Transcript Exercices variés sur Pythagore, Thalès, trigonométrie, fractions

RAPPEL DE COURS
Le théorème de Pythagore :
Données : ABC est un triangle
rectangle en A (en général, on connaît
les longueurs de 2 côtés)
Enoncé : Si un triangle ABC est
rectangle
en A alors le carré de l’hypoténuse est
égal à la somme des carrés des deux
autres côtés.
Conclusion : BC²=AB²+AC²
(ensuite on peut faire le calcul d’un
Côté manquant)
Le théorème de Thalès :
Données : (BM) et (CN) sont deux
droites sécantes en A
telles que (BC)//(MN). (en général,
on connaît au moins 3 longueurs)
On applique le théorème de Thalès
Conclusion : l’un des deux triangles
est un agrandissement de l’autre de
coefficient
(ensuite, on remplace par les
mesures connues puis avec les
produits en croix, on calcule
d’autres longueurs)
La réciproque du théorème de Pythagore
Données : ABC est un triangle dont on connaît les
longueurs des 3 côtés. [BC] est le plus long côté
On calcule : d’une part BC², d’autre part
AB²+AC² ; on compare les résultats et on
constate qu’ils sont égaux
Enoncé : Si, dans un triangle, le
carré du plus long côté est égal à
la somme des carrés des deux
autres côtés alors ce triangle est
rectangle
Conclusion : le triangle ABC est rectangle en A.
La réciproque du théorème de Thalès
Données : A,B,M sont des points alignés dans le
même ordre que A,C,N
(on connaît les 4 longueurs AB, AM, AC, AN)
On calcule : d’une part
d’autre part
(on compare les résultats et on
constate qu’ils sont égaux)
On applique la réciproque du théorème de
Thalès
Conclusion : comme les quotients sont égaux
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exercices d’application
Exercice 1 :
PAR est un triangle rectangle en A tel que AP=3,6 cm, AR=4,8 cm.
H est le point de la droite (PR) tel que (AH)(PR).
1. Faire la figure
2. Calculer la longueur du côté [PR]
3. Calculer l’aire du triangle PAR
4. Calculer, à 1° près, la mesure de l’angle
5. Calculer la longueur AH, arrondie au dixième
Exercice 2 :
L’unité de longueur est le centimètre.
On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB], le point S appartient au segment [AC] et on donne
AB=20, BC=21, RB=12, AS=11,6 et AC=29.
Ne pas refaire la figure.
1. Montrer que les droites (RS) et (BC) sont
parallèles.
2. Les droites (RS) et (AB) sont-elles
perpendiculaires ? Justifier la réponse.
Exercice 3 :
ABC est un triangle tel que AB=4,2 cm ; AC=5,6 cm et BC=7 cm.
1. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
2. Calculer son aire.
3. On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b, c
données en cm, l’aire de ce triangle est donnée par la formule
.
a) En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC.
b) Pouvait-on prévoir ce résultat ? Justifier la réponse.
Exercice 4 :
1) Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme d’une fraction la plus simple possible :
2) Ecrire les expressions D et E sous la forme
où a et b sont des entiers :
Exercice 5 :
1) Développer et réduire l’expression
2) Développer et réduire l’expression G=
Application : Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs,
des carrés est 4802.
et
dont la somme
CORRECTION
Exercice 1 :
1. 2. Dans le triangle PAR, rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : PR²=PA²+AR²
PR²=3,6²+4,8²
PR²=36
PR=
PR= 6 cm
3. L’aire de PAR se calcule :
4. Dans le triangle APR, rectangle en A, on applique la trigonométrie :
On utilise la touche Arctan de la calculatrice :
5. Dans le triangle APH, rectangle en H, on a :
Donc :
On fait le produit en croix, on trouve :
Donc AH 2,9 cm
Exercice 2 :
1. On sait que les points A,R,B sont alignés dans le même ordre que A,S,C
On calcule d’une part
car AR=AB-RB=20-12=8
D’autre part
On constate que
On applique la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.
2.
On va d’abord prouver que le triangle ABC est rectangle en B :
On calcule d’une part AC²=29²=841
D’autre part AB²+BC²=20²+21²=400+441=841
On constate que AC²=AB²+BC²
On applique la réciproque du théorème de Pythagore et on conclut que le triangle ABC est rectangle en C et
donc (AB) (BC)
On sait que (RS)//(BC) et (AB) (BC)
Or, si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre
Donc (RS) (AB)
Exercice 3 :
1. On calcule d’une part BC²=7²=49
D’autre part AB²+AC²=4,2²+5,6²=17,64+31,36=49
On constate que BC²=AB²+AC²
On applique la réciproque du théorème de Pythagore et on conclut que le triangle ABC est rectangle en A
2. Son aire est
3. a) D’après la formule, on a :
donc
b) Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l’hypoténuse et donc le
rayon du cercle circonscrit mesure la moitié de l’hypoténuse ; comme l’hypoténuse mesure 7 cm alors le
rayon du cercle circonscrit mesure 3,5 cm
Exercice 4 :
1.
2.
Exercice 5 :
1.
2.
Application : la somme des carrés des trois nombres consécutifs égale 4802 revient à
Donc
C'est-à-dire
Donc les trois nombres sont 39, 40, 41.
(vérification : 39²+40²+41²=1521+1600+1681=4802)