Transcript Uppgifter och Lösningar

4
Fjärde lektionen
I de här uppgifterna använder vi den enkelsidiga laplacetransformen. Indirekt
antar vi därför att alla signaler och system som vi har är kausala, d.v.s. signaler
och impulssvar börjar i t = 0. Systemen antas vara linjära och tidsinvarianta.
4.1
4.1.1
Laplacetransformen
Differentialekvation och impulssvar
Uppgift
Ett system beskrivs av differentialekvationen
y 00 (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = x0 (t) + x(t)
(1)
Vad är systemets impulssvar?
Lösning
Differentialekvationen är linjär och har konstanta koefficienter: den utgör en
LTI-modell.1 Sådana ekvationer kan vi laplacetransformera till en algebraisk
ekvation eftersom derivering i tidsdomänen motsvarar multiplicering med s i
transformdomänen.
(s2 + 2s + 2)Y (s) = (s + 1)X(s)
(2)
Beskrivningen i ekvation (2) är ekvivalent med den i ekvation (1). Vi kallar H(s)
för systemets överföringsfunktion:
Y (s)
s+1
= 2
X(s)
s + 2s + 2
H(s) =
(3)
Denna överföringsfunktion är kopplad till systemets impulssvar via laplacetransformen (precis som frekvenssvaret är kopplat till impulssvaret via fouriertransformen). Den inversa laplacetransformen är ofta svår att beräkna, så vanligtvis
används transformtabeller. Det gäller att ”knöla om” ekvation (3) så att den
passar tabellen (βeta, sidorna 321-328). Vi gör en partialbråksuppdelning.
H(s)
,
=
c
a
+
s+b s+d
(a + c)s + ad + bc
(s + b)(s + d)
(4)
För att hitta a, b, c och d jämför vi nämnare respektive täljare i ekvationerna (3)
och (4). Först tar vi nämnarna.
s2 + 2s + 2
1 Systemet
=
=
⇒
ª
lös s2 + 2s + 2 = 0
(s + 1 + j)(s + 1 − j)
©
i sig kan ju vara olinjärt, men i vår modell har vi bara med det linjära beteendet.
1
b
d
=
=
1+j
1−j
(5)
Med dessa värden klara tar vi oss an täljarna.
s+1
=
(a + c)s + ad + bc
⇒
a+c = 1
c−a = 0
⇒
½
a = 1/2
c = 1/2
½
(6)
Nu har vi vår uppdelade överföringsfunktion.
µ
¶
1
1
1
+
H(s) =
2 s + (1 + j) s + (1 − j)
(7)
Med hjälp av transformparet (βeta L21, sidan 322)
1
←→ e−mt
s+m
kan vi hitta systemets impulssvar:
1
2
µ
1
1
+
s + (1 + j) s + (1 − j)
¶
←→
(8)
´
1 ³ −(1+j)t
e
+ e−(1−j)t
2
e−t cos(t)
=
(9)
Impulssvaret är oscillativt genom cosinus-faktorn, men ganska väl dämpat genom exponentialfaktorn. Impulssvaret visas i figur 1.
h(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figur 1: Impulssvar för systemet i ekvation (1).
2
10
t
4.2
4.2.1
Överföringsfunktioner och s-planet
En elmotor
Uppgift
En vanlig likspänningsmotor styrs med spänningen x(t) över ankarlindningen. Vi
mäter motoraxelns vinkel y(t). En andra ordningens modell av motorn obelastad
är differentialekvationen
k
1 0
y (t) = x(t)
(10)
τ
τ
där k > 0 och τ > 0 är motorns förstärkning respektive tidskonstant. Dessa
beror av motorns fysiska uppbyggnad (induktanser, tröghetsmoment, m.m.);
t.ex. blir τ större om motoraxeln görs tyngre och klumpigare.
y 00 (t) +
a) Ta fram elmotorns överföringsfunktion och impulssvar.
b) Rita upp elmotorns poler och nollställen i s-planet.
c) Ta fram (och tolka) frekvens- och fasgång – ett bodediagram.
d) Undersök motorns insignal-utsignalstabilitet.
