OMGÅNG 1

Transcript OMGÅNG 1

TSDT15 Signaler och System
– DATORUPPGIFTER VÅREN 2013 – OMGÅNG 1 –
Mikael Olofsson, [email protected]
Efter en förlaga av Lasse Alfredsson
February 11, 2013
Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys med z-transformen och
fourier-transformen samt även inledande om frekvensselektiva filter. Uppgifterna påminner för all
del mycket om förra årets uppgifter, men de är inte exakt likadana.
Obligatoriska uppgifter
1. Låt x[n] = u[n + 5] − u[n − 2] vara insignal till ett kausalt tidsdiskret LTI-system med sysz
temfunktion H[z] z−0.6
. Systemets utsignal är y[n].
• Bestäm m.h.a. Kretslab (använd förslagsvis bl.a. firztr) utsignalens z-transform Y [z].
Bifoga en utskrift av pol-nollställediagrammet för Y [z] (genererat av pz).
• Ange ursprunget till de olika nollställena och polerna hos Y [z], dvs. var de härstammar
från.
• Bifoga en utskrift av x[n], h[n] och y[n] för ett lämpligt n-intervall (vid signalritande
används, subplot och signalmod).
• Förklara, utgående från ett faltningsresonemang, utsignalens utseende. Relatera till
faltningssummans summationsgränser för olika n-intervall.
Anm: Det exakta analytiska uttrycket för y[n] är av mindre vikt.
2. Systemfunktionen H̃[z] till ett amplitudnormerat kausalt tidsdiskret filter har nollställen i
±j och poler i 0.9e±j3π/8 och i 0.9. Använd pzchange för att skapa systemfunktionen.
Tips: Ändra gärna Coordinates till Polar i motsvarande menyval – så att aktuell pol/nollställe
skrivs i polära koordinater.
Anm: Se till att det är en z-transform och inte en laplacetransform ni justerar/skapar med
pzchange (i z-planet är alltid enhetscirkeln utritad)! Notera att pzchange alltid låter konvergensområdet relativt varje pol zk = rk e±jφk i z-planet, vara |z| > rk .
Välj “Spectrum derived from pole and zero vectors” i menyn “Spectrum vectors” och ändra
reglaget för att se hur amplitud- och faskaraktäristiken beror på pol- och nollställevektorer.
• Relatera tydligt (och någorlunda kortfattat) amplitud- och faskaraktäristikens utseende
till polernas och nollställenas lägen!
Anm: 3D-plotten av H̃[z] innanför enhetscirkeln, som ges av menyvalet “3D-plot”
(figuren genereras av Kretslabfunktionen zplane) kan också vara till hjälp för att förstå
varför amplitudkaraktäristiken “ser ut som den gör”.
• Bifoga en utskrift av pzchange-fönstret, med pol- & nollställevektorer, för något Ω0 .
Anm: Pol- och nollställevektorerna tas bort genom det andra menyvalet under “Spectrum vectors”.
1
3. Generera systemfunktionerna HA [z] och HB [z] genom att (m.h.a. pzchange) placera ut
poler och nollställen på lämpliga ställen i z-planet, så att de båda resulterande systemen
utgör amplitudnormerade, tidsdiskreta, kausala och stabila LP-filter med normerad 3 dBgränsfrekvens θ0 ≈ 0.18. HA [z] får ha godtyckligt placerade poler medan HB [z] måste ha
alla sina poler placerade i origo. I båda fallen skall/bör ni använda få poler och nollställen,
så ni inte får onödigt komplexa och oöverskådliga system!
• Redovisa erhållna systemfunktioner HA [z] och HB [z] samt motivera tydligt placeringen
av alla poler och nollställen!
• Jämför de två LP-filtrena med varandra, i termer av filterordning, dämpningsegenskaper, grupplöptid m.m. Redovisa kortfattat era slutsatser och eventuella för- och
nackdelar.
• Bifoga även utskrifter från pzchange, för båda era LP-filter, där amplitudkaraktäristiken
är ritad i dB-skala i intervallet [-10, 1] dB.
Anm: Huvudsyftet med denna deluppgift är att ni skall få en grundläggande förståelse och
känsla för hur polerna och nollställena inverkar för att forma systemets frekvens- karaktäristik – inte att hitta en optimal lösning (vad man i så fall menar med “optimal” i detta
fall. . . )!
4. Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1 beskrivs av differensekvationen
