Transcript 6 Sjätte lektionen - Signals and Systems

6
Sjätte lektionen
6.1
6.1.1
Transformvärlden
Repetera
Uppgift
Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop
och hur de betecknas. Vad beskriver de?
• Impulssvaret
• Amplitudsvaret (frekvensgången)
• Överföringsfunktionen
• Poler och nollställen
• Fasgången
• Frekvenssvaret
Lösning
De olika begreppen säger i princip samma sak för tidskontinuerliga och tidsdiskreta system, även om det finns skillnader. Vi tar begreppen ett och ett, men i
en lite annan ordning än i frågan.
Impulssvaret
Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar på en impuls (δ(t) respektive δ(n)) som insignal. Om systemet är
linjärt och tidsinvariant är impulssvaret en fullständig systembeskrivning.
Frekvenssvaret
Betecknas H(ω) respektive H(Ω). Frekvenssvaret är i allmänhet komplext
och visar hur ett system påverkar sinusvågor av olika vinkelfrekvenser ω
respektive Ω. Det gäller både förändring av amplitud och fas.
x(t)
=
sin(ωt)
y(t)
=
x(n)
=
³
´
|H(ω)| · sin ωt + arg {H(ω)}
sin(Ωn)
y(n)
=
³
´
|H(Ω)| · sin Ωn + arg {H(Ω)}
(1)
Frekvenssvaret erhålls genom fouriertransformering av systemets impulssvar.
Amplitudsvaret (frekvensgången)
Betecknas |H(ω)| respektive |H(Ω)|. Amplitudsvaret anger förstärkningen
av signaler med en given vinkelfrekvens. Med andra ord: Om insignalen
är en sinusvåg med vinkelfrekvens ω (eller Ω) och amplitud A, så kommer
utsignalen vara en sinusvåg med samma vinkelfrekvens och amplituden
|H(ω)|A (eller |H(Ω)|A). Se ekvation (1).
1
Fasgången
Betecknas ofta φ(ω) respektive φ(Ω). Fasgången säger oss hur mycket
en sinusvåg förskjuts (i radianer) när den passerar genom ett system.
Fasgången ges av
φ(ω) = arg {H(ω)}
φ(Ω) = arg {H(Ω)}
(2)
Med denna beteckning kan vi skriva om ekvation (1):
y(t)
=
|H(ω)| · sin (ωt + φ (ω))
y(n)
=
|H(Ω)| · sin (Ωn + φ (Ω))
(3)
Överföringsfunktionen
Betecknas H(s) respektive H(z). Överföringsfunktionen är lite svårare
att intuitivt beskriva än frekvenssvaret. I de fall systemet i tidsdomänen
kan beskrivas som en differentialekvation (respektive en differensekvation)
utgör överföringsfunktionen bara en alternativ representation av denna.
Fördelen är att förhållandet blir algebraiskt och därför lättare att hantera
än i tidsdomänen.
Y (s) = H(s)X(s)
Y (z) = H(z)X(z)
(4)
Vi får fram överföringsfunktionen genom att laplace- respektive z-transformera systemets impulssvar.
Poler och nollställen
Ingen standardbeteckning, men här används sp respektive zp för poler
och sn respektive zn för nollställen. Poler och nollställen får vi från överföringsfunktionen då denna kan skrivas som en kvot mellan två polynom.
H(s) =
B(s)
A(s)
H(z) =
B(z)
A(z)
(5)
Polerna och nollställena är direkt kopplade till beskrivningen i tidsdomänen:
en differential- eller differensekvation. Polerna beskriver systemets rekursiva beteende, d.v.s. hur systemet utsignal beror på tidigare utsignaler.
Därför är polernas placering avgörande för ett systems stabilitet. Nollställena
beskriver insignalens direktpåverkan på systemet.
I figur 1 visas tankekartan som beskriver sambandet mellan begreppen schematiskt. Det finns ett par viktiga poänger.
