Transcript corrigés - Maths à Saint Martin

Devoir de mathématiques : sujet A
3ème 1
55 min
lundi 3 novembre 2014
Coefficient: 1
Calculatrice autorisée
. Exercice 1
(4 points) :
L’unité de longueur est le centimètre. On donne un triangle ABC tel que AB = 7, 8 ; AC = 7, 2 et
BC = 3.
2 Comme v =
d
d
, alors il vient (attention à ce que les unités soient homogènes) t =
=
t
v
2, 325
= 0, 15 h, soit 0, 15 × 60 = 9 min (car 1h=60 min).
15, 5
. Exercice 3
C ENTRES
(5 points) :
ÉTRANGERS
– 2008
1 Faire une figure en vraie grandeur.
2 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C .
Dans le triangle ABC , on calcule le carré du plus long côté : AB 2 = 7, 82 = 60, 84.
Puis on calcule la somme des carrés des deux autres côtés :
AC 2 + BC 2 = 7, 22 + 32 = 51, 84 + 9 = 60, 84.
On constate que AC 2 + BC 2 = AB 2 , le triangle ABC est donc rectangle en C d’après la
réciproque du théorème de Pythagore.
3
(a) Calculer la tangente de l’angle C
AB . On donnera le résultat au millième près.
CB
3
15
5
Dans le triangle ABC rectangle en C , on a tan(C
AB ) =
=
=
=
= 0, 42
C A 7, 2 36 12
au millième près.
(b) En déduire une valeur approchée de l’angle C
AB au degré près.
De la question précédente, on déduit à la calculatrice que C
AB = 23° au degré près.
. Exercice 2
(4 points) :
N OUVELLE C ALÉDONIE – D ÉCEMBRE 2007
La distance entre le phare P du cap N’Doua et le ponton O de la tribu de Ouara est égale à environ
4,65 km. Un bateau B se trouve au large de ce ponton.
La figure est donnée à titre indicatif et n’est pas en vraie grandeur.
Baie de Prony
P(hare)
ˆIle Ouen
O
La figure suivante n’est pas réalisée en vraie
D grandeur.
E
Le triangle OP B est rectangle en B et des visées ont permis

d’établir que l’angle OP
B est égal à 30°.
1/ Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton
O est égale à 2 325 m.
2/ Sachant que le bateau B se déplace à 15,5 km/h, déterminer le temps (en minutes) qu’il lui faudra pour rejoindre le ponton O.
On rappelle que
B(ateau)
vitesse =
distance
temps
1 Dans le triangle OP B rectangle en B , on a :
OB


