Transcript Circuit

« CIRCUIT »
ou début d’automatique,
appliqué à des circuits électriques
Enseignement pour public ayant déjà eu la remise à niveau
Sur chaque thème, ou chapitre : rapides rappels, applications
dans le domaine e.e.a.
Balayage rapide, (4 séances d’1 heure 30)
en cohérence avec le contenu des T.D. et T.P.
Objectifs :
- remettre à niveau pour une exploitation immédiate (TD, TP)
et ultérieure (ERII3, ERII4…),
- identifier ce qui fondamental et qui doit être connu sans
aucune lacune ni ambiguïté
« CIRCUIT »
Avis aux utilisateurs de ce document power point :
- Lancer le diaporama (touche F5)
- Lire attentivement les pages progressivement,
par action de la touche ->
(ou de la touche flèche vers le bas)
- A chaque point d’interrogation tournant :
une question, ou une application numérique, est demandée.
Alors, marquer un temps d’arrêt pour répondre…
Et continuer après la réflexion
« CIRCUIT »
Transformées de Laplace
Analyse harmonique
Quadripôles
TRANSFORMEES
DE
LAPLACE
Définition, propriétés
Application à l’électronique
TRANSFORMEES
DE
LAPLACE
Définition, propriétés
Application à l’électronique
La transformée de Laplace consiste à étudier le comportement des
systèmes par une représentation symbolique.
La variable n'est plus le temps t mais p.
A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le
monde symbolique.
Cette fonction est appelée : image de f(t).
Inversement f(t) est appelée : originale de F(p).
Ce passage du monde réel au monde symbolique est défini par la
transformée de Laplace suivante:
Sous réserve de convergence
Remarque : il existe des conditions d’existence de F(p). Toutes les fonctions f(t)
n’ont pas une transformée de Laplace. Et réciproquement, toutes les fonctions
F(p) ne sont pas des transformées de Laplace de f(t).
Transformées de Laplace des principaux signaux
Fonction de Heavyside
= 1 si t > 0
= 0 si t < 0
appelée échelon unité,
qui s’écrit usuellement
u(t)
ou
Г(t)
Définition :
Rampe unitaire
= t si t > 0
= 0 si t < 0
Par définition
Intégration par parties
:
Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du
u=t
dv = exp (-pt) dt
du = dt
v = -(1/p) exp (-pt)
=
[0 – 0]
[0 – 1]
1
p2
Fonction Exponentielle
= exp (at) si t > 0
= 0 si t < 0
Par définition
=
Il faut que (a-p) soit < 0 pour que lim exp(a-p)t
t->∞
Dans ces conditions, F(p) =
1 [0 – 1]
(a-p)
=
converge
1
p-a
Fonction sinus
= sin (ωt) si t > 0
= 0 si t < 0
Par définition
Intégration par parties
u = sin (ωt)
dv = exp (-pt) dt
[0 – 0]
:
Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du
du = ω cos (ωt) dt
v = -(1/p) exp (-pt)
Fonction sinus, suite
F(p) =
Intégration par parties
Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du
:
du = - ω sin (ωt) dt
v = -(1/p) exp (-pt)
u = cos (ωt)
dv = exp (-pt) dt
On arrive à :
[0 – 1]
-p
1
=
-
p
F(p) =
p
1
p
D’où :
= F(p)
ω
ω
(
F(p) =
1
ω
-
F(p)
p
p
ω
p2 + ω2
)=
ω
p2
ω2
-
p2
F(p)
Autre calcul, bien plus rapide :
On a vu que :
L { exp –at } =
1
p+a
Reprenons cette écriture en remplaçant
a par jω, avec ω constante :
L { exp -jωt } =
1
p-jω
= 2 2
p+jω p +ω
p
jω
= 2 2 - 2 2
p +ω
p +ω
Or : exp -jωt = cos ωt – j sin ωt
L { exp -jωt } = L { cos ωt - j sin ωt }
Et, par linéarité : L {exp -jωt} ) = L{cos ωt} – j L{sin ωt}
Par identification :
p
L{cos ωt} =
p2+ω2
L{sin ωt} =
ω
p2+ω2
déjà vu
Il existe des formulaires de transformées de Laplace.
