Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase
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A. Objectifs de la séquence:
à l'issue de la séquence, il faut être capable de:
•Identifier l’ordre et la nature d’un filtre
•Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode d’une
fonction de transfert complexe.
B.)Rappel
B.1)Les nombres complexes
Soit un nombre complexe défini par N=a+jb
2
Le module de N est donné par:
L’argument de N est donné par:
2
N a b
b
Arg ( N ) arctg ( )
a
C) Notion de filtre
V1
Filtre
V2
C.1) Définition
Soit un signal f(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales.
Un Filtre est un dispositif dont la fonction de transfert permet d’isoler
Certaines composantes de fréquences indésirables.
Suivant la valeur des fréquences transmises, on distingue essentiellement:
les filtres passe haut
les filtres passe bas
Qui isolent les signaux hautes fréquences
Qui isolent les signaux basses fréquences
les filtres passe bande
Qui favorisent les signaux situés dans une bande
de fréquences
C.2) Propriétés
L’étude d’un filtre consiste à:
Définir sa fonction de transfert
Vs
T
Ve
Etudier l’évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquence
du signal d’entrée.
Représenter (diagrammes de Bode) les variations du gain et du déphasage
du signal de sortie par rapport au signal d’entrée en fonction de la fréquence
L’ordre d’un filtre détermine son efficacité.
Un filtre peut être suivant sa structure :
PASSIF (il n’y a aucune amplification du signal d’entrée)
ACTIF (il peut y avoir amplification du signal d’entrée)
Remarque:
Une octave de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 2F
Une décade de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 10F
D) Rappel sur le diagramme asymptotique de BODE
On appel forme de Bode, toute fonction de transfert qui peut se mettre sous la forme
(1 j )(1 j )....(1 j )
1
2
n
T K.
L
( j. ) .(1
)(1 j
)...(1 j
)
'1
'2
'n
D.1) Courbe de Bode de fonctions de réponses fréquentielles simples
K;
1
1
;
;
1
j
.
( j. ) L 1 j.
0
0
Gain en dB
La constante K
20.log10 KB
Phase
log10
0°
-180°
KB>0
log10
KB<0
1
j
a) Gain Si L>0
1
j L
)
+30
L
+20
GAIN en dB
Le terme
20. log10 (
+40
+10
0
L=1
-10
-20
L=2
-30
L=1
L=2
L=3
L=2
L=1
-40
0.1
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
10
360°
270°
b) phase Si L>0
Phase
180°
90°
0°
L=1
L=2
L=3
-90°
-180°
-270°
Arg (
-360°
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
1
j L
)
10
1
j
c) Gain Si L<0
)
+10
0
-10
-30
-40
0.1
L=-1
L=-2
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
10
360°
L=-3
L=-2
L=-1
270°
d) phase Si L<0
180°
Phase
L=-2
L=-3
L=-1
j L
+20
-20
L=-2
L=-1
1
+30
L
GAIN en dB
Le terme
20. log10 (
+40
90°
0°
-90°
-180°
-270°
Arg (
-360°
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
1
j L
)
10
1
20 . log(
1
Le terme
+30
1 j.
