Transcript corrige brevet blanc de mathematiques

CORRIGE BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES
Janvier 2014
Exercice n°1
(4 points)
On propose deux programmes de calculs :
Programme A
Programme B
- Choisir un nombre.
- Soustraire 1 à ce nombre.
- Elever le résultat au carré.
- Choisir un nombre.
- Elever ce nombre au carré.
- Soustraire au résultat le
double du nombre choisi au
départ.
- Ajouter 1 au résultat.
Margot affirme que si on choisit le même nombre de départ, les résultats des
programmes A et B seront égaux. A-t-elle raison ? Justifier.
Pour cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l’évaluation.
On appelle le nombre choisi au départ.
Avec le programme A, on obtient l’expression − 1 .
Avec le programme B, on obtient l’expression − 2 + 1.
Or − 1 = − 2 + 1 (identité remarquable n°2)
donc Margot a raison : les deux programmes conduisent toujours au même
résultat.
Exercice n°2
(8 points)
1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.
1
2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
D’une part, AC2 = 12,52 = 156,25
D’autre part, AB2 + BC2 = 7,52 + 102 = 56,25 + 100 = 156,25
On a AC2 =AB2 + BC2
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en B.
3) a. Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm.
b. Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm.
4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
D’une part,
= , = = D’autre part,
= = Les points C, F, A d’une part, et C, G, B d’autre part, sont alignés dans le même
ordre et
=
.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
5) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.
Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C.
Les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a
= =
,
FG × 5 = 2 × 7,5
FG = = = ×,
FG = 3cm
2
6) Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
On sait que les droites (AB) et (FG) sont parallèles
et que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Conclusion : Les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires.
Exercice n°3
(6 points)
Jean est propriétaire d’un champ, représenté par le triangle ABC ci-dessous.
Il achète à son voisin le champ adjacent, représenté par le triangle ADC.
On obtient ainsi un nouveau champ formé par le quadrilatère ABCD.
Jean sait que le périmètre de son champ ABC est de 154 mètres
et que BC = 56 m.
Son voisin l’informe que le périmètre du champ ADC est de 144 mètres
et que AC = 65 m.
De plus, il sait que AD = 16 m.
1) a) Justifier que les longueurs AB et DC sont respectivement égales à 33 m et
63 m.
On sait que le périmètre de ABC est égal à 154 m donc
= 154–" + "
= 154–56 + 65 = 154– 121 = 33$
On sait que le périmètre de ADC est égal à 144 m donc
%" = 144–" + %"
%" = 144–65 + 16
%" = 144– 81 %" = 63$
3
b) Calculer le périmètre du champ ABCD.
'()*+ = + " + "% + % = 33 + 56 + 63 + 16 = 168$
2) Démontrer que le triangle ADC est rectangle en D.
On admet que le triangle ABC est rectangle en B.
D’une part, AC2 = 652 = 4 225
D’autre part, AD2 + DC2 = 162 + 632 = 256 + 3 969 = 4 225
On a AC2 =AD2 + DC2
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ADC est rectangle en D.
3) Calculer l’aire du champ ABCD.
()*+ = ()* + (+*
()*+ =
()×)*
()*+ =
,,×-
+
+
(+×+*
-×-,
()*+ = 924 + 504
()*+ = 1428$
4) Jean veut clôturer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commerçant
habituel et tombe sur l’annonce suivante :
Grillage : 0,85 € par mètre
Combien va-t-il payer pour clôturer son champ ?
On sait que P
1 = 168m
168 × 0,85 = 142,8
Jean paiera 142,80 € pour clôturer son champ.
4
Exercice n°4
(6 points)
Pour ses prochaines vacances, Julien a choisi de partir en croisière.
Le départ a lieu le 10 juillet (entre 0 h et 12 h), du port de Fort-de-France.
Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de
Fort de France selon l’heure de la matinée (entre 0 h et 12 h) du 10 juillet.
1) Donner l’heure à laquelle la hauteur d’eau est minimale. Quelle est cette
hauteur ?
La hauteur d’eau est minimale à 5 h et elle est égale à 1,8 m.
2) Quelles sont les heures où la hauteur d’eau est de 2,20 m ?
La hauteur d’eau est de 2,20 m à 3h30 et à 6h30.
3) Le voilier ne peut sortir que si la hauteur d’eau dépasse 3,20 m.
Quelles sont les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier ?
La hauteur d’eau dépasse 3,20 m de 0h à 1h30 et de 7h40 à 12h.
Donc le voilier peut partir entre 0h et 1h30 ou entre 7h40 et 12h.
4) Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d’eau est
maximale. A quelle heure Julien va-t-il partir ?
La hauteur d’eau est maximale à 10h30.
5
5) On appelle 2 la fonction qui à une heure donnée, associe la hauteur d’eau dans
le port.
a) Par lecture graphique, déterminer l’image par 2 de 2. Interpréter ce résultat.
A(2 ; 3) appartient à la courbe donc l’image de 2 par 2 est 3.
Cela signifie qu’à 2h, la hauteur d’eau est égale à 3 m.
b) Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée du (ou des)
antécédent(s) de 2,40 par 2. Interpréter ces résultats.
B(3 ; 2,40) et C(6,7 ; 2,40)appartiennent à la courbe donc 3 et 6,7 sont les
deux antécédents de 2,40 par 2.
Cela signifie que la hauteur d’eau est égale à 2,40 m aux environs de 3 h et
de 6h42.
Rappel : 6,7 h = 6h + 0,7×60 min = 6h 42 min.
