Transcript Etude fréquentielle

Réponse fréquentielle : analyse harmonique
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R épons e fr équent i el l e : anal ys e har moni que
On lui impose une entrée harmonique :
e(t) = E0.sin(ω.t)
avec ω imposé et connu (entrée)
Exemples : système du second ordre : K = 0,8 ; z = 0.05 ; ω0 = 150 rad/s
et
e(t) = sin(ω.t)
Régime transitoire
Régime permanent
2° exemple : ω = 31 rad/s
Régime transitoire
3° exemple : ω = 150 rad/s
Régime transitoire
Régime permanent
On observe l'amplitude relative (notée A) et le déphasage (noté ϕ) expérimentalement en régime permanent
1° exemple : ω = 10 rad/s
Régime permanent
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1. Problématique.
On observe aussi que le régime permanent peut s’écrire sous une forme harmonique de pulsation ω :
spermanent(t) = A.E0.sin(ω.t + ϕ)
d’où le nom de régime forcé
♦ Seul A (l’amplitude relative de la réponse), et ϕ (la phase de la réponse) sont à déterminer.
♦ A et ϕ sont fonction de ω et des caractéristiques du système linéaire (fonction de transfert).
En utilisant l’écriture complexe de e(t) et s(t), on montre qu’il suffit de remplacer la variable de Laplace p
dans la fonction de transfert par j.ω
ω : H(j.ω) est appelée la transmittance
On obtient ainsi
A(ω) = |H(j.ω)|
ϕ(ω) = arg(H(j.ω))
Nous allons pouvoir étudier l’évolution de l’amplitude et de la phase en fonction de la pulsation d’entrée.
2. Diagrammes de Bode et de Black : définitions.
Définitions.
•
Bode :
Gain en décibel : log(ω) → GdB = 20.log(|H(j.ω)|)
Phase en degré : log(ω) → ϕ = arg(H(j.ω))
|H| > 1
l’amplitude de la sortie est plus
grande que celle de l’entrée
|H| = 1
l’amplitude de la même
que celle de l’entrée
|H| < 1
l’amplitude de la sortie est plus
faible que celle de l’entrée
ω→0
ω=1
ω→+∞
Remarque : il n’est pas rare de tracer la courbe de phase et la courbe de gain sur le même graphe : en
effet les ordres de grandeur étant les mêmes près des points particuliers (pulsation de coupure) les courbes
sont proches (-300 dB < GdB < 50 dB, et –360° < ϕ < 0°).
Black :
Il est tracé à partir du diagramme de Bode. C’est une courbe 2 en 1 ! (comme le shampoing)
ϕ = arg(H(j.ω)) → GdB = 20.log(|H(j.ω)|)
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3. Propriétés.
Soit H(j.ω) = F(j.ω).N(j.ω)
On montre que
20.log(|H(j.ω)|) = 20*log(|F(j.ω)|) + 20.log(|N(j.ω)|)
Et que
arg( H(j.ω)) = arg( F(j.ω)) + arg( N(j.ω))
Pour obtenir les diagrammes de Bode ou de Black d’une fonction de transfert qui est le produit de deux
fonctions de transfert élémentaires, il suffit de faire la somme des diagrammes élémentaires.
4. Préalables.
Gain statique.
H(p) = K
GdB = 20.logK = cte/ω
alors
ϕ = 0° car H(j.ω) est un réel pur.
Remarque : la courbe de Black donne un point (0 , 20.logK)
Dérivée.
H(p) = p
alors
ϕ = 90°
GdB = 20.[logω]
Black
Bode
ω&
Droite de pente 20
dB / décade
Intégrale.
1
H(p) = p
alors
GdB = -20.[logω]
Droite de pente -20
dB / décade
ϕ = -90°
Black
Bode
ω&
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Premier ordre de gain statique unitaire.
H(p) =
Diagramme asymptotique : on note ωc =
1
la pulsation de coupure.
τ
1° cas : ω << ωc
H(j.ω) ≈ 1
2° cas : ω >> ωc
H(j.ω) ≈ -j.
Valeur particulière : ω = ωc
1
H(j.ωc) = 1 + j
•
1
1 + τ.p
Diagramme de Bode pour τ = 0.2
GdB
ωc
ω
Gdb = 0
et
ϕ = 0°
Gdb = 20.logωc - 20.logω
et
ϕ = -90°
Gdb = -3 dB
et
ϕ = -45°
ωc = 5
-3 dB
Droite de pente 20 dB / décade
ϕ
•
Diagramme de Black pour τ = 0.2
-3 dB
ω&
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5. Diagrammes de Bode et de Black de l’oscillateur.
Second ordre de gain statique unitaire.
1
H(p) = 1
2.z
.p² +
.p + 1
ωn²
ωn
• 1° cas : z > 1 : dans ce cas, la fonction de transfert est le produit de deux fonctions de transfert du
premier ordre :
Rappels :
H(p) =
1
(1 + τ1.p).(1 + τ2.p)
ωn² =
avec
1 1
1 τ1 + τ2
. et z = 2 .
τ1 τ2
τ1.τ2
Il est donc possible d’appliquer la règle de superposition.
Il existe deux pulsations de cassure (coupure) : ω1 =
Exemple pour τ1 = 0.1 et τ2 = 10
1
1
et ω2 =
τ1
τ2
ωn = 1
ω2 = 0.1
ω1 = 10
Droite de pente -20
dB / décade
Bode
Droite de pente -40
dB / décade
ω2
ωn
ω1
ω&
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• 2° cas : z < 1
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H(j.ω) =
1
ω
  ω ²
1 -    + j.2.z.
ωn
 ωn 
Diagramme asymptotique :
ω << ωn
H(j.ω) ≈ 1
ω >> ωn
H(j.ω) ≈ -
ωn²
ω²
Valeur particulière : ω = ωn
Gdb = 0 dB
et
ϕ = 0°
Gdb = 40.logωc - 40.logω
et
ϕ = -180°
1
H(j.ωn) ≈ -j.2.z
et
ϕ = -90°
Pulsation de résonance ωr : |H(j.ωr)| = Amax
on cherche ω telle que
dD
=0
dω
⇔
sachant que |H(j.ω)| =
ω=0
1
1
=
D
ω²
 ω² ²
1  + 4.z².
ωn²
 ωn²
Alors Amax =
1
2.z. 1 - z²
ωr = ωn. 1 - 2.z² pour z < 0.7
Exemples : Bode pour ωn = 1 et z = 0.15 ou z = 0.975
ωr ≈ ωn car z < 1
Facteur de
résonance Amax
z = 0.15
z = 0.975
Droite de pente -40
dB / décade
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Black pour ωn = 1 et z = 0.15 ou z = 0.975
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ωn ωr
Facteur de
résonance Amax
ω&
Remarque : en automatique, l’usage veut que le facteur de résonance de dépasse pas 2.3 dB
Mise en garde : attention de ne pas confondre le facteur de résonance (réponse en fréquence) avec le
dépassement (réponse temporelle à un échelon) ainsi que les deux courbes.
5.1.1 Premier ordre à la pui ssance n.
H(p) = (1 + τ.p)n
Bode : GdB
Pente de 20.n dB par décade
Asymptote à 90.n degrés
Black
Bode : ϕ
Déphasage de 90.n degrés
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