 4 : f4 = 2 x 2 x f = Do5
n = 5 : f5 =
f = 4 ( f)
( f) = 328 Hz = Mi3
donc f5 = Mi5
n = 6 : f6 =
f = 4 ( f)
( f) = 393 Hz = Sol3
donc f6 = Sol5
n = 7 : f7 =
f = 4 ( f)
( f) = 458 Hz
donc f7 correspond à une note entre La5 et La5#
c) L’accord Do, Mi, Sol (quinte majeure) est harmonieux. On garde les harmoniques qui sont des Do, Mi ou sol
peu importe l’octave, par conséquent l’harmonique n = 7 est dissonante il faut l’éliminer. Pour cela il vaut mieux
gratter la corde de la guitare là où il y a un nœud de cette harmonique, par exemple à L / 7.
Exercice n°3 / Corde excitée par un vibreur
a) y (x = 0, t) = z(t) = z0 sin(t) et y (x = L, t) = 0
La vibration est de la forme y(x, t) = A sin(t + ) sin(kx + ),
k =  / c et « c » est la vitesse de propagation de l’onde.
b) Les variables t et x sont séparées c’est une onde stationnaire.
c) y(0, t) = A sin(t + ) sin() = z0 sin(t) donc  = 0 et A sin() = z0
y(x, t) = A sin(t) sin(kL + ) = 0 donc kL +  = 0 [
y(x, t) =-
sin(t) sin(kx - kL) =
sin(t) sin(k(L – x))
d) L’amplitude de la vibration devient très grande pour sin(kL) = 0 soit kL = n
k = . On retrouve des modes propres de vibration : Y0 sin( t) sin( x))
e) On néglige les phénomènes dissipatifs, l’énergie fournie par le vibreur s’accumule sur la corde ainsi
l’amplitude diverge. Dans l’expérience vue en cours et en TP les phénomènes dissipant de l’énergie sont
significatif, on ne trouve une amplitude observable que pour les modes propres mais elle reste finie.
Exercice n°4 / Onde de marée
Le phénomène de marée correspond à une onde qui se propage et se réfléchit de différentes manière sur les
côtes. Ainsi plusieurs ondes de même fréquence (synchrones) interférent. Ces points correspondent à des
interférences destructives.
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Exercice n°5 / Cuve à onde
a) Sur la bissectrice du segment [E1, E2] de  = 0 et p = 0.
Si les vibrations sont émises en phase, sur cette bissectrice on observe des interférences constructives.
b) Sur la droite (E1E2) joignant les points sources, à l’extérieur du segment [E1, E2] et au-delà de E2. :  = a .
On observe des interférences constructives si  = p donc p =
c) Si l’on décrit un demi-cercle depuis un point sur la droite E1E2 à gauche de E1, jusqu’à un point sur la droite
E1E2 à droite de E2. On passe de l’ordre d’interférence - à . Comme on passe par p = 0 sur la bissectrice, cela
représente 1 + 2 interférences constructives.
Pour = 8 mm et a = 4 cm cela fait 11 franges. En réalité celle proche de la droite E1E2 sont peu ou pas visible,
donc on en perçoit moins.
Exercice n°6 / Radar routier
a) Si le véhicule est immobile à la distance d du radar, l’onde reçue et l’onde émise on la même fréquence.
Leur déphasage au niveau de l’émetteur correspond au retard due à l’aller-retour soit t =
-
.  = -t = -

=

L’onde résultante dans l’espace séparant le radar de la cible est la superposition de l’onde incidente et de l’onde
réfléchie, on va donc observer une onde de type onde stationnaire. L’amplitude de l’onde réfléchie est surement
plus faible donc il n’y a pas d’extinction mais seulement des minimas.
b) Le véhicule se déplace à vitesse constante V, en s’éloignant de l’émetteur.

La distance que doit parcourir l’onde à l’instant t est 2 (d0 + Vt) et donc  = Ainsi l’onde reçue est de la forme :
sr(t) = Sm cos(t + ) = Sm cos(2ft -

L’onde réfléchie a une fréquence fr = f(1-
) = Sm cos(2f(1 -
)t -

)
) qui est différente de f, il s’agit de l’effet Doppler.
c) La fréquence d’émission est de l’ordre de f = 2 1010 Hz. f = f – fr =
 5 kHz pour un véhicule à une
vitesse  130 km.h = 36 m. s
d) La fréquence de l’onde réfléchit est différente de celle de l’onde incidente, on n’observe pas d’onde
stationnaire mais un phénomène de battement. C’est la détection de ces battements dont la fréquence est f qui
permet la mesure de la vitesse.
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