Transcript RESOUDRE REPONSES ASSERVISSEMENT PSI (rappel sup)

COURS
PSI 1/5
Réponses temporelles et fréquentielles
RESOUDRE
SLCI
des Systèmes Linéaires Continus Invariants
(rappel année 1)
Ce résumé ne remplace pas votre cours de première année qui continue à servir de référence.
Attention, la seule connaissance des formules n’est pas suffisante, vous devez vérifier votre capacité à :
Compétences liées à : mettre en œuvre une démarche de résolution analytique
Déterminer la réponse temporelle
Tracer le diagramme asymptotique de Bode
Relier la rapidité aux caractéristiques fréquentielles
Déterminer la réponse fréquentielle
Prévoir les performances en termes de rapidité
REPONSES TEMPORELLES
1
1-1 Réponse à une entrée échelon e0.u(t)) d’un système du premier ordre
( )
K : Gain

: Constante de temps (s)
()
(
)
Régime permanent
Caractéristiques courbe réponse :
Pente à l’origine : emploi du théorème de la valeur initiale
[
()
( )]
[
]
Valeurs en + : emploi du théorème de la valeur finale
I.
()
( )
()
[
]
s(t)
( )
Régime transitoire
Tangente à l’origine
e0
K.e0
0,95.K.e0
asymptote horizontale
0,63.K.e0
Performances en boucle ouverte :
Rapidité
:
Précision
:
t5% = 3.
(temps de réponse à 5%)
s = e0.(1-K)
3
t
Pour les autres entrées types, les résultats ne sont pas à connaitre mais vous devez savoir les trouver en
employant la même méthode.
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1-2 Réponse indicielle (entrée échelon unitaire : u(t)) d’un système du second ordre
K : Gain statique
ou z : coefficient d’amortissement
0 : pulsation propre non amortie
( )
A
l’origine
Pente à l’origine : emploi du théorème de la valeur initiale
[
( )
( )]
[
]
La tangente à l’origine est donc une droite horizontale.
Valeur à l’origine : emploi du théorème de la valeur initiale
(
Régime
établi
)
( )
[
]
s(t) en + : emploi du théorème de la valeur finale
( )
( )
[
]
Allure de la réponse pour toutes les solutions
CAS 1 z= > 1
s(t)
Les pôles de la fonction transfert sont 2 réels négatifs :
(
√
𝒔(𝒕)
(𝐊
)
(
𝐊 𝟎
𝐞𝒑 𝟐 𝐭
(
𝟐 √ 𝒛𝟐 𝟏 𝒑 𝟐
𝐞𝒑𝟏 𝐭
𝒑𝟏
√
)
)) 𝒖(𝒕)
𝟏
Régime permanent
Régime transitoire
CAS 2 z= = 1
Régime apériodique
Les pôles de la fonction transfert sont réels négatifs confondus :
t
( )
(
)
( )
CAS 3 z= < 1
Les pôles de la fonction transfert sont 2 complexes conjugués
( )
(
√
(
√
- pente nulle à l'origine et à l'infini
- lim s(t )  K
t 

2
- pseudopériode T 
√ 2
0 1 m
-k
dépassement Dk = Ke
1  m2
D1
K

√
Rapidité t5% : Il n’y a pas de formule simple 
on utilise un abaque : t5%. 0 = f( )
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( )
s(t)
 mk
ème
( )))
T
Régime pseudo périodique
t
T/2
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Pour z = 0,7 on a le meilleur temps de réponse
Pour 1 > z > 0,7 un seul dépassement < 5%  on considère que le système est non oscillant
Système amorti

hyper amorti
Le temps de réponse croit avec
Les pôles sont réels négatifs
=1
Système sous amorti
Racines complexes
La réponse est oscillante mais elle s’amortit.
Le dépassement peut être comparable à la
=0,7
hauteur de l’entrée.
1 seul
dépassement
La sortie ne présente pas de dépassement
Aucune oscillation de la sortie. Plus est grand plus le système est lent
REPONSES HARMONIQUES
2
2-1 Généralités
On étudie la réponse d'un système soumis en entrée à un signal sinusoïdal, en régime permanent.
e(t) = e0 sin t  la sortie s(t) = s0 sin( t + )
s0 et le déphasage  dépendent de .
On pose e = e0 ej
( )
(
t
)
et s = s0 ej.(
( )
( )
e0
s0
t +)
t(s)

