Transcript Utvalg Et utvalg er den delen vi har trukket ut av en stЦrre

FAKTA
Utvalg
Et utvalg er den delen vi har trukket ut av
en strre mengde.
Kombinatorikk — systematisere og telle hvor mange mter
et utvalg kan kombineres p, kaller vi
kombinatorikk.
Ordnet utvalg
uten tilbakelegging
Objektene er trukket ut ett av gangen.
Rekkeflgen de er trukket i, spiller en rolle.
Eksempel:Vi kan ordne n klosser p
n! ulike mter.
Uordnet utvalg Objektene er trukket ett av gangen.
uten tilbakeRekkeflgen de er trukket i, spiller ingen rolle.
legging
Eksempel: I lotto trekkes kulene e¤ n av gangen.
Hvilken rekkeflge de trekkes i, spiller ingen rolle.
Ordnet utvalg
med tilbakelegging
Hvert objekt legges tilbake etter hver trekning.
Rekkeflgen de er trukket i, spiller en rolle.
Formelen nk viser hvor mange mter vi kan trekke k elementer p
nr vi har n mulige utfall i hver trekning.
Eksempel: I en bolle ligger det seks sifre: 0, 1, 2, 3, 4 og 5.
Frst trekker vi si¡eret p tierplassen.Vi legger s si¡eret
tilbake i bollen fr vi trekker si¡eret p enerplassen.
Vi har 6 forskjellige sifre i hver trekning. Nr vi trekker to sifre,
har vi nk = 62 = 6 6 = 36 forskjellige utfall.
76
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
FAKTA
OG SANNSYNLIGHET
Uordnet utvalg Hvert element legges tilbake etter hver trekning.
med tilbakeRekkeflgen de er trukket i, spiller ingen rolle.
legging
Eksempel: I isbaren kan vi f kjpt kuleis med smakene vanilje,
sjokolade, jordbr og pistasj. Hvor mange ulike mter kan vi
kombinere to av disse smakene p dersom rekkeflgen ikke spiller
noen rolle? Vi kan godt ha to kuler av samme smak.
Vanilje
Sjokolade
Jordbær
Pistasj
Vanilje
Vanilje–Vanilje
Vanilje–Sjokolade
Vanilje–Jordbær
Vanilje–Pistasj
Sjokolade
Sjokolade–Vanilje
Sjokolade–Sjokolade
Sjokolade–Jordbær
Sjokolade–Pistasj
Jordbær
Jordbær–Vanilje
Jordbær–Sjokolade
Jordbær–Jordbær
Jordbær–Pistasj
Pistasj
Pistasj–Vanilje
Pistasj–Sjokolade
Pistasj–Jordbær
Pistasj–Pistasj
Valgtre
Et valgtre synliggjr kombinasjoner
med £ere objekter. Den nederste raden
viser antall mulige kombinasjoner.
Multiplikasjons- Vi kan regne ut antall kombinasjoner
setningen
ved multiplisere antall mulige utfall p
hvert niv med hverandre:
n1 n 2 n3 . . . np ;
der np er det siste mulige utfallet.
Tabell
Med en tabell kan vi ordne elementene systematisk
p en oversiktlig mte.
Fakultet ^ n!
n! er et matematisk begrep som vi leser ’’n-fakultet’’.
n! = n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . 3 2 1
Sannsynlighet
Med sannsynlighet mener vi hvor stor mulighet det er for at en hending
skal skje. Sannsynligheten kan skrives som desimaltall, brk eller prosent.
1
4
1
2
3
4
0%
25 %
50 %
75 %
100 %
0
0,25
0,5
0,75
1
Hendingen kan
ikke skje
Denne hendingen
inntreffer i 25 %
av tilfellene
Hendingen inntreffer
i halvparten av
tilfellene
Denne hendingen
inntreffer i 75 %
av tilfellene
Det er helt
sikkert at denne
hendingen
kommer til å skje
77
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
FAKTA
OG SANNSYNLIGHET
Sannsynlighetsregning
I sannsynlighetsregning regner vi ut sjansen eller muligheten for at
en hending skal inntre¡e.Vi bruker bokstaven P som symbol p
sannsynlighet.