• Vi rör oss med flera beskrivningar av ett och samma system. Impulssvaret,
överföringsfunktionen och frekvenssvaret är alla fullständiga beskrivningar
av ett LTI-system. Ingen säger mer eller mindre än de andra, men de
möjliggör olika tolkningar. Vilken beskrivning man väljer beror på vad
man vill göra eller analysera.
Amplitudsvaret och fasgången utgör tillsammans en fullständig systembeskrivning. Var för sig kan de inte beskriva systemets alla egenskaper.
Från poler och nollställen kan vi få ut mycket information om systemet,
men inte allt. T.ex. kan en konstant förstärkning inte ses i s- eller z-planet.
Därav den enkelriktade pilen.
2
• Vi kan gå från en tidskontinuerlig beskrivning till en tidsdiskret genom
att sampla systemet. I denna övergång kommer vi att tappa information
om vi inte uppfyller nyquistkriteriet (samplingssatsen).
• En tidsdomänbeskrivning som inte är med i figur 1 är differential- respektive differensekvationen. Löser vi en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter direkt kommer vi att kunna se impulssvaret. Vi kan
också gå från differentialekvationen till överföringsfunktionen med laplacetransformen.
{
|H(ω)|
H(s)
{
sn
sp
H(Ω)
{
|H(Ω)|
H(ω)
F
φ(ω)
s = jω
h(t)
L
DTFT
z=e
h(n)
Z
φ(Ω)
jΩ
{
H(z)
zn
zp
Figur 1: Sambanden mellan olika LTI-systembeskrivningar.
6.2
6.2.1
Tidsdiskreta system
Fördröjning
Uppgift
Om vi inför en tidsfördröjning av insignalen i ett system, hur påverkas fasgången?
Hur syns ett tidsskift i z-planet?
Lösning
Vi utgår från systemet
y(n) = h(n) ? x(n)
(6)
När vi sedan fördröjer insignalen, låt oss säga med N sampel, har vi systemet
y(n) = h(n) ? x(n − N )
3
(7)
För att se hur denna fördröjning påverkar fasgången måste vi över i frekvensdomänen. Vi använder Z-transformen där vi vet att ett tidsskift motsvarar
multiplikation med z.
Y (z) = H(z)z −N X(z) , H1 (z)X(z)
(8)
Fasgången fås från
φ(Ω) = arg {H1 (z)z=ejΩ }
(9)
1
Eftersom argumenten av komplexa tal som multipliceras adderas får vi
φ(Ω)
=
=
ª
©
arg {H(Ω)} + arg e−N Ω
arg {H(Ω)} − N Ω
(10)
(11)
Tidsskiftet inför alltså en extra linjär fasförskjutning. Om vi skiftar insignalen
framåt i tiden inför vi en linjärt ökande fasvridning, annars blir den linjärt
avtagande.
Från ekvation (8) får vi att ett negativt tidsskift inför nya poler i origo,
medan ett positivt tidsskift inför nollställen i origo. Poler och nollställen svarar
direkt mot tidsskift om de ligger i origo.
6.2.2
Impulssvar
Uppgift
Beräkna impulssvaren för följande filter
a) Överföringsfunktionen H(z) = B(z)/A(z) har M nollställen och N poler
(alla de senare i origo).
b) Överföringsfunktionen
H(z) =
1
z(z − a)
,
|a| < 1
(12)
Lösning
a) Eftersom systemet har alla poler i origo kan vi skriva
H(z) =
B(z)
B(z)
= N
A(z)
z
(13)
Impulssvaret hittar vi i tidsdomänen, där ekvation (13) motsvaras av en
differensekvation.