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Linéarité :
Il suffit de se rappeler de la définition…
Par développement
et l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales.
Très utilisée lors des calculs des transformées
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace d’une dérivée
Intégration par parties :
Appliquons à
notre calcul
u = exp (-pt)
dv = f’(t) dt
Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du
du = (-p) exp (-pt) dt
v = f(t)
= F(p)
L {f’(t)} = p F(p) – f(0+)
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace d’une dérivée, suite
£ {f(t)} = F(p)
£ {f’(t)} = p F(p) – f(0+)
£ {f’’(t)} = p [ p F(p) – f(0+) ] – f’(0+)
£ {f’’’(t)} = p {p [p F(p) – f(0+) ] – f’(0+)} – f’’(0+)
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace d’une intégration
u variable d’intégration
Posons :
soit :
=0
Par la page
précédente :
D’où :
or :
L {∫f(t)} =
F(p)
p
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème du retard
f(t) u(t)
f(t-) u(t-)
La transformée de Laplace de la fonction retardée est :
Posons x = t-
Changement de variable
La transformée s’écrit :
=
dx = dt
t = x +
Quand t parcours  à l’infini,
x parcours de 0 à l’infini
=
x : variable d’intégration
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de l’amortissement, ou multiplication par l’exponentielle
Ecriture de F(p) dans laquelle on a remplacé p par p+k
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
Si elle existe,
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformée de Laplace d’une fonction périodique
une fonction f(t) périodique de période T, faite de motifs g(t)
G(p) est la transformée de Laplace de g(t),
alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit :
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de convolution
La convolution de deux fonctions f(t) et g(t),
est la fonction h(t) définie par
que l’on note h(t) = f * g .
Cette opération est commutative, c’est-à-dire que
On a :
Rappel :
la transformée de Laplace d’un produit
n’est pas
le produit des transformées de Laplace !
Transformées inverses de Laplace
Rappel :
A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le
monde symbolique.
Cette fonction est appelée : image de f(t).
Inversement f(t) est appelée : originale de F(p).
Comment retrouver f(t) à partir de F(p) ?
1) Par lecture des tables de transformées
2) et/ou par exploitation des propriétés
3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en
fractions rationnelles)
4) par la méthode des résidus (vue plus tard)
TRANSFORMEES DE LAPLACE
Définition, propriétés
Application à l’électronique
Application 1 :
Circuit LR attaqué par un échelon de tension
On pose :
E(p) = L{e(t)}
S(p) = L{s(t)}
I(p) = L{i(t)}
Ecrire les équations qui régissent le circuit,
sous forme temporelle, et sous forme de Laplace.
e(t) = uL(t) + uR(t)
uL(t) = L di/dt
uR = R i(t)
E(p) = UL(p) + UR(p)
UL(p) = L p I(p)
UR(p) = R I(p)
E(p) = (R + L p) I(p)
On applique en e(t), un échelon de tension, d’amplitude Eo.
Condition initiale nulle. Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t).
E(p) = Eo/p
i(t) = ?
i(t) = ?
Il nous faut trouver
l’original de I(p)
1) Par lecture des tables de transformées
On connaît : l’original de 1/p : u(t) l’original de 1/(p+a) : u(t) exp (-at)
Mais on n’a pas l’original de 1/[p(p+a)]
ou du moins on suppose que l’on ne l’a pas…
2) et/ou par exploitation des propriétés
3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en
fractions rationnelles)
Eo
A= R
Eo
B = -R/L
On prend l’original
i(t) = Eo/R [ 1-exp (–t/) ] u(t)
s(t) = R i(t)
S(p) = R I(p)
 = L/R
s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t)
e(t) = uL(t) + uR(t)
uL(t) = L di/dt
uR = R i(t)
E(p) = Eo
p
Récapitulation :
Equations temporelles,
E(p) = (R + L p) I(p)
Transformation en Laplace
Résolution sous Laplace
s(t)
Retour en temporel
Eo
À t -> infini, courant continu,
di/dt = 0 et s = e = Eo
Tension s(t) = R i(t) :
t
s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t)
uL(t) = L di/dt
uR = R i(t)
Rappel :
Résolution en temporel
L i’ + R i = e(t)
1- On intègre d’abord l’ESSM : L i’ + R i = 0
i'
R

i
L
or
i'
 (ln i)'
i
R
ce qui s' écrit : ln i  t  C , soit
L
i'
et  dt  ln i , à une constante près
i
i  K exp [-
R
t]
L
i(t) = Io exp [-t/]
avec  = L/R
2- On recherche une solution particulière :
On recherche i(t) qui satisfasse : L i’ + R i = constante = Eo
i(t) de la forme = constant répond à cette équation
i(t) = Eo/R
3- La solution complète est :
la solution de l’ESSM + solution particulière
i(t) = Io exp [-t/] + Eo/R
4- La constante d’intégration Io est alors calculable par la condition initiale
À t = 0, i(t) = 0, soit : 0 = Io exp [-t/] + Eo/R
Il vient : i(t) = Eo/R (1-exp [-t/])
=> Io =- Eo/R
Par s(t) = R i(t) :
s(t) = Eo (1-exp [-t/])
pour t > 0
Application 2 :
Circuit LR attaqué par une rampe de tension
On applique en e(t), une rampe de tension, d’expression kt.