3
y[n] + y[n − 1] + y[n − 2] − y[n − 3] = x[n] + 2x[n − 2].
2
a) Tag, med hjälp av Kretslab fram systemfunktionens pol-nollställediagram och argumentera tydligt utifrån detta och den givna informationen varför systemet är instabilt.
b) Genom att återkoppla det givna systemet H1 med ett LTI-system H2 , som har impulssvar
h2 [n] = K · δ[n − 1], kan man erhålla ett totalt återkopplat stabilt system med systemfunktion H[z]. Undersök hur polernas lägen hos H[z] ändras då ni ändrar K. Använd här
Kretslabfunktionen feedb på lämpligt sätt – se funktionens hjälptext!
Tips: Generera gärna en rotort! I Kretslab ritar ni i så fall först ett pol-nollställediagram
med funktionen pz, följt av hold on. Rita sedan överlagrade pol-nollställediagram genom
att upprepade gånger anropa pzmod med en justerad systemfunktion (nytt K).
• För vilka K-värden erhålls ett stabilt system?
• Bifoga en utskrift av pol-nollställediagrammet till H[z], för ett K-värde som ger ett
stabilt återkopplat system.
• Rita antingen för hand in den rotort som erhålls då K varieras (dvs. markera den
kurva/väg längs vilken polerna flyttas) eller så kan ni, utöver det efterfrågade polnollställediagrammet, även bifoga en utskrift av ett pol-nollställediagram med den rotort som erhålls då ni gör enligt “Tips:. . . ” ovan! OBS: Det får i det senare fallet inte
vara för glest mellan de poler som hamnar nära eller innanför enhetscirkeln – rotorten
måste framgå tydligt!
2
5. I figuren nedan visas amplitudspektrumen Ha [θ] och Hb [θ] för två kaskadkopplade tidsdiskreta kausala LTI-system Ha respektive Hb .
Amplitudspektrum Ha [θ]
Magnitud
2
1.5
1
0.5
0
0
1/6
1/3
1/2
1/3
1/2
Magnitud
Normaliserad frekvens
Amplitudspektrum Hb [θ]
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1/6
Normaliserad frekvens
a) Tag med hjälp av pzchange fram systemfunktionerna Ha [z] resp. Hb [z] genom att placera
ut poler och nollställen på lämpliga ställen i z-planet. Alla eventuella poler hos Ha [z] och
alla eventuella nollställen hos Hb [z] är placerade i origo. Bifoga en utskrift av pzchangefönstret för å ena sidan Ha [z] och å andra sidan Hb [z]. Motivera tydligt ert placeringsval av
både poler och nollställen för de båda systemen!
Tips: När man justerar/skapar en transform med pzchange, finns transformen hela tiden
tillgänglig i kommandofönstret som den globala variabeln TRFM. Skriv global TRFM för att
få tillgång till variabeln – och för att t.ex. spara en kopia av transformen utan att avsluta
pzchange.
b) Bilda nu det totala kaskadkopplade systemets systemfunktion H[z] = Ha [z]Hb [z] (antingen m.h.a. Kretslabfunktionen output eller direkt i pzchange utgående från ert resultat i
deluppgift a).
• Rita upp pol-nällställediagrammet för H[z] och systemets amplitud- & faskaraktäristik
m.h.a. pzchange. Bifoga en utskrift av pzchange-fönstret.
• Betrakta amplitudkaraktäristiken H[θ] och beskriv filtrets funktion. Ange speciellt
vilken (speciell) typ av frekvensselektivt filter detta är!
3
Frivilliga Uppgifter
6. Systemet med systemfunktionen H̃[z] i uppgift 2 kaskadkopplas med ett system med systemfunktion z N . Ni skall nu studera hur några olika egenskaper hos det totala kaskadkopplade
systemet ändras då nollställe-multipliciteten stegvis ökar från N = 0 (dvs. inget nollställe i
origo) till N = 3 (dvs. 3 nollställen i origo):
a) Hur ändras det totala
systemets impulssvar htot [n], amplitudkaraktäristik Htot [θ] och
faskaraktäristik arg Htot [θ] ? Förklara sambanden tydligt!
Anm: Impulssvaret kan i pzchange erhållas från menyvalet “Signal plot”.
b) Hur ändras systemet kausalitets- och stabilitetsegenskaper? Förklara, dels utifrån egenskaper för systemfunktionen Htot [z] och dels utifrån egenskaper för impulssvaret htot [n].