De store
talls lov
Gjr vi et forsk eller utfrer en trekning svrt mange ganger,
vil den relative frekvensen for hvert utfall nrme seg sannsynligheten.
Utfall
Resultatet av et forsk kaller vi utfall. Metodene fra kombinatorikken
er verkty vi bruker nr vi skal ¢nne antall mulige utfall i et forsk.
Utfallsrom
Mengden av alle mulige utfall kaller vi utfallsrommet.
Symbolet for utfallsrommet er U.
Eksempel: Utfallsrommet til en terning med seks sider er
U = f1, 2, 3, 4, 5, 6g.
Gunstige utfall De utfallene som gir oss det vi leter etter, eller som det sprres om,
kaller vi gunstige utfall.
Uniform
sannsynlighet
Er alle utfallene i et forsk like sannsynlige,
har vi uniform sannsynlighet.
Sannsynligheten P =
antall gunstige utfall
antall mulige utfall
Eksempel: Nr vi kaster en terning med seks sider, er det like stor
sannsynlighet for f en toer som en sekser. Sannsynligheten for
f en toer er
Pð2Þ =
Valgtre
1
6
Valgtre er en av metodene vi kan
bruke til synliggjre utfallsrommet
og ¢nne sannsynligheten for et
av utvalgene. Srlig nr vi skal
kombinere £ere objekter, er valgtre
et godt egnet hjelpemiddel.
Eksempel:
Det er 12 = 0,50 = 50 % sannsynlighet
for f en jente og en gutt dersom vi fr to barn.
Det er 14 = 0,25 = 25 % sannsynlighet
for f frst en jente og s en gutt dersom vi fr to barn.
78
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
Hendinger
som ikke
overlapper
OG SANNSYNLIGHET
FAKTA
Dersom to hendingerA og B ikke kan ¢nne sted samtidig,
¢nner vi sannsynligheten for at minst en av hendingene skal skje,
som summen av sannsynlighetene. Enten skjer det ene, eller s skjer
det andre. Dette kan vi ogs kalle enten^eller-regelen.
PðA eller BÞ = PðAÞ + PðBÞ
Venndiagram
Et venndiagram er en mte vise alle
sammenhengene mellom to eller £ere
mengder p.
Sannsynligheten For at en hending A ikke skal skje, gjelder
for at en hending Pðikke AÞ = 1 PðAÞ:
ikke skal skje
Uavhengige
hendinger
Nr hendinger ikke virker inn p hverandre, kaller vi det
uavhengige hendinger.
Dersom A og B er uavhengige hendinger, kan vi ¢nne sannsynligheten
for at begge hendingene skjer, ved multiplisere sannsynligheten for at
den ene hendingen skal skje med sannsynligheten for at den andre
hendingen skal skje. Dette kaller vi bde^og-regelen, bde det ene
og det andre skal skje.
PðA og BÞ = PðAÞ PðBÞ
Avhengige
hendinger
Nr resultatet i andre trekning er avhengig av resultatet i frste
trekning, kaller vi det avhengige hendinger. Dersom sannsynligheten
i en trekning er betinget av en annen hending, kaller vi det ogs
betinget sannsynlighet.
Eksempel: Hvor stor er sannsynligheten for trekke to hjerter etter
hverandre fra en kortstokk?
I frste trekning er det 13 hjerter velge mellom av 52 kort.
13
Frste trekning: PðhjerterÞ =
52
Fr vi en hjerter i frste trekning, er det en hjerter mindre velge
mellom neste gang. Det er ogs et kort mindre i kortstokken.
12
Andre trekning: PðhjerterÞ =
51
13 12
Pðhjerter og hjerterÞ = 52 51
Ikke-uniform
sannsynlighet
Forsk der utfallene ikke er like sannsynlige.
Eksempel: Kaster vi en tegnestift, lander den ikke like mange ganger
med spissen opp som med spissen ned.
79