Condition initiale nulle.
Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t).
1
p2
Rappel : transformée de Laplace de la rampe unitaire :
L’entrée e(t),qui est une rampe kt,
a comme transformée de Laplace :
E(p) = k 2
p
Les équations de maille sont inchangées, et on conserve :
Il nous faut trouver l’original de cette expression pour avoir i(t)
Décomposition
en éléments simples
=
B
C/L
A
p2 + p + p+R/L
=
B
C
A
p2 + p + R+Lp
Supposons A, B, C calculés
Original terme à terme
i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t)
ou « pour t > 0 »
Décomposition en éléments simples
=
B
C
A
p2 + p + R+Lp
Parmi les différentes méthodes, l’identification après
réduction au même dénominateur
A(R+Lp) + Bp (R+Lp) + C p2
p2
D’où
(R + Lp)
=
p2(BL+C) + p (AL + BR) + AR = k
=0
=0
=k
C=-BL
B=-AL/R
A = k/R
B = - k L / R2
C = k L2/R2
A = k/R
B = - k L / R2
C = k L2/R2
i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t)
i(t) = [ (k/R) t - k L / R2 + k L/R2 exp (-t/)] u(t)
i(t) = (k/R) {t - L / R + L/R exp (-t/) } u(t)
i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t)
D’où le tracé
 = L/R
i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t)
R i(t) = k { t -  [1- exp (-t/)] } u(t)
R i(t)
R i(t)
droites parallèles : pente k
e(t)

À t tendant vers 0 : i(t) = 0
À t tendant vers l’infini :
t
Tension R i(t) :
k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0
k {t - } u(t)
i(t) se comporte comme :
R
Pour t grand, la tension Ri(t) se comporte comme : k {t - } u(t)
e(t) = uL(t) + uR(t)
uL(t) = L di/dt
uR = R i(t)
Récapitulation :
Equations temporelles,
E(p) = k 2
p
E(p) = (R + L p) I(p)
Transformation en Laplace
Résolution sous Laplace
Retour en temporel
Tension s(t) = R i(t) :
k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0
Application 3 :
Circuit RC attaqué par une impulsion de courant Io de durée T
Forme du courant i(t)
montage
Forme du courant i(t)
montage
Utiliser le formalisme de Laplace pour exprimer I(p),
transformée de Laplace de i(t).
Io
i(t) =
I(p) =
p
-
Io
p
exp (-Tp)
Transformées de Laplace terme à terme
Io
Io u(t)
p
-
Io
Io u(t) retardé de T
soit
Io u(t-T)
exp (-Tp)
p
Théorème du retard
Remarque intéressante :
Pour cet exemple simple,
I(p) peut aussi se déterminer
par la définition :
Nous avons calculé
Io
I(p) =
p
Io
-
p
exp (-Tp)
Il nous faut
maintenant uc(t)
Par loi d’Ohm
aux bornes d’un condensateur
Uc(p) =
Uc(p) =
Io
Cp2
-
Io
1
I(p)
Cp
Sans C.I.