1 ejθ ejφ
= ej(θ+φ)
4
z N Y (z)
Y (z)
y(n)
=
=
B(z)X(z)
z −N B(z)X(z)
¡
¢
= z −N b0 z M + b1 z M −1 + . . . bM X(z)
¡
¢
= b0 z M −N + b1 z M −1−N + . . . bM z −N X(z)
= b0 x(n + M − N ) + b1 x(n + M − N − 1) + . . .
bM −1 x(n − N + 1) + bM x(n − N )
(14)
Stoppa in en diracimpuls δ(n) som insignal.
h(n) = b0 δ(n + M − N ) + . . . + bM δ(n − N )
(15)
Här kan vi se ett par saker:
– Impulssvarets tappar bestäms av B(z)-polynomet.
– Impulssvaret är ändligt (FIR).
– Överskottet av poler, N − M , motsvarar en fördröjning i systemet.
Tänk på att N måste vara minst lika stort som M för att systemet
ska vara kausalt.
b) I detta fall är det inte lika enkelt att beräkna impulssvaret som i a). Går
vi över till tidsdomänen på samma sätt som i a) får vi differensekvationen
y(n) = ay(n − 1) + x(n − 2)
(16)
Differensekvationen är rekursiv och det blir lurigare att hitta impulssvaret.
Börja istället i z-domänen med att partialbråksuppdela H(z).
A
B
(A + B)z − Ba
1
,
+
=
z(z − a)
z−a
z
z(z − a)
(17)
där A och B är de sökta parametrarna. Identifiering av z-termer ger
A+B
=
−Ba
0
=
1
⇐⇒
A
B
=
=
1/a
−1/a
(18)
Vi kan nu skriva överföringsfunktionen som
1
H(z) =
a
5
µ
1
1
−
z−a z
¶
(19)
Med hjälp av βeta kan impulssvaret hittas. Använd z9 och z11 (sidan
318).
h(n)
=
¢
1 ¡ n−1
a
u(n − 1) − δ(n − 1)
a
an−2 u(n − 1) − a−1 δ(n − 1)
=
an−2 u(n − 2)
=
(20)
där u(n) är enhetssteget (eller heavisidefunktionen). Några konstateranden:
– Impulssvaret är oändligt (IIR). Detta hänger ihop med att differensekvationen är rekursiv.
– Partialbråksuppdelning är ett sätt att angripa problemet. Från ekvation (16) går det att hitta impulssvaret. Det går också att tillämpa
polynomdivision på A(z)/B(z).
– Om |a| ≥ 1 så är systemet instabilt.
6.2.3
Faslinjära filter
Uppgift
Antag att ett tidsdiskret filter har två poler i origo, ett nollställe i a och ett
nollställe i b. Både a och b är reella.
a) Var ska b-polen placeras för att filtret ska vara faslinjärt?
b) Med ledning av a): Kan ett IIR-filter vara faslinjärt? Varför/varför inte?
c) Beräkna systemets impulssvar och studera symmetrin.
Lösning
Från pol-nollställe-beskrivningen kan vi ta fram överföringsfunktionen så när
som på en skalfaktor.
H(z) = K
(z − a)(z − b)
z2
(21)
a) Fasgången φ(Ω) är ju argumentet av frekvensgången H(Ω). Den senare fås
genom att sätta z = exp(jΩ), d.v.s. genom att beräkna överföringsfunktionen
på enhetscirkeln i z-planet.
H(Ω)
φ(Ω)
¡
¢¡
¢
ejΩ − a ejΩ − b
= K
j2Ω
¡ ej2Ω
¢
−j2Ω
= Ke
e
+ ab − (a + b)ejΩ
¡
¢
= Ke−jΩ ejΩ + abe−jΩ − (a + b)
©
ª
= arg{K} − Ω + arg ejΩ + abe−jΩ − (a + b)
6
(22)
(23)
Den tredje termen i ekvation (23) är den intressanta. Vi vill välja b så att
denna term varierar linjärt med Ω. Eftersom (a + b) är ett reellt tal så
måste vi ordna så att
ejΩ + abe−jΩ ∈ <
(24)
Gör vi det kommer den tredje termens argument alltid att vara noll. Eulers formel leder oss till att om b = 1/a så kommer den tredje termen i
ekvation (23) att bli cos(Ω) − (a + b).
