Transcript Universitetet i Trondheim (G2-95h) side 1 av 5 - Geomatikk

NTNU
INSTITUTT FOR GEOMATIKK
SIB6020 Geodesi. Eksempel 1. Gausske konforme projeksjon. Korreksjoner
Punktene V og R er to kommunikasjonsmaster.
Geografiske koordinater (i WGS84) og tilhørende UTM-koordinater (høydene på de to punktene
kan settes lik null i beregningene):
(a)
Punkt
Bredde, B
Lengde, L
N
E
V
R
63,22354175° N
63,88022131° N
9,25197600° Ø Gr.w.
11,41522236° Ø Gr.w.
7010520,843
7085912,227
512665,511
618617,683
Beregn retningsvinkelen i kartplanet fra punkt R til V, ϕR-V , ved å bruke de oppgitte
UTM-koordinatene i tabellen.
Ta utgangspunkt i retningsvinkelen som du har beregnet (ϕR-V).
Tegn og vis sammenhengen mellom:
asimut
meridiankonvergens
plan retningsvinkel
retningsreduksjon.
Beregn asimut fra punkt R til punkt V, αR-V , ved å påføre retningsvinkelen (ϕR-V) de
nødvendige korreksjonene. Figur hører også med.
(b)
Geodetisk linje
Beregn asimut for den geodetiske linjen fra R til V, αR-V, ved å bruke formler som
gjelder på ellipsoiden.
(c)
Målestokk
Beregn målestokkstallet i de to punktene V og R.
(d)
Avstandskorreksjoner
Hvor lang er den geodetiske linja mellom V og R?
Beregn avstandskorreksjonen for avstanden mellom V og R.
Beregn avstanden i kartplanet ved å korrigere lengden på den geodetiske linja.
Beregn avstanden i kartplanet av UTM-koordinatene.
Sammenlign de to avstandene i kartplanet.
Løsningsforslag på eksempel 1
(a)
Krumningsradier:
Punkt
M
N
V
R
6386485,54
6387074,92
6395221,28
6395418,00
Asimut fra V til R:
α V-R = 54,79334266°
Punktene V og R er to kommunikasjonsmaster. WGS84 og UTM brukes:
Beregn retningsvinkelen i kartplanet fra punkt R til V, ϕR-V , ved å bruke de oppgitte UTM-koordinatene.
Fra landmåling 1: ϕR-V = tR-V = 260,6287183 gon = 234,5658465°
L=9
L=11,4…
R
t
V
Tegn og forklar sammenhengen mellom: Asimut,
meridiankonvergens, plan retningsvinkel og retningsreduksjon.
Punkt R ligger i UTM-sone 32. Se vedlegg i oppgaveteksten om
soneinndelingen. Hovedaksen (N-aksen) ligger 9° Ø Gr.w..
Figur i kapittel 4 i Holsens del 2.
Beregn asimut fra punkt R til punkt V, αR-V , ved å påføre
retningsvinkelen (ϕR-V) de nødvendige korreksjonene. Figur hører
også med. Beregner c og δ :
(1) Meridiankonvergensen, c:
c beregnes av formelen i vedlegget, der l = 11,4… - 9 = +2,4…:
c = +2,4097993 gon = 2,1688194° (her beregnet i KONVERGprogrammet). Av figuren ser vi at c må legges til beregnet
retningsvinkel t.
(2) Retningskorreksjon, δ
Korreksjoner fra ellipsoiden til kartplanet for gauss-krüger-projeksjonen (kuleformler), NB: Husk
UTM-fellene med 500000 på y og målestokkskorreksjonen på 0,9996:
Retning fra R til V (kuleformel, oppgitt):
δ = ρ ⋅ (xR – xV) ⋅ (2⋅yR + yV) / (6 ⋅ R²) = -0,0048952 gon = -0,00440568°
M ⋅N
der R er krumningsradius i retningen R-V: R =
= 6392904,93 m
2
N ⋅ cos α + M ⋅ sin 2 α
Av figuren ser vi at δ må trekkes fra beregnet t, og vi får ved figurbetraktning:
αR-V = tR-V + |c| - |δ | = 260,6287183 + 2,4097993 - 0,0048952 = 263,0336224 gon = 236,7302602°
(b)
Beregn asimut for den geodetiske linjen fra R til V, αR-V, ved å bruke formler som gjelder på
ellipsoiden.
Vi kjenner breddene til V og R, og asimuten αV-R = 54,79334266°, bruker en av Clairiauts likninger for
en geodetisk linje: cosβ ⋅ sinα = k
Beregner reduserte bredder: β = invtan (tan B ⋅ (b / a)), βV = 63,14607082° og βR = 63,80407978°
Beregner k i punkt V: k = cos βV ⋅ sinαV-R =
Beregner αR-V = invsin (k / cosβΡ) = 236,73025692° , som er asimuten tilbake til V. Clairiauts gir
asimut fra R og videre nordover, som i V: 56,73025692°, vi snur asimuten ved å korrigere med 180°.
Svarene i (a) og (b) gir en differanse på bestemmelsene av asimut på 0,0000033 gon, som svarer til et
tverravvik på ca 7 mm. Brukes ellipsoidisk formel for retningskorreksjonen (se Holsens Geodesi del 2,
kap 4) og ikke kuleformel, blir differansen halvert, og da nærmer de to metodenes resultater seg…..