Lösning
a) Liksom i uppgift 4.1.1 har vi ett linjärt system som beskrivs av en ekvation
med konstanta koefficienter. Först laplacetransformerar vi för att hitta
överföringsfunktionen H(s). Sedan gör vi en invers transformering för att
hitta impulssvaret h(t).2
H(s) =
Y (s)
1
k
=
X(s)
τ s(s + 1/τ )
Antingen gör vi här en partialbråksuppdelning enligt
µ
¶
µ
¶
b
1
k a
1
+
−
H(s) ,
=k
τ s s + 1/τ
s s + 1/τ
(11)
(12)
(detaljerna för ni reda ut själva). Till denna uppdelning kan vi använda
transformparen (βeta L18 och L21)
1
s
←→
u(t)
1
s+m
←→
e−mt
enhetssteget
(13)
Alternativt så lurar vi lite och använder transformparet (βeta L28)
e−kt − e−mt
1
←→
(s + m)(s + k)
m−k
(14)
där vi sätter k = 0 och m = 1/τ . I vilket fall som helst får vi impulssvaret
2 Man kan ju givetvis också lösa differentialekvationen (10) och på så sätt få fram systemets
impulssvar.
3
³
´
1
h(t) = k 1 − e− τ t
(15)
I figur 2 är några exempel för olika τ när k = 1. Man kan se att systemet
reagerar långsammare när τ är stor än när τ är liten. Därav benämningen
tidskonstant. Förstärkningen k säger något hur många ”varv vi får ut per
volt”.
h(t)
1
0.8
0.6
τ=0.1
τ=0.5
τ=1
τ=5
0.4
0.2
0
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figur 2: Elmotorns impulssvar för olika tidskonstanter τ .
b) För att man ska kunna tala om poler och nollställen måste överföringsfunktionen
skrivas som en rationell funktion av polynom. I det här fallet funkar det
utmärkt – alla linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
motsvaras av en sådan funktion.
H(s) = K
B(s)
k
1
=
A(s)
τ s(s + 1/τ )
(16)
Nollställen sn gör att H(sn ) = 0, d.v.s. att B(sn ) = 0. I polerna sp
däremot, så ”exploderar” H(s), eftersom dessa definieras av att A(sp ) = 0.
Elmotorn i denna uppgift har inget nollställe, men väl två poler.
A(s)
sp
= s(s + 1/τ )
= 0
⇔ ½
0
=
−1/τ
(17)
Vi ser att vi har en stationär pol sp1 i origo och en pol sp2 som flyttar
sig med tidskonstanten. I figur 3 är endast den flyttbara polen utritad för
olika tidskonstanter.3
3 Polen s
p2 är fix för en given motor, men ligger olika för olika motorer. Den andra polen
ligger fast i origo.
4
s-planet
τ=0.1
τ=0.5
τ=1
τ=5
Figur 3: Elmotorns ”flyttbara” pol för olika tidskonstanter τ .
Vi kan se hur polen kommer närmare jω-axeln när τ ökar. I a-uppgiften
såg vi att ett stort τ betyder en reaktionsslö motor. En pol som ligger
nära till vänster om jω-axeln innebär ett längre minne i systemet än en
pol långt till vänster. Studera transformparet
1
←→ esp t
s − sp
(18)
Här syns att en reell pol sp ¿ 0 motsvarar ett snabbt avtagande tidsförlopp.
För elmotorn kan vi lite löst säga att den fasta polen sp1 minns motorns
vinkel. Polen ligger på jω-axeln och har därför oändligt långt minne. Den
andra polen minns förändringen i vinkel, eller bevarar hastigheten om man
så vill. Flyttas den långt till vänster blir minnet kort (motorn stannar och
startar lätt). Flyttas den nära imaginära axeln bevaras hastigheten längre
(motorn blir tung att starta och stanna).
Sammanfattningsvis: poler långt till vänster betyder ”lättrörliga” system (kort minne, snabbt humör); poler nära till vänster om jω-axeln
betyder ”tröga” system (långt minne, långsint).
c) Systemets frekvenssvar H(ω) får vi genom att sätta in s = jω i överföringsfunktionen.
Fouriertransformen är ett specialfall av laplacetransformen.
H(ω)
k
1
τ jω(jω + 1/τ )
1
k
−
τ ω 2 − jω/τ
=
=
(19)
När man ska undersöka frekvensgången |H(ω)| är det bra att först ta en
titt på poler och nollställen. Dessa kan ge en uppfattning om vid vilka
frekvenser det händer intressanta saker. Annars kan det hända att man
bara testar i blindo – ekvation (19) ger ingen intuitiv uppfattning om vad
som händer. Frekvenssvaret hittar vi längs jω-axeln.