– Valet b = 1/a innebär en spegling i enhetscirkeln.
– Om a är ett komplext tal ska det fortfarande speglas i enhetscirkeln:
b = 1/a∗ . Lite knepigt att visa.
– Ett nollställe (eller en pol) i origo påverkar fasen linjärt och behöver
ej speglas.
b) I fasförskjutningsmening är den enda skillnaden mellan poler och nollställen
att de ”drar”åt olika håll. Poler inför negativa fasförskjutningar, nollställen
positiva. Detta innebär att även poler måste ha en ”spegelkompis” eller
ligga i origo. Ett IIR-filter har nollskilda poler som då måste speglas för
att få ett faslinjärt filter. Problemet är att ett sådant filter blir instabilt,
och därmed inte speciellt användbart.
c) Filtret i deluppgift a) är av FIR-typ. Precis som i uppgift 6.2.2 a) kan vi
se impulssvaret i filtrets differensekvation. Med hjälp av ekvation (21) får
vi
z 2 Y (z)
Y (z)
y(n)
h(n)
= K(z − a)(z − 1/a)X(z)
¡
¢
= K 1 − (a + 1/a)z −1 + z −2 X(z)
¡
¢
= K x(n) − (a + 1/a)x(n − 1) + x(n − 2)
¡
¢
= K δ(n) − (a + 1/a)δ(n − 1) + δ(n − 2)
(25)
Impulssvaret visar sig vara symmetriskt runt mittpunkten (inte runt n =
0). Att det blir så här skulle givetvis kunna vara en slump, men det visar
sig att alla faslinjära filter har impulssvar som är jämna eller udda runt
impulssvarets mittpunkt. Denna mittpunkt är svår att hitta på filter med
oändliga impulssvar: IIR-filter kan inte vara faslinjära.
6.2.4
Banköverföringsfunktion
Uppgift
Låt x(n) vara insättningar och uttag av pengar till/från ett bankkonto. Låt y(n)
vara kontots saldo.
a) Vad har det system som beräknar saldot rimligtvis för impulssvar? Poler
och nollställen?
b) Hur ser saldoberäkningssystemets invers ut, och vad gör den?
7
Lösning
a) Rimligtvis summerar bankerna bara de insättningar/uttag som görs till/från
kontot.
n
X
y(n) =
x(m)
(26)
m=−∞
Om vi stoppar in en impuls δ(n), d.v.s. en krona vid tiden n = 0, ser vi
att utsignalen blir en stegfunktion.
h(n) = u(n)
(27)
Det är rimligt att det här systemet har ett oändligt impulssvar.2 Ett
oändligt impulssvar innebär att vi kan skriva om ekvation (26) på rekursiv
form.
y(n)
n−1
X
=
x(m) + x(n)
m=−∞
=
y(n − 1) + x(n)
(28)
Efter Z-transformering erhålls överföringsfunktionen.
z
(29)
z−1
Saldofunktionen har alltå ett nollställe i origo och en pol i z = 1. Notera
att det är ett instabilt system! Allmänt kallas det här systemet för en
ackumulator (jämför med den tidskontinuerliga integratorn som har en
pol i s = 0).
H(z) =
b) Det är ofta svårt att se i tidsdomänen hur det inversa systemet ser ut:
studera t.ex. ekvation (26). Ibland går det dock bra, som i ekvation (28).
Det vanliga är dock att arbeta i z-planet. Inversen H −1 (z) ogör ett systems
inverkan och definieras enligt
H −1 (z)H(z) = 1
(30)
I det här fallet får vi
z−1
= 1 − z −1
z
Det inversa systemet beräknar en differens enligt
H −1 (z) =
x(n) = y(n) − y(n − 1)
(31)
(32)
Ekvation (32) utgör ju en approximation av en derivata, vilket stämmer
väl med att inversen till en integrator 1/s är en deriverare s.