exp (-Tp)
Cp2
On finit en
recherchant
l’original de UC(p)
Io
Uc(p) =
Cp2
Io
-
exp (-Tp)
Cp2
D’où terme à terme :
uc(t) =
Ce qui signifie :
Io
C
Io
C
t u(t) -
t
pour t > 0,
nul ailleurs
Io
(t-T) u(t-T)
C
Io
C
(t-T)
Pour t > T,
nul ailleurs
uc(t) =
Io
C
t u(t) -
Io
C
(t-T) u(t-T)
Construction de uc(t) :
Io
t
C
pour t > 0,
nul ailleurs
Io
C
(t-T)
pour t > T,
nul ailleurs
Io
C
T
Charge à courant constant
Courant nul,
le condensateur
reste chargé
Récapitulation :
i(t) = Io u(t) - Io u(t-T)
Equations temporelles,
Transformation en Laplace
Résolution sous Laplace
I(p) =
Retour en temporel
Io
p
Uc(p) =
uc(t) =
Io
C
t u(t) -
Io
Cp2
Io
C
Io
p
-
exp (-Tp)
Io
exp (-Tp)
Cp2
(t-T) u(t-T)
Décomposition en éléments simples
N(p)
D(p)
degré de D(p) > degré de N(p)
Cas 1 : toutes les racines de D(p) sont réelles et différentes (« pôles simples »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a) (p+b) (p+c)…
a, b, c, réels
N(p) =
C
A + B
Alors :
+
[il y a autant de termes que le degré de D(p)]
p+a
p+b
p+c
D(p)
Cas 2 : des racines de D(p) sont réelles et égales (« pôles multiples, de mutiplicité n »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a)n (p+b) (p+c)…
a, b, c, réels
A1
A2
A3
An
Alors :
N(p) =
C
+
+… +
+ B
+
+
p+a (p+a)2
p+b
p+c
D(p)
(p+a)3
(p+a)n
Cas 3 : des racines de D(p) sont complexes (pôles « complexes »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b) (p+c)…
Alors :
N(p)
D(p)
Ap+B
C
=
+
p+c
p2+ap+b
Tel que le discriminant Δ est < 0
Cas 4 : des racines de D(p) sont complexes et multiples
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b)n (p+c)…
A1p+B1
A2p+B2
Anp+Bn
C
N(p)
Alors :
+
+..+
+
p+c
D(p) = p2+ap+b (p2+ap+b)2
(p2+ap+b)n
Application 4 :
Circuit d’ordre 2
1) Interrupteurs dans cette position, donner courants, tensions d’équilibre
(régime permanent)
iL1 = iL2 = 0 (branches ouvertes)
uC = 1 V
Cela permet de placer des conditions initiales
pour la question suivante ;+)
2) On commute les 2 interrupteurs simultanément.
Calculer i(t) circulant dans L1.
Fléchons courants, tensions :
uR1
uL1
uL2
i(t)
i2
i-i2
ve
uR2
uC
Etablissons les lois des mailles, lois des noeuds
ve = uR1 + uL1 + uc
uL1 = L1 di/dt
uR1 = R1 i
ve = R1 i + L1 di/dt + uC
(1)
uc = 1/C ∫ (i-i2) dt
duC/dt = (1/C) (i-i2)
(2)
uC = uR2 + uL2
uR2 = R2 i2
uL2 = L2 di2/dt
uC = R2 i2 + L2 di2/dt
(3)
Transformées de Laplace
Rappel :
L {f’(t)} = p F(p) – f(0+)
(1) ve = R1 i + L1 di/dt + uC
Ve(p) = R1 I(p) + L1 [ p I(p) – i(0) ] + UC(p)
(2) duC/dt = (1/C) (i-i2)
p UC(p) – uC(0) = (1/C) [I(p) – I2(p)]
(3) uC = R2 i2 + L2 di2/dt
UC(p) = R2 I2(p) + L2 [ p I2(p) – i2(0) ]
Avec, d’après la question précédente : i(0) = 0 A , i2(0) = 0 A , uC(0) = 1 V
Éliminons I2 :
Par (3) : I2 =
UC(p)
R2+L2p
Mis dans (2) :
p UC(p) – 1 = (1/C) [ I(p) -
UC(p)
]
R2+L2p
On trouve alors une expression de UC(p) :
( I(p)/C + 1) ( R2+L2p ) C
UC(p) =
p2 L2 C + R2 C p + 1
Que l’on place dans (1), pour aboutir à :
I(p) =
Ve(p)
[ p2 L2 C + R2 C p + 1 ] ( R 1 + L1 p )
Transformée de Laplace de i(L1)
( R2+L2p )
C
[p2 L2 C + R2 C p + 1] + R2 + L2p
Conséquence
de la C.I.