5
Elmotorn har en pol i origo och därför kommer frekvensgången bli
oändlig för ω = 0. I närheten av origo sjunker förstärkningen, men det är
fortfarande origo-polen som dominerar. Eftersom varje pol ger upphov till
en asymptotisk lutning på 20 dB/dekad kan vi vänta oss denna lutning
nära ω = 0. Vid högre frekvenser blir avståndet till polerna mer och mer
lika och vi kan vänta oss en brantare lutning, 40 dB/dekad.
Studera frekvensgången för låga och höga frekvenser, samt skärningspunkten för lutningsasymptoterna.
– Låga frekvenser, ω −→ 0.
|H(ω)|
=
=
=
≈
=
−→
1
k
p
4
τ ω + ω 2 /τ 2
1
k
p
ωτ ω 2 + 1/τ 2
£ 2
¤
ω är försumbar jämfört med 1/τ 2
k
τ
ωτ
k
ω
∞
(20)
Vanligtvis kör vi decibelskala, och det är här vi hittar den första
asymptoten.
|H(ω)|dB ≈ 20 log10 (k) − 20 log10 (ω)
(21)
I ekvationerna (20) och (21) ser vi det man kan vänta sig från polernas placering: oändlig förstärkning och lutning på -20 dB/dekad.
Dessutom kan vi se att frekvensgången här inte beror på tidskonstanten τ – det är bara den ena polen som märks. Detta gäller så länge
ω ¿ 1/τ , d.v.s. när vi är mycket närmare origo-polen än den andra
polen.
– Höga frekvenser, ω −→ ∞.
|H(ω)|
=
=
≈
−→
k
1
p
2
ω τ 1 + 1/(ω 2 τ 2 )
¤
£
1/ω 2 τ 2 är försumbar jämfört med 1
k
ω2 τ
0
|H(ω)|dB ≈ 20 log10 (k/τ ) − 40 log10 (ω)
(22)
(23)
För höga frekvenser går förstärkningen mot noll, och detta med en
lutning på -40 dB/dekad. Detta förlopp beror, som vi ser i ekvation (22), på tidskonstanten τ . Båda polerna spelar in.
6
– Asymptoternas skärningspunkt.
Vi ser efter när ekvation (20) stämmer överens med ekvation (22):
k
ω
=
⇒
ω
=
k
ω2 τ
1
τ
(24)
I skärningspunkten kan vi också beräkna frekvensgångens värde (använd
första ledet i ekvation (22)).
kτ
|H(1/τ )| = √
2
(25)
Nu har vi tillräcklig information för att rita vårt bodediagram, se figur 4.
20
|H(ω)|
10
0
-10
-20
|H(ω)|
Lågfrekvensasymptot
Högfrekvensasymptot
-30
ω
-40
-1-log(τ)
10
10
-log(τ)
10
1-log(τ)
Figur 4: Elmotorns frekvensgång då k = 1.
När vi ska titta på fasgången är det också bra att titta i s-planet först.
Poler inför negativa fasförskjutningar medan nollställen inför positiva. I
vårt fall har vi två poler på reella axeln så vi kommer bara få negativa
fasförskjutningar. Vinkeln till polen i origo är π/2 radianer för alla positiva frekvenser. Vinkeln till den andra polen kommer däremot att variera.
Allmänt kan man också se att där det händer nåt i frekvensgången händer
det också nåt i fasgången.
Vi tittar på samma tre fall som för frekvensgången, men först ett litet
konstaterande: fasvridningar från olika poler (nollställen) adderas. Alla
komplexa tal kan skrivas som r exp(jθ). För vår elmotor:
H(w)
=
k
τ
µ
7
1
jω
¶µ
1
jω + 1/τ
¶
φ1
1
r1 ejφ1
¶µ
1
r2 ejφ2
=
=
k
e−j(φ1 +φ2 )
τ r 1 r2
=
=
=
φ2
µ
k
τ
=
=
¶
(26)
arg {jω}
arctan(ω/0)
π
2
arg {1/τ + jω}
(27)
arctan(ωτ )
(28)
φ2 = arctan(0) = 0
(29)
– Låga frekvenser, ω −→ 0.