Anm: Olika värden på N resulterar i olika system, som kan ha olika egenskaper.
7. Gör som i uppgift 3, men tag nu i stället fram två motsvarande HP-filter med normerad
gränsfrekvens θ0 ≈ 0.18.
• Redovisa erhållna systemfunktioner (namnge dem HC [z] respektive HD [z]) samt motivera tydligt placeringen av alla poler och nollställen!
Anm: För generella motiveringar av samma typ som uppgift 3, så hänvisar ni på
lämpligt sätt till uppgift 3 i stället för att återupprepa dem här!
• Hur “bra” blir de två filtertyperna, jämfört med de två motsvarande LP-filtertyperna?
• Bifoga samma typ av utskrifter som i uppgift 3!
8. I datafilen dator3.m finns en tidsdiskret signal s[n] i form av matlabvariabeln s. Ur signalens frekvensspektrum S[θ] kan man lätt se att signalen består av tre sinussignaler och
ett bredbandigt brus. Signaler representeras av Kretslab som vektorer med 216 = 65536 signalvärden, symmetriskt runt n = 0 (t = 0 i det tidskontinuerliga fallet). I många fall ger
detta tillräckligt bra approximationer av signaler med stor tidsutbredning. Av olika skäl
måste man vid signalanalys ibland nöja sig med ett betydligt färre antal signalvärden. Man
får då analysera en fönstrad signal, i det här fallet signalen sw [n] = s[n]w[n] (“w”=window),
med en relativt liten tidsutbredning. Läs mer om fönstring i kursboken!
a) Studera tids- och frekvensegenskaperna för olika standard-fönsterfunktioner med hjälp av
Kretslab-demonstrationen “Fönsterfunktioner” (klicka på Fönsterfunktioner i kretsdemo2)!
Fönstertyp väljs i en av menyerna. Fundera gärna på hur fouriertransformen W [θ] till en
“ideal” fönsterfunktion ser ut (dvs. då man använder en fönsterfunktion w[n] som resulterar
i sambandet Sw [θ] = S[θ]).
Vilka egenskaper önskar vi att amplitudspektrumet till en praktiskt användbar fönsterfunktion skall ha (dvs. vilket typutseende vill vi att den gärna skall ha)?
b) Skapa, med hjälp av Kretslabfunktionen window, fönstrade versioner av s[n] då w[n]
utgör ett rektangulärt fönster respektive ett Kaiser-Besselfönster! Två fönstrade signaler
skall genereras för varje fönsterfunktion – den ena då fönsterlängden är L = 256 och den
andra då fönsterlängden är L = 512. Totalt skall alltså fyra fönstrade signaler genereras:
sw,1 [n] = s[n] · wRekt,L=256 [n], sw,2 [n] = s[n] · wRekt,L=512 [n], sw,3 [n] = s[n] · wK−B,L=256 [n]
och sw,4 [n] = s[n] · wK−B,L=512 [n].
• Bifoga en utskrift av de två fönstrade signalernas amplitudspektrum och (då fönsterlängden är L = 256) samt en utskrift av de två motsvarande amplitudspektrumen och (då
L = 512). Zooma gärna in lite, för tydligare spektrum, t.ex. till intervallet .
Tips: figure(1), spect(S1,S3), subplot(2,1,1), set(gca,’xlim’,[0.1 0.25]),
subplot(2,1,2), set(gca,’xlim’,[0.1 0.25]), osv. . . (spectmod är dessvärre inte
anpassad för transformer till tidsdiskreta signaler)
4
• Kommentera resultaten av fönstringen i de olika fallen. Jämför då först Sw,1 [θ] och
Sw,3 [θ] med S[θ] och sedan Sw,2 [θ] och Sw,4 [θ] med S[θ] . Kommentera speciellt
vilka för- och nackdelar de två använda fönsterfunktionerna har och hur dessa för- och
nackdelar återspeglas i de olika amplitudspektrumens utseende.
9. Bifoga en utskrift av impulssvaren ha [n], hb [n] och h[n] i uppgift 5 (använd subplot och
signalmod). Signalerna ritas i ett lämpligt tidsintervall (skriv t.ex. set(gca,’xlim’,[-5 50])
efter varje signalmod(...) ).
a) Förklara kort utseendet på h[n], baserat på ett faltningsresonemang.
b) De två kausala LTI-system Ha och Hb hör till två olika filterklasser, som vi kommer att
studera närmare längre fram i kursen. Vilka är dessa filterklasser? Förklara utgående från
impulssvaren ha [n] och hb [n] samt utgående från systemfunktionerna Ha [z] och Hb [z].
5

OMGÅNG 1

Transcript OMGÅNG 1

Directory