sin(OP
B) =
, ainsi OB = OP × sin(OP
B ) = 4, 65 × sin(30) = 2, 325 km.
OP
Converti en mètres, on a ainsi OB = 2 325 m.
L’unité de longueur est le centimètre.
On donne AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4.
1/ Les droites (DE ) et (BC ) sont parallèles.
Calculer AD. On donnera sa valeur
exacte puis sa valeur arrondie au
dixième de centimètre.
A
F
B
C
2/ Soit F le point tel que C , B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6.
Démonter que les droites (E F ) et (AB)
sont parallèles.
1 Les droites (C E ) et (B D) sont sécantes en A, E et C sont deux points de (C E ) distincts de
A, B et D sont deux points de (B D) distincts de A, les droites (E D) et (BC ) étant parallèles,
on a, d’après le théorème de Thalès :
AD DE
AE
=
=
AC
AB
BC
AD
AE
=
, on obtient :
AB
AC
8 × 4 8 × 2 × 2 16
AB × AE
=
=
=
C’est la valeur exacte. Concernant la valeur apAD =
AC
6
2×3
3
prochée, on a :
De l’égalité
AD = 5, 3 cm à 10−1 près.
2 Les droites (EC ) et (F C ) sont sécantes en C , A et E sont deux points de (C E ) distincts de
C , B et F sont deux points de (F C ) distincts de C .
On calcule les rapports :
CA
6
3
CB
9
3
=
= et
=
= .
C E 10 5
CF
15 5
C A CB
On constate que
=
, comme les point A,E et C d’une part et A,D et B d’autre part,
CE CF
sont alignés dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites
(E F ) et (AB ) sont bien parallèles.
Devoir de mathématiques : sujet B
3ème 1
55 min
lundi 3 novembre 2014
Coefficient: 1
Calculatrice autorisée
. Exercice 1
. Exercice 2
P OLYNÉSIE – 2004
A
8c
m
5 cm
(4 points) :
1/ Tracer sur la copie un segment [E F ] de longueur 7 cm et de milieu O.
Tracer le cercle de diamètre [E F ] puis placer un point G sur le cercle tel que F
EG = 26°.
(4 points) :
[AH] est la hauteur issue du sommet A d’un triangle ABC .
ƒ
1/ Calculer la mesure de l’angle B
AH . On donnera une valeur ar-
40˚
rondie au degré près.
2/ Calculer la longueur HC . On donnera une valeur arrondie au
millimètre.
B
Sur ce dessin, les dimensions indiquées ne sont pas respectées.
H
G
E
α = 26◦
C
F
O
1/ Dans le triangle AB H rectangle en H , on a :
AH 5
ƒ
ƒ
= . Alors, à l’aide de la calculatrice on trouve B
AH = 51° au degré près.
cos(B
AH ) =
AB
8
2/ Dans le triangle AHC rectangle en H , on a :
HC
tan(ƒ
H AC ) =
d’où HC = AH × tan(ƒ
H AC ) = 5 × tan(40) = 4, 2 cm au millimètre près.
AH
(5 points) :
. Exercice 3
A MÉRIQUE DU N ORD - 2008
La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.
2/ Démontrer que le triangle E F G est rectangle en G.
Le triangle E F G est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre son plus grand côté [E F ], il
est donc rectangle en G (et [E F ] est alors son hypoténuse).
3/ Calculer une valeur approchée de la longueur F G, arrondie au millimètre.
Par rapport à l’angle donné, [F G] représente le côté opposé. On dispose donc de l’hypoténuse et d’un angle, on cherche le côté opposé, d’où l’idée d’utiliser le sinus.
FG
Dans E F G rectangle en G, on a : sin(F
EG) =
EF
Ainsi, F G = E F × sin(F
EG) = 7 × sin(26) = 3, 1 cm à 10−1 près.
 (justifier votre réponse).
4/ Déterminer la mesure de l’angle GOF
Nous verrons à la fin de l’année un théorème permettant de traiter cette question de façon
directe (le théorème de l’angle inscrit). En attendant, nous devons faire autrement.
Les triangles GOF et EOG sont isocèles en O (car OG, OE et OF sont des rayons du cercle
 = OFG
 et OEG
 = EGO.
 Comme EGO
 et OGF
 sont
circonscrit au triangle E F G), ainsi OGF
 = 90 − EGO
 = 90 − 26 = 64°.
complémentaires, il vient : OGF
La somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à 180°, dans le triangle OGF
on a donc :
 = 180 − (OGF
 + OFG)
 = 180 − 2 × 64 = 180 − 128 = 52°.
GOF
Les droites (AM) et (B N ) sont sécantes en
O.
Les dimensions sont en centimètres.
On donne O A = 3 ; OB = 2, 5 ; OM = 5, 4 et
ON = 4, 5.
B
A
1/ Montrer que les droites (AB) et (M N )
sont parallèles.
O
2/ On suppose que AB = 1, 2. Calculer la
distance M N .
3/ Choisir parmi les quatre nombres suivants :
a. 0,6 b. 1,8 c. 3,24 d. 3,6
M
N
celui
qui
est
égal
à
aire du triangle ONM
.
aire du triangle OAB
Sur la copie, indiquer ce nombre
(sans justification).
1/ Les droites (AM ) et (B N ) sont sécantes en O, A et M sont deux points de (AM ) distincts
de O, B et N sont deux points de (B N ) distincts de O.
On calcule les rapports :
OA
3
30 5
OB
2, 5 25 5
=
=
= et
=
=
= .
OM 5, 4 54 9
ON 4, 5 45 9
OB
OA
=
, comme les points A,O et M d’une part et B ,O et N d’autre
OM
ON
part, sont alignés dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les
droites (AB ) et (M N ) sont bien parallèles.
On constate que
2/ Les droites (AM ) et (B N ) sont sécantes en O, A et M sont deux points de (AM ) distincts
de O, B et N sont deux points de (B N ) distincts de O, les droites (AB ) et (M N ) étant
parallèles, on a, d’après le théorème de Thalès :
OA
OB
AB
=
=
OM ON M N
AB
OA
=
, on obtient :
M N OM
AB × OM 1, 2 × 5, 4
MN =
=
= 2, 16 cm.
OA
3
De l’égalité
3/ Le triangle OM N est un agrandissement du triangle O AB dans le rapport k =
9
9
81
. Les aires sont alors multipliées par k 2 = ( )2 =
= 3, 24.
5
5
25
Il fallait donc choisir la réponse c.
OM 5, 4
=
=
OA
3