– Höga frekvenser, ω −→ ∞.
φ2 = arctan(∞τ ) −→
π
2
(30)
– Asymptoternas skärningspunkt.
φ2 |ω=1/τ = arctan(1) =
π
4
(31)
Vi har alltså en negativ fasvridning på minst π/2 radianer och som mest
π radianer (se figur 5).
-1.4
φ(ω)
-1.6
φ(ω)
Lågfrekvensasymptot
Högfrekvensasymptot
-1.8
-2
-2.2
-2.4
-2.6
-2.8
-3
-3.2
-2-log(τ)
10
ω
-1-log(τ)
10
10
-log(τ)
1-log(τ)
10
Figur 5: Elmotorns fasgång då k = 1.
8
10
2-log(τ)
d) Att ett kausalt LTI-system är insignal-utsignalstabilt innebär att alla poler
ligger strikt till vänster om jω-axeln. Detta kan vi se från följande system.
H(s)
h(t)
=
↔
=
K
1
s−p
ept
(32)
För att ett LTI-system ska vara insignal-utsignalstabilt måste impulssvaret
vara absolut integrerbart. Om p ≥ 0 i ekvation (32) kommer detta inte att
gälla. Alltså måste p < 0, d.v.s. polen måste ligga i vänstra halvplanet.
Elmotorn har en pol på imaginära axeln och är således inte ett stabilt
system. Detta kan kännas fel – en elmotor är väl inte instabil!? Tänk på
att det är vinkeln på motoraxeln vi mäter. Med en konstant insignal, säg
x(t) = 1, kommer motorn att obönhörligt snurra vidare och vinkeln blir till
slut oändlig. Att systemet är instabilt kan man också se i frekvensgången:
systemet har oändlig förstärkning för ω = 0.
4.2.2
Bilfjädring
Uppgift
Vi är intresserade av hur ett bilhjul rör sig i förhållande till karossen, d.v.s. hur
fjädringen uppför sig. Låt y(t) vara hjulets position och x(t) kraften från vägen
på hjulet. Utgå gå från jämviktsläge: y(t) = x(t) = 0 när bilen står still. Vi
mäter alltså avvikelser från jämviktsläget. För en enkel modell använder vi från
följande parametrar
m − bilens massa
k − fjäderkonstanten
b − stötdämparens dämpningskoefficient
Från fysikaliska samband kan vi ställa upp differentialekvationen
my 00 (t) + by 0 (t) + ky(t) = x(t)
(33)
där alla konstanter är större än eller lika med noll. Ett standardsätt att skriva
om denna ekvation är
1
y 00 (t) + 2ηω0 y 0 (t) + ω02 y(t) = x(t)
(34)
m
p
√
där ω0 , k/m och η , b/ 4km. Dessa konstanter betecknar den naturliga
frekvensen respektive dämpningsfaktorn.
a) Hur ser fjädringens överföringsfunktion ut?
b) Undersök fjädringens poler och nollställen – hur flyttar de sig med varierande η och ω0 ?
c) Titta på frekvensgången. Hur ändras denna med η och ω0 ? Vilken typ av
filter är fjädringen?
d) Undersök impulssvaret för olika η (särskilt η → 0, η → ∞ och η = 1).
Tolka resultatet.
9
Lösning
a) Laplacetransformering av ekvation (34) ger
(s2 + 2ηω0 s + ω02 )Y (s) =
1
X(s)
m
(35)
Här ser man överföringsfunktionen
H(s) =
Y (s)
1
1
=
X(s)
m s2 + 2ηω0 s + ω02
(36)
b) Bilfjädringens överföringsfunktion har inga nollställen (H(s) 6= 0 för alla s). Polerna ges av
s2p + 2ηω0 sp + ω02
sp
= 0
⇒
=
−ηω0 ± ω0
p
η2 − 1
(37)
Beroende på dämpningen η kommer polerna antingen att vara reella eller
komplexa. Två fall:
– Svagt dämpat fall, 0 ≤ η < 1.
