GEOMATIKK NTNU

SIB6020 GEODESI, 2002 Eksempeløving (2): Løsningsforslag Geoidehøyder, geoidemodeller Oppgave 1 Geoidemodell

(a)

Beregn ellipsoidisk høyde for punkt D:

Tar geoidehøyden ut fra kartet og legg til oppgitt ortometrisk høyde:

H

e = 361,25 m En knekk i kotene gjennom punktene A og C. Må beregne to sett med loddavvik, ett for østre og ett for vestre del. Beregner ikke med en høyere orden av geoidemodellen, vil da få mer kontinuerlige linjer for hele området. Tar ut geoidehøyder fra kartet, punkt D skal ligge 1 mm lengre mot nord, jfr

x

-verdiene på C og D:

N

A = 38,17

N

B = 38,31

N

C = 39,04

N

D = 38,90 To måter å beregne loddavvikskomponentene på: (A) en mer manuell metode (figurbetraktning) i dette tilfellet (bl.a. for å vise fortegnsdefinisjoner) (B) Generell og mer vanlig metode. Ved bruk av modellen:

N i D x i E y i F

ξ

x i

η

y i F

(A.1)

Vestre del:

Nordkomponenten beregnes av punktene A og C, ξ V N C C ξ V geoide ellipsoide A N A Nord Avstand A-C: ∆

x

= 6000 m (av koordinatene) tan ξ = (

N

C –

N

A ) /

D

AC = 0,87 / 6000 => ξ V = +9,23 mgon (+, da

N

avtar mot nord) (A.2) Østkomponenten av A/C og D: Ser at kurvene er parallelle med y-aksen: η V = 0,0 mgon

Østre del:

(A.3) Nordkomponent av A og C: Må være lik den for vestre del: ξ Ø = ξ V = +9,23 mgon (A.4) Østkomponenten

Finner først

N

i punktet B’ som har samme

x-

verdi som B og ligger på linja A-C:

N

B’ = 38,75 Linja B’B går rett østover, kan finne loddavviket i østretning. N B’ B’ η Ø geoide ellipsoide B N B Øst tan η = (

N

B’ –

N

B ) /

D

B’B = 0,44 / 5000 => η Ø = +5,60 mgon (+, da

N

avtar mot øst) (B.1) Bruker

N i

ξ η

F

og får beregnet loddavvikskomponentene direkte, pass på å korrigere vinklene til mgon eller gon. Velger C som lokalt origo. Vi får 3 ligninger og 3 ukjente. Også her må vi skille mellom vestre og østre del. Har ikke prøvd med en høyere orden av geoidemodellen, vil da få mer kontinuerlige linjer for hele området. (B.2)

Vestre del

, 3 punkter, 3 ligninger og 3 ukjente: Punkt C:

N C

= 39,04 0,00 0,00 +

F

=>

F =

39,04 m Punkt A: Punkt D:

N A

38,17

N D

= − 38,90 ξ

radianer

= − ξ ξ

mgon x

⋅ ∆

x

⋅ 6000,00 636620 = − 1000,00 63662 η −

y

η

rad mgon

⋅ 0,00 + +

F F

63662 +

F F

=> => ξ = 9,23 mgon η = 0,05 mgon Se merknad under (B.3) η = 0,00 innenfor regnenøyaktigheten, 0,05 mgon utgjør 5 mm i endret geoidehøyde mellom C og D

Østre del

, også her 3 punkter, 3 ligninger og 3 ukjente: Ligningene i punktene A og C blir identiske med de i tabellen i (B.2), gir:

F =

39,04 m ξ = 9,23 mgon Ligning i punkt B: Punkt B:

N B

ξ 38,31 = −

x

2000,00 63662 η

y

+

F

5000,00 63662

F

=> η = 5,60 mgon Fortegnene ser OK ut: Sjekker punktplassering (figur), geoidehøyder og definisjon av positive verdier på loddavvikskomponentene.

NB: Ingen kontroll. Korte avstander. Burde hatt med noen fjerne punkter i tillegg. Er det nivellerte høyder, bør være det? NB: For beregning av loddavvikskomponentene trenger vi ikke nødvendigvis

absolutte

verdier på geoidehøydene, det er hvordan geoidehøyden endrer seg ( ∆

N

) som bestemmer loddaviket, altså

relative

geoidehøyder. Se bl.a Grunnleggende landmåling av Skogseth m.fl., side 170.

(b)

Korreksjon for loddavvik på senitvinkelen fra punkt C til punkt B:

Må beregne virkningen av loddavviket i retningen vi sikter i (C-B). Formel 12.5 på side 70 i Grunnleggende GPS, gir ∆

z

= 0,008627 gon, der asimut er beregnet i programmet L-GEO2 (de plane koordinatene kan også brukes, da forholdsvis korte avstander.) Korrigerte senitvinklen (

z B

) som skal brukes til ortometriske høydeberegninger: Trekker korreksjonen fra den oppgitte ellipsoidiske senitvinkelen:

z

ORT = 102,081097 – 0,008627 = 102,072470 gon At

z

ORT må være mindre enn

z

ELL sees også greitt av figurbetraktning: Hvordan loddlinja står i forhold til ellipsoidenormalen i vårt tilfelle (se bl.a. figurene ovenfor).