I z-planet ser vi att poler och nollställen byter plats när vi inverterar
systemet.
2 Ett
ändligt impulssvar betyder ett ändligt minne – pengarna skulle glömmas bort.
8
6.2.5
Inverterad faslinjäritet
Uppgift
Vad händer om vi försöker invertera ett faslinjärt FIR-filter?
Lösning
Som vi såg i uppgift 6.2.4 innbär invertering att poler och nollställen byter plats.
Vi vet också från uppgift 6.2.3 att ett faslinjärt filter måste ha nollställen som
är speglade två-och-två i enhetscirkeln, eller ligger i origo. Samtliga poler måste
ligga i origo. Inversen av ett sådant system skulle ha
• Poler utanför enhetscirkeln och vara instabilt, eller
• enbart nollställen och vara icke-kausalt.
Det senare är inversen av ett system med enbart poler i origo, d.v.s. en ren
tidsfördröjning. System som ska inverteras måste vara så kallade minfas-system.
Ett minfas-system har alla nollställen innanför enhetscirkeln.
6.3
6.3.1
Återkoppling
Flytta poler
Uppgift
Ett system med överföringsfunktionen
H(z) =
1
1
=
A(z)
(z − 0,7 − 0,7j)(z − 0,7 + 0,7j)
(33)
uppför sig alldeles för svängigt (jämför med bilfjädringen i uppgift 4.2.2, lektion 4). Vi försöker lösa detta genom att flytta polerna mot reella axeln med en
återkoppling av systemet (se figur 2).
x(t)
Σ
H(z)
y(t)
L(z)
Figur 2: Återkoppling för att motverka oscillationer.
Bestäm en konstant återkoppling L(z) = k så att polerna flyttas till reella axeln.
Varför minskar detta systemets svängighet?
9
Lösning
Först måste vi ta reda på hur återkopplingen påverkar systemets dynamik. Från
figur 2 kan vi härleda följande.
Y (z) = H(z) [X(z) + L(z)Y (z)]
[1 − H(z)L(z)] Y (z) = H(z)X(z)
H(z)
X(z)
Y (z) =
1 − H(z)L(z)
1
=
X(z)
A(z) − k
(34)
där det sista steget tagits genom att sätta in L(z) = k och H(z) = 1/A(z). Vi
ser att återkopplingen k kan flytta systemets poler, men inte hur som helst. Det
återkopplade systemets poler ges av
zp2
A(zp ) − k
=
− 1,4zp + (0.98 − k)
=
zp
0
0
1,4 p 2
=
± 0,7 − 0,98 + k
2 p
= 0,7 ± k − 0,49
(35)
Ekvation (35) visar att vi genom att justera k kan flytta polerna, men att det
finns begränsningar. Dels kan vi inte flytta dem vart vi vill utan måste följa
en viss bana i z-planet, dels måste vi se upp så att vi inte tippar någon pol
utanför enhetscirkeln. För k ≥ 0,49 har vi två reella poler som rör sig mot −∞
respektive +∞ då k ökar. För k < 0,49 har vi komplexa poler vars imaginärdelar
ökar då k blir mindre. Se figur 3.
Poler med imaginärdel har oscillativa egenskaper: ju närmare enhetscirkeln
desto mer svängigt. För att ta bort det oscillativa beteendet flyttar vi polerna till
reella axeln, och gör därmed systemet kritiskt dämpat. Detta sker för k = 0,49.
Se figur 4.
10
Im{z}
Re{z}
Figur 3: Polernas förflyttning då k ökar från noll.
h(n)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
n
0
5
10
15
20
25
Figur 4: Impulssvar före och efter återkoppling (ringar respektive plustecken).
11