När systemet är så här svagt dämpat kommer polerna vara komplexa.
p
sp = −ηω0 ± jω0 1 − η 2
q
η 2 ω02 + ω02 (1 − η 2 ) = ω0
|sp | =
sp |η=0
=
±jω0
(38)
Vi kan se att polerna ligger på eller till vänster om jω-axeln. De
ligger alltid på avståndet ω0 från origo.
– Kraftigt dämpat fall, 1 ≤ η.
Den kraftigare dämpningen medför att polerna hela tiden är reella.
³
´
p
sp1 = −ω0 η − η 2 − 1 < 0
−→
sp2
sp |η=1
=
−→
=
0− då η −→ ∞
´
³
p
−ω0 η + η 2 − 1 ≤ sp1
−∞ då η −→ ∞
−ω0
(39)
Ökar vi dämpningen kommer den ena polen närma sig 0 medan den
andra vandrar iväg mot −∞.
Den naturliga frekvensen ω0 kommer att ”skala” polplaceringen: ökar ω0
flyttas polerna proportionerligt bort från origo. I figur 6 visas polförflyttningarna då dämpningen ändras.
10
jω
ω0
σ
−ω0
−ω0
Figur 6: Polernas förflyttning vid ökande dämpning.
c) Innan vi börjar räkna på frekvensgången tittar vi på polernas placering.
Vi använder oss av den grafiska tolkningen att frekvensgångens storlek
beror på avståndet till poler och nollställen.
|H(ω)| =
1
1
m |jω − sp1 ||jω − sp2 |
(40)
Beroende på dämpningen η får vi tre intressanta fall.
– Svag dämpning, η ¿ 1.
I det här fallet ligger båda polerna nära jω-axeln och har relativt små
realdelar. I ω = 0 har vi lika långt till båda polerna: ω0 . När vi kommer nära ena polen, d.v.s. när ω närmar sig ω0 , blir förstärkningen
stor (eftersom |jω−sp1 | blir väldigt liten). För väldigt höga frekvenser
är avståndet stort till båda polerna och frekvensgången kommer att
avta. Vi kan alltså vänta oss att frekvensgången har en resonanstopp
när vi är nära polen för att sedan närma sig noll för höga frekvenser.
Toppen blir kraftigare ju närmare jω-axeln polerna ligger (d.v.s. ju
sämre dämpningen blir).
– Varken svag eller kraftig dämpning, η = 1.
Polerna ligger här tillsammans i s = −1. Avståndet till polerna kommer att vara minst för ω = 0 – förstärkningen kommer där att vara
som störst. Höga frekvenser dämpas mer och mer allt eftersom avståndet ökar. Fjädringen utgör här ett rent lågpassfilter.
– Kraftig dämpning, η À 1.
Polerna ”skiljs åt” igen. Den som sticker ut mot −∞ kommer att
kraftigt dämpa alla frekvenser. Den andra kommer dock att komma
11
nära ω = 0 och hjälpa upp låga frekvenser. Ett lågpassfilter, men det
är lite svårt att intuitivt säga nåt om det exakta utseendet. Blir det
en topp i ω = 0?
Tanken med ovanstående resonemang är att, precis som i uppgift 4.2.1,
skaffa en ungefärlig bild av uppförandet innan man går in på detaljerna i
ett bodediagram. Nu kan vi räkna mer i detalj.
|H(ω)| =
1
1
p
m (ω 2 − ω02 )2 + 4η 2 ω02 ω 2
(41)
– Låga frekvenser, ω = 0.
|H(0)| =
1
1
1
p
=
m (0 − ω02 )2 + 4η 2 ω02 · 0
mω02
(42)
Notera att förstärkningen för nollfrekvensen inte beror på dämpningen,
utan på den naturliga frekvensen. Frekvensgången kommer alltså att
ha lutningen 0 nära ω = 0.
– Höga frekvenser, ω −→ ∞.
|H(ω)|
=
≈
−→
1
1
p
2
2
2
mω
(ω0 /ω − 1)2 + 4ηω02 /ω 2
1
då ω À ηω0
mω 2
0
(43)
Asymptoten 1/mω 2 motsvarar lutningen −40 dB/dekad.
– Asymptoternas skärningspunkt.
1
mω02
ω
=
1
mω 2
⇒
= ω0
(44)
– Resonanstoppens läge.