0
GAIN en dB
+10
0
-10
G=0dB
-30
-40
G→-∞ avec une pente
de -20dB/dec
0.1
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
Arg (
Les repères sont :
(
0
5
) et (5. 0)
1
arg(
) 0 0 0
1 j
0
1
arg(
) 0 90 90
1 j
0
Phase
Caractéristique de la phase
0
)
-20
0
0
0
+20
Caractéristique du gain
0
1 j
+40
10
1
1 j
0
)
0°
45°
-90°
0.2
0
5
0.3
frequence
1
2
3
5
5. 0
10
20 . log(1 j
+40
1 j
0
+30
+20
GAIN en dB
Le terme
Caractéristique du gain
0
)
0
+10
0
-10
-20
G=0dB
0
-30
-40
G→+∞ avec une pente
de +20dB/dec
0.1
0.2
0.3
frequence
1
2
3
5
10
+90°
Caractéristique de la phase
0
0
arg( 1 j
0
5
) et (5. 0)
Phase
(
Les repères sont :
45°
0°
) 0
0
arg( 1 j
) 90
0
Arg (1 j
0.2
0
5
0.3
frequence
1
2
3
5
5. 0
)
0
10
E)Exemples
E.1) Etude d'un filtre passif R-C Passe-bas du 1ere Ordre
R
10K
e
F
C
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la
mettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
s
E.2) Filtre actif passe bas du 1er ordre
R2
10K
1F
R1
C2
-
1K
Ve
+
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la
mettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
Vs
E.3)Filtre passe-bande 2*1ER ordre
R2
C2
10K
1uF
R1
10K
C1
1uF
Ve
-
+
Calculer la fonction de transfert de ce montage et la
mettre sous la forme de Bode
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
Vs
Remarque:
L'utilisation des filtres passifs est limitée à 10hz du côté des basses
fréquence alors qu'il deviennent plus performant lorsque la fréquence
d'utilisation dépasse 1 Mhz.
Les filtres actifs peuvent être utilisés à moindre coût lorsque la
fréquence d'utilisation est inférieur à 100kHz (l'utilisation d'amplificateur
courant , 081, 741 , limite cette fréquence à une dizaine de kilohertz.)
F) Exercice :
Soit la fonction de transfert suivante
F ( j. )
1 j
j..(1 j
( )²
2
2
0.5
)(1 j
4
)
Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?
Courbe de bode du gain
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
0.1
-20.0
-40.0
-60.0
1.0
10.0
100.0
G(1/jw)
G(1/(1+jw/.5))
G(1/(1+jw/4))
G(1-(w/2)^2)
Somme
Courbe du dephasage
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
0.1
-50.0
-100.0
-150.0
1.0
10.0
100.0
φ(1/jw)
φ(1/(1+jw/.5))
φ(1/(1+jw/4))
φ(1-(w/2)^2)
Somme des φ
G.)Formes normalisées des filtres du 2eme ordre
Passe-bas
Vs
Ve
H0
1 j 2. m
²
j2.
0
0²
H0
Vs
0
²
Ve
1 j 2. m
j2.
0
0²
j.2. m.
Passe-bande
²
H0
Vs
0
²
Ve 1 j 2.m j 2 . ²
0
0²
j ².
Passe-haut
1.
m=coefficient d’amortissement
•
2.
m<0.7 les caractéristiques passent par un maximum
ω0=pulsation propre du système
On peut remarquer que pour m=.707 , la pulsation propre est égale à la
fréquence de coupure.
E.1.)Filtre passe bas du 2eme ordre
C3
b R1 a
Ve
R2 c
C4
+
V+
VS
•Calculer la fonction de transfert du filtre montrer qu'elle peut se mettre sous la
forme passe-bas:
Vs
Ve
H0
1 j 2. m
²
j2.
0
0²
•Exprimer H0,ω0,m
•Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?.
20log(H0)
E.2.)filtre passe-bande du 2eme ordre
+40
H0
Vs
0
²
Ve
1 j 2. m
j2.
0
0²
+30
j.2. m.
GAIN en dB
+20
Les courbes réelles sont :
20.log(2mH0)
+10
0
-10
-20
ω<ω0
-30
-40
Vs
j.2m.
.H 0
Ve
0
0.1
si 0 alorsG 20.log(2mH0)
ω1
0.2
0.3
frequence
ω2
1
2
3
5
10
1
2
3
5
10
+90°
f0
0
Q
2mj
. H0
2 1
Vs
2mH 0 f
0
²
Ve
j² .
J.
0²
0
Phase
On définit pour ces filtre un coefficient de qualité
ω > ω0
0°
si
0 Qalors
20.log(2mH
0) passante étroite.
Un
coefficient
élevéG
correspond
à une bande
0.2
0.3
frequence