Application numérique
I(p) =
(1/p)
Ve(p) = 1/p (l’interrupteur crée un échelon de 1 V)
[ p2/2 + 2p + 1 ] – (4 + p) (1/2)
(4+p)
[ p2/2 + 2p + 1 ] + 4 + p
1
Soit, après simplification : I(p) =
[ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ]
p
On remarque que :
[ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ] = 1
2
d’où I(p) =
(p+a) (p+b) (p+c)
Soit, après identification :
a = 2, b = 2, c = 4
2
A
p (p+2)2 (p+4)
I(p) =
p
qui se décompose en éléments simples :
Avec : A = 1/8, B = 0 , C = -1/2 , D = -1/8
D’où, l’original, terme à terme :
1
I(p) =
+
-
8p
B
+
C
(p+2)
(p+2)2
1
1
+
D
(p+4)
-
2(p+2)2 8(p+4)
i(t)
pour t > 0
i(t) =
1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t)
8
2
8
i(t) =
1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t)
8
2
pour t > 0
8
Exploitons Matlab pour tracer cette équation
Script :
t = (0 : 1e-3 : 5) ;
i = 0.125 – 0.5*t.*exp(-2*t)- 0.125*exp(-4*t);
figure(1) ;
plot(t,i) ;
title('courant')
xlabel('temps')
Au voisinage de 0…
exp(-2t) ≈ 1 - 2t + 2t2 +…
d’où t exp(-2t) ≈ t - 2t2 + 2t3 +…
exp(-4t) ≈ 1 - 4t + 8t2 - (64/6) t3 +...
i(t) ≈ t3/3
Rem : pour t → , i(t) → 0,125 A
Exploitons
Pspice pour
vérifier le
comportement
de ce circuit
evolution du courant dans circuit R1L1CL2R2
* fichier ordre2.cir
Ve 1 0 DC=1
i(t)
R1 1 2 4
L1 2 3 1 IC=0
C 3 0 0.5 IC=1
L2 3 4 1 IC=0
R2 4 0 4
.tran 1m 5 0 1m UIC
.probe
.end
150mA
Valeur finale : 0,125 A
En DC, la source 1 V est
connectée à 4 + 4 = 8 ,
d’où i = 1/8 = 0,125 A
100mA
50mA
Valeur du courant à t = 0 : 0 A
On retrouve la condition initiale
0A
0s
0.5s
1.0s
1.5s
2.0s
2.5s
I(L1)
Time
3.0s
3.5s
4.0s
4.5s
5.0s
Théorème de la valeur initiale
lim i(t) = lim p I(p)
t→0
p→
Soit lim p
p→
(
1
1
1
-
8p
)
-
=0
2(p+2)2 8(p+4)
Théorème de la valeur finale
Si elle existe,
lim i(t) = lim p I(p)
t→
p→0
Soit lim p
p→0
(
1
8p
-
1
1
-
)
= 1/8 = 0,125
2(p+2)2 8(p+4)
On a donc i(0) et i() avant d’avoir l’expression de i(t)
Pour info : exploitons Pspice pour visualiser les autres grandeurs
(2)
(1)
(3)
(4)
uC(0) = 1 V
1.2V
V(2)
1 V
V(1) : échelon de 1 V
0.8V
V(3)
0.4V
0,5 V
V(4)
V(2) = V(3) = V(4) = 0,5 V
SEL>>
0V
0 V
V(1)
V(2)
V(3)
V(4)
200mA
125 mA
iL2(t)
iL1(t)
0 A
0A
Condensateur chargé
iC(t)
iC < 0 signifie courant sortant (décharge)
-200mA
0s
I(L1)
0.5s
I(L2)
1.0s
1.5s
2.0s
2.5s
I(C)
Time
3.0s
3.5s
4.0s
4.5s
5.0s
« CIRCUIT »
Transformées de Laplace
Analyse harmonique
Quadripôles
ANALYSE
HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance
Application à l’électronique
ANALYSE
HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance
Application à l’électronique
notion de transmittance
S(p) = R I(p)
E(p) = (R + L p) I(p)
L
e(t)
R
s(t)
La « transmittance en p » est la fonction de transfert :
grandeur de sortie en p
grandeur d’entrée en p
Utilisée dans le formalisme des schémas blocs.