P
Beskriv uten formelutvikling hvordan den oppgitte verdien på
asimuten αV-R kan beregnes.
R
V
(c)
Trekk opp trekanten (Polpunktet P-punkt V-punkt R) på ellipsoiden.
Har vi tre kjente størrelser i denne trekanten, kan andre størrelser
utledes. Her er 2 sidelengder kjente, da breddene til V og R er kjente:
V-P = (90 – BV) og R-P = (90 – BR). Også kjent er vinkelen i P som er
lengdeforskjellen l = LR - LV Vinkelen i V kan da beregnes og er
asimut fra V til R.
Målestokk
Beregn målestokkstallet i de to punktene V og R.
(d)
Avstandskorreksjoner
Hvor lang er den geodetiske linja mellom V og R?
Beregn avstandskorreksjonen for avstanden mellom V og R
Beregn avstanden i kartplanet ved å korrigere lengden på den geodetiske linja.
Beregn avstanden i kartplanet av UTM-koordinatene.
Sammenlign de to avstandene i kartplanet.
Formler og uttrykk (2 sider)
Clairauts to likninger for en geodetisk linje:
r ⋅ sin A = N ⋅ cos B ⋅ sin A = k1
og
cos β ⋅ sin A = k2
tg β = (b / a) ⋅ tg B
Formler om geoiden: N = AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F
Retningskorreksjon for loddavvik:
δ = (- ξ ⋅ sin α + η ⋅ cos α)⋅ cotg z
Beregninger på kulen:
γ = 2⋅ R⋅ invsin (Skorde / (2 ⋅ R))
S0⋅ ρ / (2⋅ R)
Sk⋅ (1 + Hm / R)⋅ cotg zk
R⋅ γ
arctg [S⋅ sin z / (R + H + S⋅ cos z)]
-ρ ⋅ (y2 - y1) / Sk²
ρ⋅ (x2 - x1) / Sk²
1 / Sk²
Estimering:
ε = V = A⋅ X - F
X = (AT⋅ P⋅ A)-1⋅ AT⋅ P⋅ F
Avbilding:
∆q = -b2⋅y2 + b4⋅y4 + ...
l = b1⋅y - b3⋅y3 + b5⋅y5 - ...
x = G - a2⋅ l 2 + a4⋅ l 4 - ...
y = a1⋅ l - a3⋅ l 3 + ...
DATUMER
a
Datum
b
6356173,5083
6356911,9461
6356752,3142
6377492,0176
6378388,0000
6378137,0000
NGO1948
ED50 / ED87
WGS84 / EUREF89
f
Ellipsoide
1/299,15281285
1/297,000
1/298,257223562
Norsk Bessel
Internasjonal
WGS84
KORREKSJONER FRA ELLIPSOIDEN TIL KARTPLANET FOR GAUSS-KRÜGER-PROJEKSJONEN
(kuleformler):
δ = ρ ⋅ (xs - xt) ⋅ (2⋅ys + yt) / (6 ⋅ R²)
Retning fra s til t:
Avstand fra s til t:
∆S = Se ⋅ (ys2 + ys ⋅ yt + yt2) / (6 ⋅ R²)
R er krumningsradius i retningen og Se er ellipsoidisk avstand.
M ⋅N
N ⋅ cos α + M ⋅ sin 2 α
(Plan retningsvinkel kan ofte brukes i stedet for asimut (α)).
R=
KRUMNINGSRADIUS:
NORMALKRUMNINGSRADIUS:
2
N = a / (1 - e²⋅ sin²B)0,5
MERIDIANKRUMNINGSRADIUS: M = a ⋅ (1 - e²) / (1 - e²⋅ sin²B)1,5
FLATTRYKNING:
f = (a - b) / a
EKSENTRISITET:
e² = (a² - b²) / a² = f ⋅ (2 - f) (1. numeriske eksentrisitet)
MERIDIANBUELENGDEN FRA EKVATOR :
BL = ∫M ⋅ dB = a ⋅ (1 - e²) ⋅ ∫(1 - e² ⋅ sin²B)-1.5⋅ dB
(Integrert fra ekvator til B.)
DEN GAUSSKE MERIDIANKONVERGENS , der ε² = e² ⋅ cos²B/(1-e²) :
c = L ⋅ sinB + (L3/3) ⋅ sinB ⋅ cos²B⋅ (1 + 3 ⋅ ε² + 2 ⋅ ε4) + (L5/15) ⋅ sinB ⋅ cos4B ⋅ (2 - tan²B)
(L5-leddet utgår hvis |L|<2,5° (ca!?). Kan sløyfes ved eksamensberegninger!!)
ORIGO FOR TANGERINGSAKSENE (HOVEDAKSENE) I NGO1948
Akse
Bredde
(°)
Lengde (°)
Akse
Bredde
(°)
Lengde (°)
1
2
3
4
58
58
58
58
6,05625000
8,38958334
10,72291667
13,22291667
5
6
7
8
58
58
58
58
16,88958334
20,88958334
24,88958334
29,05625000
UTM: Sonene er 6° breie. Sone 31 er mellom 0° og 6° øst Greenwich. (0° øst er Gr.wich-meridianen).