Exercice n°5
(7 points)
Partie A
Afin de mettre à jour son CDI, le professeur documentaliste du collège Henri Bosco a
passé plusieurs commandes de livres pour les recevoir la semaine de la rentrée des
classes.
Le tableau ci-dessous récapitule le nombre de livres reçus par jour durant cette
semaine.
1) a. En utilisant un tableur, quelle formule doit-on écrire dans la cellule G2 pour
obtenir le nombre total de livres reçus ?
Dans la cellule G2, il faut écrire la formule =SOMME(B2 :F2)
6
b. Calculer le nombre total de livres reçus.
182 + 73 + 103 + 126 + 91 = 575
575 livres ont été reçus.
2) a. En utilisant un tableur, quelle formule doit-on écrire dans la cellule H2 pour
obtenir le nombre moyen de livres reçus par jour ?
Dans la cellule H2, il faut écrire la formule =MOYENNE(B2 :F2)
b. Calculer le nombre moyen de livres reçus.
= 115
Le CDI a reçu en moyenne 115 livres par jour.
3) Lors de la commande du lundi 02/09, le professeur documentaliste a reçu deux
types de livres.
- Romans sur les pirates : 9,75 € l’unité.
- Des mangas : 11,35 € l’unité.
Sachant que des livres reçus le lundi sont des mangas, calculer le coût de cette
commande.
× 182 = 26
Le professeur documentaliste a reçu 26 mangas.
-
× 182 = 156
Le professeur documentaliste a reçu 156 romans.
26 × 11,35 + 156 × 9,75 = 295,1 + 1521 = 1816,1
Cette commande a coûté 1816,10€.
7
Partie B
Deux classes du collège ont répondu à la question suivante :
« Combien de livres avez-vous empruntés au CDI durant les 12 derniers mois ? »
Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
Classe n°1 :
1;2;2;2;2;3;3;3;3;3;3;3;3;6;6;6;6;6;7;7;7
Classe n°2 : Effectif total : 25
Moyenne : 4
Étendue : 8
Médiane : 5
1. Comparer les nombres moyens de livres empruntés dans chaque classe.
Il faut calculer le nombre moyen de livres empruntés de la classe n°1.
5×5,×65-×5×,
55655,
=
6
=4
Dans le classe n°1, le nombre moyen de livres empruntés est égal à 4 donc il est
égal à celui de la classe n°2.
2. Un « grand lecteur » est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus.
Quelle classe a le plus de « grands lecteurs » ?
Dans la classe n°1, 5 élèves ont emprunté 6 livres et 3 élèves ont emprunté 7 livres
donc il y a 8 grands lecteurs.
Dans la classe n°2, la médiane est égale à 5 donc il y a autant d’élèves qui ont
emprunté un nombre de livres inférieur ou égal à 5 que d’élèves qui ont emprunté un
nombre de livres supérieur ou égal à 5. Dans cette classe, il y a 25 élèves (effectif
impair) donc la médiane correspond au nombre de livres empruntés par le 13ème
élève. Il y a donc au moins 13 élèves qui ont emprunté 5 livres ou plus.
C’est donc dans la classe n°2 qu’il y a le plus de grands lecteurs.
3. Dans quelle classe se trouve l’élève ayant emprunté le plus de livres ?
Dans la classe n°1, le nombre maximal de livres empruntés est égal à 7.
Dans la classe n°2, l’étendue est égale à 8 donc il y a un élève qui a emprunté au
moins 8 livres (puisque la plus petite valeur possible est 0 si un élève n’a emprunté
aucun livre).
L’élève ayant emprunté le plus de livres est donc dans la classe n°2.
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Exercice n°6
(5 points)
Cinq affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune des affirmations, indiquer
si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.
Affirmation 1 : Le nombre 7
,
7
,
− 8× =7
,
=
9
=
9
−
8×
− 8 × est égal à − 6
1
×2
Donc cette affirmation est vraie.
6
Affirmation 2 : L’expression développée de 3 + 5 est égale à 3 + 30 + 25.
3 + 5 = 3 + 2 × 3 × 5 + 5
= 9 + 30 + 25
Donc cette affirmation est fausse.
IR n°1 avec : = 3 et ; = 5
Affirmation 3 :
Les droites (AB) et (FG)
de la figure ci-contre
sont parallèles.
D’une part,
<
,6,
= -,- = 0,625
<
D’autre part,
<
=
<
9<
<
=
,9-6
-6
=
,
-6
= 0,625
Les points B, E, F d’une part, et A, E, G d’autre part, sont alignés dans le même ordre
et
<
<
= <.
<
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
Donc cette affirmation est vraie.
9
Affirmation 4 : L’expression factorisée de 121 − − 7 est égale à 4 + 18 − .
121 − − 7 = 11 − − 7
IR n°3 avec : = 11 et ; = − 7
= =11 + − 7>=11 − − 7>
= 4 + 18 − Donc cette affirmation est vraie.
Affirmation 5 : L’équation 5 − 3 + 2 = −5 − 27 + 6 admet 0,5 comme solution.
Pour = 0,5
D’une part,
D’autre part,
5 − 3 + 2 = 5 × 0,5 − 3 × 0,5 + 2
= 2,5 − 1,5 + 2
= 2,5 − 3,5
= −1
−5 − 27 + 6 = −5 − 27 × 0,5 + 6
= −5 − 23,5 + 6
= −5 − 2 × 9,5
= −5 − 19
= −24
Les deux membres n’ont pas la même valeur
donc cette affirmation est fausse : 0,5 n’est pas solution de cette équation.
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