Rem : Transmittance ou fonction de transfert.
de la transmittance en « p » à la réponse harmonique
Rappel : Pour les systèmes linéaires, l'analyse fréquentielle
permet de connaître la réponse du système à une excitation
sinusoïdale, à différentes fréquences.
L’étude de la réponse harmonique d'un système consiste
simplement à étudier le nombre complexe T(jω) qu'on appelle
transmittance harmonique (ou transmittance complexe).
Le nombre complexe T(jω) s'obtient simplement en
remplaçant p par jω dans l'expression de la fonction de
transfert T(p).
Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe
(module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation)
Bode
Nyquist
Black
Bode
Les lieux de Bode sont constitués :
- d'une courbe de gain (en dB)
rappel : Gain = 20 log I A I
- et d'une courbe de phase φ (en °, ou en rad).
On utilise une échelle semi logarithmique :
Pulsation (ou fréquence) sur une échelle log
G sur une échelle linéaire en dB
(c’est-à-dire A sur une échelle log…).
Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe
(module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation) :
Bode
Nyquist
Black
Nyquist
C'est la représentation du
nombre complexe T(jω) dans le
plan complexe, en coordonnées
polaires, en faisant varier le
paramètre ω de 0 à l'infini.
Le lieu de Nyquist
est gradué en valeurs de ω (ou f).
Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe
(module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation) :
Bode
Nyquist
Black
Black
ω varie de 0 à +∞
en abscisse, la phase (en degré, sur une échelle linéaire)
et en ordonnée, le gain G (=20 log |A|)
Le lieu de Black
est gradué en valeurs de ω (ou f).
Réponses harmoniques du dérivateur
Fonction jω
Nyquist
Bode
Module : ω
Phase : artg  = π/2
20 log module
20 log ω
http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/
Réponses harmoniques de l’intégrateur
Fonction 1/jω
Nyquist
Bode
Module : 1/ω
Phase : artg - = -π/2
20 log module
20 log 1/ω = - 20 log ω
http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/
Intérêt des Tracés de Bode :
Cas d’une fonction produit
20 log N1(jω) N2(jω)
Les tracés de 20 log {module} et de la
phase se font par étapes élémentaires
T(jω) = N1(jω) N2(jω)
= 20 log N1(jω) + 20 log N2(jω)
Cas d’une fonction rapport T(jω) = N(jω) / D(jω)
20 log
N(jω)
D(jω)
= 20 log
N(jω)
Cas général
T(jω) =
Par log (A B) = log A + log B, on a :
= 2 tracés permettent d’avoir le produit
Par log (A / B) = log A - log B, on a :
= 2 tracés permettent d’avoir le rapport
- 20 log D(jω)
(1 + j ω ) (1 + j ω )
ω1
ω2
Par log (A B / C D)
= log A + log B – log C – log D
(1 + j ω ) (1 + j ω )
ω3
ω
etc
4
Par arg (A / B) = arg A - arg B, on a :
De même, pour la phase :
N(jω)
φ { D(jω) } ou