𝑻
On note alors :
GAIN de la fonction de transfert : ( )
| (
)| = module de H(p)
PHASE de la fonction de transfert : ( )
( (
)) = argument de H(p)
𝟏
𝒇
𝟐

2-2 Représentation graphique des réponses : Diagramme de Bode
GAIN et PHASE sont représentés sur 2 graphes,
l’un en dessous de l’autre (analyse simultanée).
L’échelle horizontale correspond au logarithme
décimal de la pulsation sur 3 ou 4 décades.
GdB (dB)
G( )
GAIN : Le module est en dB, c'est-à-dire :
| ( )| | ( )|
log10
(rd/s)
décade
10-1
PHASE : La phase est en général graduée en degré.

( ( ))
Intérêt :
si H = H1 . H2 (fonctions de transfert en série) :
Asymptotes

1
10
102
(°)
( )
 20 log |H| = 20 log |H1| + 20 log |H2|
 Arg(H) = Arg(H1) + Arg(H2)
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2-3 Diagramme de Bode : gain pur et Intégrateur
E(p)
(
S(p)
)
( )
GAIN :
PHASE : ( )
E(p)
(
S(p)
)
( )
( )
GAIN :
( ) PHASE : ( )
( )
Droite de pente
-20dB / décade
20.log(K)
c
=K
0°
-90°
-90°
2-4 Diagramme de Bode du système du premier ordre
E(p)
(
)
(
(
𝐊
𝐇(𝐩)
𝟏
𝟏
𝐇(𝐣 )
S(p)
𝐣
( )
)(
(
)
)
( )
(
| (
( )
Asymptotes
des
2 diagrammes
(
)
)|
| (
( )
( (
)|
)
√(
))
(
)
GdB (dB)
( )
)
( )
( )
( )
asymptote oblique : le gain perd 20 dB par décade
( )
Valeurs
particulières
𝐩
)
à l’origine :
à l’infini :
𝐊
(
Pour
: pulsation dite de cassure
(
(
)
)
)
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(
√
)
( )
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2-5 Diagramme de Bode du système du second ordre
E(p) 𝐒(𝐩)
𝐄(𝐩)
𝐊
𝟏
𝟐
⬚
𝟎
𝐣
K : Gain statique
S(p)
𝟏
𝟐 (𝐣
𝟎
: Coefficient d’amortissement
0 : pulsation propre non amortie
)𝟐
Comme pour l’analyse temporelle, on distingue les cas suivants :
CAS 1
 1
La fonction transfert possède 2 pôles réels négatifs, distincts ou confondus et on en déduit :
E(p)
𝟏
K
𝟏
𝟏
𝟏
𝐣
𝟏
𝟐
S(p)
𝐣
0
1/
1/
1/
1
1/
1
2
2
+
GAIN (dB)
CAS 2
PHASE (°)
< 1
(
)
[
]
[
]
La fonction transfert possède alors 2 pôles complexes conjugués. On peut en déduire gain et phase :
| (
( )
)|
√[
-
0

= 0
(
) ]
: G  20 log K et   0
: (1 - u2)2 + 4 z2 u2  u4
: G = 20 log K/2z
et
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[
( (
]
 G  20 log K - 40 log u
 = -90°
))
(
[
)
(
) ]
  -180°
Page 5
| (
)|
√
=0 qui vaut :
qui n’existe que si :
Ar
z< 0.7
La courbe de gain présente un maximun :
r nommée pulsation de résonnance lorsque
GdB
20 log K
1>z> 0.7
1
√
r
0
Pente :
-40 dB /décade
A cette pulsation de résonnance, le gain dépasse le gain statique
K (amplitude de sortie > celle d’entrée). En remplaçant par r,
on obtient l’amplitude (pic) de résonnance :

(
)
[
√
0
].
-90°
z
-180°
Méthode pour le tracé des courbes : voir cours de première année.
Notes personnelles :
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