I de fall vi kommer ha en resonanstopp vill vi veta var den ligger. Vi
maximerar |H(ω)| genom att minimera nämnaren.
o
n¡
¢2
(45)
max {|H(ω)|} ⇔ min ω 2 − ω02 + 4η 2 ω02 ω 2
Derivera med avseende på ω och sätt till noll.
¡
¢
2 ω 2 − ω02 · 2ω + 8η 2 ω02 ω = 0
12
(46)
Vi har en lösning ω = 0. Den andra ges av
¡
¢
ω 2 + 2η 2 − 1 ω02
ω
=
0
¡
¢
= 1 − 2η 2 ω02
p
= ±ω0 1 − 2η 2
2
ω
1
då η ≤ √
2
(47)
Här kan vi se att toppen flyttar sig från ω0 mot 0 då dämpningen
ökar från 0.
Bilfjädringen är ett lågpassfilter, men karaktären varierar beroende på
dämpningen (se figur 7). För väldigt små η blir resonanstoppen så stor
att den snarast liknar ett bandpassfilter (även om låga frekvenser inte tas
bort). Ju mer dämpning, desto mer lågpasskaraktär.
dB |H(ω)|
20
10
0
-10
-20
-30
-40
η=0.1
η=0.3
η=1/sqrt(2)
η=1
η=3
-50 -1
10
0
1
10
10
ω
rad/s
Figur 7: Frekvensgång för olika kraftig dämpning (ω0 = 1 och m = 1).
d) Vi erhåller impulssvaret h(t) genom en invers laplacetransformering av
överföringsfunktionen H(s).
H(s)
=
spi
=
1
1
m (s − sp1 )(s − sp2 )
p
−ηω0 ± ω0 η 2 − 1
(48)
Beroende på η får vi, återigen, tre fall.
– Svag dämpning, 0 ≤ η < 1.
Polerna är här komplexa:
spi = −ηω0 ∓ jω0
13
p
1 − η2
(49)
Ur βeta tar vi lämpligt transformpar (se sidan 322, L29) och får
följande.
³ p
´
2t
sin
ω
1
−
η
0
1
p
h(t) = e−ηω0 t
m
ω0 1 − η 2
(50)
– Varken svag eller kraftig dämpning, η = 1.
Nu har överföringsfunktionen en dubbelpol i −ω0 .
H(s) =
1
1
m (s + ω0 )2
(51)
t −ω0 t
e
m
(52)
βeta L22 ger
h(t) =
– Kraftig dämpning, η = 1.
Polerna är reella och åtskilda.
spi = −ηω0 ± ω0
Vi tar L29 ur βeta:
h(t) =
2mω0
1
p
η2 − 1
·
e
p
η2 − 1
´
³
√
−ω0 η− η 2 −1 t
−e
´ ¸
³
√
−ω0 η+ η 2 −1 t
(53)
(54)
Några exempel på impulssvar visas i fı́gur 8. Resultatet stämmer med
vad vi kan vänta oss av en bilfjädring. Impulssvaret motsvarar att vi i
hög hastighet kör på en sten (eller liknande). Då dämpningen är dålig
trycks fjädringen ihop mycket och bilen fortsätter gunga länge (jämför med
resonanstoppen i figur 7). Om dämpningen är kraftig trycks fjädringen
knappt ihop alls, men tar mycket lång tid på sig att återgå.
14
h(t)
1
η=0.1
η=0.3
η=1/sqrt(2)
η=1
η=3
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
t
0
5
10
15
s
Figur 8: Impulssvar för olika kraftig dämpning (ω0 = 1 och m = 1).
Kommentar
Om poler har en imaginärdel så kommer systemet att vara oscillativt. För vår
bilfjädring försvinner alla svängningar i impulssvaret då η ≥ 1 och polerna blir
reella. Resonanstoppen försvinner i figur 7.
Poler som ligger långt till vänster har sämre minne än poler nära till vänster
om jω-axeln. Titta på impulssvaren i figur 8: Det kortaste minnet har systemet
då η = 1. De andra systemen är mer långsinta , särskilt η = 0.1 och η = 3.
Ett andra ordningens system kallas kritiskt dämpat då η = 1. Då har vi det
kortaste minnet och ingen oscillativ mod. En bra fjädring. Håller vi η = 1 kan vi
sedan flytta dubbelpolen med ω0 , d.v.s. vi kan göra systemet ”snabbare” utan
att ändra dämpningen.
15