N(jω)
arg{ D(jω) }
=
arg { N(jω) }
-
arg { D(jω) }
etc
= 2 tracés
Exemple de base : transmittance vue précédemment
L
e(t)
R
s(t)
Transmittance que l’on pose à T(p)
D’où T(jω)
Remarque
:
c’est
également
transmittance d’un circuit RC
1/Cp
1
=
=
R + 1/Cp 1 + RCp
la
remplaçons
p par jω :
rapport des tensions
log N(jω) =
D(jω)
log N(jω) - log D(jω)
20 log N(jω) = 20 log N(jω) - 20 log D(jω)
Dj(ω)
tracé de 20 log N(jω)
permettent d’avoir
le tracé de
tracé de 20 log D(jω)
φ { N(jω) }
D(jω)
ou
arg{ N(jω) }
D(jω)
tracé de arg{ N(jω) }
tracé de arg{ D(jω) }
=
Rappel :
Le tracé de Bode
se fait par étapes
20 log N(jω)
Dj(ω)
arg { N(jω) } - arg { D(jω) }
permettent d’avoir
le tracé de
φ{ N(jω) }
D(jω)
20 log
= 20 log 1 - 20 log D(jω)
= - 20 log D(jω) = - 20 log
D(jω) = √2
D(jω) ≈ 1
20 log
φ{
≈ 0 dB
20 log
D(jω) ≈ ω  infini
20 log
}
ω  infini
ω = 1/
arg D(jω) ≈ artg 0 = 0
≈ - infini
= - 3 dB
} = arg { 1 } - arg{D(jω) } = - arg{
ω0
arg T(jω) ≈
- artg 0 ≈ 0
ω  infini
ω = 1/
ω 0
arg D(jω) ≈ artg {ω  } ≈/2
arg T(jω) ≈
- artg 1 = - /4 = - 45°
arg T(jω) ≈
- artg infini ≈ - /2
20 log
= - 20 log
ω  infini
ω = 1/
ω 0
≈ 0 dB
- infini
= - 3 dB
φ{
}
ω0
- arg{
ω  infini
ω = 1/
0
}
= - 45°
- /2
Bode
f → infini : Asymptote : -20 dB/décade
f → 0 : Asymptote horizontale
3 dB
0
-20
-40
f, ω → 0
II→1
G→0
→0
Intégrateur en
hautes fréquences
f, ω → 
II→0
G → -
 → -/2
SEL>>
-60
dB(V(2))
0d
-45°
-45d
-90d
1.0Hz
P(V(2))
10Hz
100Hz
1.0KHz
Frequency
10KHz
100KHz
Nyquist
Comportement quand f  0 f  infini
1
0V
f, ω → 
 → -/2
I I → 0 Intégrateur
f, ω → 0
→ 0
II→1
en hautes
fréquences
10 Hz (exemple)
20 Hz (exemple)
Incomplet…
50 Hz (exemple)
-0.5V
-1.0V
0V
0.5V
1.0V
Img(V(2))
R(V(2))
Repère orthonormé : lieu en demi cercle
Pourquoi est-ce un cercle ?
(1)
x=
Dans le plan complexe, l’affixe de T(jω) est :
Combinons (1) et (2)
y=-ωx
y2 = x2 (ω  )2
Soit
(1) :
x + x(ω  )2 = 1
Soit, (12):
y=(2)
(12)
x(ω  )2 = 1- x
y2 = x2 (1/x -1 )
= x - x2
(ω  )2 = 1/x - 1
= - [x2 - x + ¼ - ¼]
= - [(x-1/2)2 - ¼]
D’où :
y2 + (x-1/2)2 = 1/4
1
1/2
0
0V
Équation d’un cercle
(y-y0)2 + (x-x0)2 = R2
-0.5V
Rayon 1/2
Centre y = 0 et x = 1/2
1
-1.0V
0V
0.5V
Img(V(2))
R(V(2))
1.0V
Intérêt des Tracés de Bode :
Les tracés de 20 log {module} et de la
phase se font par étapes élémentaires
Autre exemple
vs(jf)
ve(jf)
=
jf/fN
fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz
(1+ jf/f1) (1+jf/f2)
100
1k
10k
100k
1M
f
0 dB
Tracés
asymptotiques
-20 dB/dec
-20 dB/dec
20 log
+20 dB/dec
+ /2
0
- /2
vs(jf)
ve(jf)
COMMENT FAIRE SI ON N’A PAS DE PAPIER LOGARITHMIQUE ?
À propos de l’échelle log…
3
Arrondir à 0,3 représente une
Or
0,3
=
log 2  0,3
erreur de … 0,34 % environ
10
En toute rigueur log 2 = 0,30102999…
ce qui est acceptable pour un tracé….
