Sannsynlighet

Sannsynligheter angis som 1.

(desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje 2.

hver gang prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri vil skje og 100 % angir at noe skjer hver eneste gang

Forsøk med sannsynlighetsregning/Fra forsøk til sannsynlighet

Eks: Kaste mynt. To utfall: Mynt og Krone Dersom vi kaster mynten mange nok ganger ser vi at det blir sannsynlighet lik ½ for hvert av utfallene.

Kort skrivemåte:

Sannsynligheten for å få krone =

P

(krone) =1/2 Sannsynligheten for å få mynt =

P

(mynt) =1/2

Simuleringer (etterligning)

Simulering: etterligning av forsøk ved hjelp av datamaskin eller kalkulator

Uniform sannsynlighet

Uniform sannsynlighet: Alle utfall er like sannsynlige. Eks: Kaste terning. P(terningen viser 5) = 1/6 Eks: Kaste mynt: P(mynten viser krone) = ½

ETT UTFALL

Hvis alle de mulige utfallene i et forsøk er like sannsynlige, er P(ett utfall) = Eks: Trekker et kort fra en kortstokk (52 kort). Hva er sannsynligheten for å få ruter 8? Alle utfall er like sannsynlige  P(ruter 8) = 1/52

Hending: sammensatt av ett eller flere utfall Eks: Kortstokk. Å trekke spar er en hending. Det er 13 utfall Eks: Terning. Å få partall er en hending (toer, firer og sekser) Eks: Kortstokk. P(spar) = 13/52 = ¼. 13 kalles gunstige utfall. 52 kalles mulige utfall. P(spar) = gunstige utfall / mulige utfall = 13/52 = ¼

MANGE UTFALL/HENDING

Hvis alle de mulige utfallene er like sannsynlige, er sannsynligheten for en hending P(hending) = Gjelder også for hendinger med bare ett gunstig utfall. Det gir (som før). Eks: I en boks er det 5 røde og 5 blå kuler. Til sammen er det 10 kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke rød kule? P(rød) =

Sum av sannsynligheter ADDISJONSSETNINGEN

Hvis to hendinger A og B ikke har noen felles utfall, er P(A eller B) = P(A) + P(B). Gjelder også for flere enn to hendinger. Eks: Kortstokk Trekke ett kort og få enten hjerter eller kløver. P(hjerter eller kløver) = Eller P(hjerter) = 13/52 = ¼ P(kløver) = 13/52 = ¼ P(hjerter eller kløver) = P(hjerter) + P(kløver) = ¼ + ¼ = ½  NB! Går bra fordi vi ikke har overlapp

Eks: Kortstokk Sannsynlighet for å trekke hjerter. Setter opp en tabell: Hjerter Ikke hjerter I alt 13 39 52 P(hjerter) = 13/52 = ¼ P(ikke hjerter) = 39/52 = ¾ P(hjerter) + P(ikke hjerter) = ¼ + 3/4 = 4/4 = 1 P(ikke hjerter) = 1-P(hjerter) Dette gjelder for alle hendinger!

P(ikke A)

For en hending A er P(ikke A) = 1 - P(A) Eks: Kortstokk Trekker kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for å få ruter eller bildekort (knekt, dame, konge eller ess)? Det er 13 ruter og 16 bildekort. 13 + 16 = 29 kort som er ruter eller bildekort.  FEIL! Bildekort i ruter er telt med 2 ganger. Løsning: Lage tabell

Ruter Ikke ruter I alt Bildekort

4 12 16 Ruter eller bildekort: 4 + 9 + 12 = 25

Ikke bildekort

9 27 36

I alt

13 39 52 P(ruter eller bildekort) = 25/52

Multiplikasjonsprinsippet

Eks: Spise på restaurant Velge forrett og middag fra meny. 4 ulike forretter, 5 middagsalternativer. Hvor mange kombinasjoner er det?  4 * 5 = 20 ulike kombinasjoner

MULTIPLIKASJONSPRINSIPPET/FINNE ANTALL KOMBINASJONER

Hvis vi skal gjøre flere valg, finner vi antallet mulige kombinasjoner ved å multiplisere antallet alternativer ved hvert valg.

Eks: Multiplikasjonsprinsippet på flere like forsøk. Kast en mynt flere ganger. To utfall: Kron og mynt. Multipliser antall alternativer ved hvert valg.

Forsøk #

1 2 3 K

Antall utfall

2 2*2 2*2*2 2* … *2

Antall utfall som potens

2 1 2 2 2 3 2 k

FLERE LIKE FORSØK

I et forsøk er det n mulige utfall. Hvis vi gjør forsøket k ganger, blir det til sammen * *…*n = n^k mulige kombinasjoner

Produkt av sannsynligheter (uavhengige hendinger) PRODUKTSETNINGEN

Sannsynligheten for en bestemt kombinasjon av uavhengige hendinger finner vi ved å multiplisere sannsynlighetene for hver hending i kombinasjonen. Uavhengige hendinger: Tenk terning. Sannsynligheten for en hending påvirkes ikke av at den andre hendingen har inntruffet. For eksempel kaste en terning to ganger. Resultatet av første kast påvirker ikke resultatet i andre kast. Eks: Kaste terning noen ganger. Hva er sannsynligheten for ingen sekser eller minst én sekser? P(ingen seksere eller minst én sekser) = 1 P(ingen seksere) + P(minst én sekser) = 1 P(minst én sekser) = 1 – P(ingen seksere)

STIKKORDET MINST

Når vi gjør mange like forsøk, er P(minst ett gunstig utfall) = 1 – P(ingen gunstige utfall)

Ved flere forsøk, husk at det er flere kombinasjoner.

Eks: Kaste to terninger. Hva er sannsynligheten for at terningen viser 5 eller 6? Her er det to muligheter: 1.

2.

første terning viser 5 og andre terning 6 første terning viser 6 og andre terning viser 5 Rekkefølgen spiller en rolle og vi må ta med begge mulighetene når vi beregner sannsynligheten: P(terningen viser 5 eller 6) = P(5 og så 6 eller 6 og så 5) = P(5 og så 6) + P(6 og så 5) = P(5)*P(6) + P(6)*P(5) = 1/6*1/6 + 1/6*1/6 = 2/36 = 1/18.

Avhengige hendinger (produkt av sannsynligheter) AVHENGIGE HENDINGER

Andre hending avhengig av resultat i første hending. Eks: Sokker 16 blå sokker og 8 svarte sokker i en skuff. Rommet er mørkt. Vi skal trekke 2 sokker. Hva er sannsynligheten for at vi trekker 2 svarte sokker etter hverandre? 1. sokk: 8/24 = 1/3 Gjenstår 23 sokker, av de 7 svarte (dersom vi antar at vi fikk svart sokk i første trekk) 2. sokk: 7/23 (sannsynligheten for at andre sokk er svart når vi vet at første sokk er svart) Sannsynlighet for to svarte sokker etter hverandre: P(svart sokk og så svart sokk) = 8/24 * 7/23 = 1/3 * 7/23 = 7/69

HUSKEREGLER

Eller: legge sammen sannsynligheter Og: Gange sannsynligheter P(Minst én av noe) = 1- P(ingen)