Prenons un axe, et marquons 10 intervalles régulièrement espacés
+ 1 octave
+ 1 octave
+ 1 octave
Plaçons 1
Plaçons 10
1
2
1,25
4
2,5
- 1 octave
8
10
5
- 1 octave
- 1 octave
+ 1 décade
Multiplier par 10  ajouter une décade
Multiplier par 2  ajouter une octave
2 sur une échelle log est au 3/10
Diviser par 2  retirer une octave
On ajoute 2 intervalles
+ 1 octave
Continuons à graduer une échelle log :
1
2
1,25
1,6
4
2,5
3,2
8
5
10
16
6,4
- 1 décade
Ces valeurs sont donc placées sur une échelle log
+ 1 octave 12,8
?? Remarque : Pourquoi n’y a-t-il pas un rapport 10 ? ??
On a fait :
2; 4; 8; 16 : 4 fois l’erreur,
Retour à 1,6 : pas d’erreur
puis 3,2; 6,4; 12,8 : 3 fois l’erreur.
Soit au total un cumul de 7 erreurs
dans le même sens
À chaque octave, on a
fait une erreur de 0,34 %
(1,0034)7 = 1,024
1,25 x 10 x 1,024 = 12,8
Échelle log
Autre « truc » à savoir :
a
b
ab
Milieu du segment [a b] sur une échelle log
Milieu géométrique
1
10
≈3,16
etc
10
20
40
100
80
200
400
1k
800
10k
2k
4k
8k
log
100
10
20
40
80
Expérimentalement, pour tracer une courbe, quelques points
judicieusement placés apportent toute l’information utile.
Judicieusement placés :
par exemple :
ou :
ou :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 10
1 ; 2,5 ; 5 ; 10
un mix des 2 (1 ; 2 ; 5 ; 10 )
etc
Dernier « truc » à savoir,
sur l’artg :
- 1 décade
+ 1 décade
Bode Diagram
0
Asymptote oblique
-30
Phase (deg)
Pente 45 ° par décade
-60
-90
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
ω0
ω0
10 ω0
2
10
log
10
L’asymptote oblique est proche de la fonction artg :
L’écart entre ces 2 courbes est inférieur à 6°
Cela forme donc un tracé rapide
et représentatif, de la phase
d’un système du premier ordre
Rappel : ces tracés (Bode, Nyquist, Black) présentés ont pour fonction de transfert :
Obtenues, par exemple, avec les montages suivants :
i=0
T1(j)
i=0
T2(j)
Sont avec des montages sans courant débité
Conséquence :
T(j) = s(j)/e(j) ≠ T1(j) T2(j)
Lien entre réponse harmonique et comportement temporel (réponse à l’échelon)
Cas du passe bas
Réponse indicielle rapide = bande passante élevée
1/ élevé
 faible
1/2
BP-3dB
0
-20
-40
SEL>>
-60
dB(V(2))
0d

-45d
-90d
1.0Hz
P(V(2))
10Hz
100Hz
1.0KHz
Frequency
t→
f→0
Comportement statique
10KHz
100KHz
ANALYSE
HARMONIQUE
Système du deuxième ordre
Expressions générales :
p→jω
Laplace
p2
ω0
2
+ 2z
p
ω0
1+2zj
+1
Passe haut
ω02
+ 2z
ω
ω0
-
ω2
ω02
1
1
p2
Etude harmonique
p
ω0
+1
ω0 : Pulsation propre
1+2zj
Passe bas
ω
ω0
-
z : Coefficient d’amortissement
ω2
ω02
1+2zj
ω
ω0
Module
1-
2
ω2
ω02
+ 2z
-
ω2
ω02
Phase
2z
2
ω
 = artg{
ω0
Variable réduite
1-
ω
ω0
ω2
}
ω02
ω
ω0
Ces fonctions sont paramétrées en z
3 cas : z > 1 ; z = 1 ; z < 1
p2
Si z > 1, le trinôme :
ω0
2
+ 2z
1+2zj
ω
ω0
Tel que :
ω0 =
1 1
ω02 =  
1
2
1
1
= ω1 =
1
= ω2 =
2
p
+1
ω0
-
ω2
ω02
peut s’écrire : (1 + 1p) (1 + 2p)
peut s’écrire : (1 + jω/ω1) (1 + jω/ω2)
1
f 02 = f 1 f 2
1 2
0
1
z  z2 1
21
0
1
z  z2 1
22
f1
f1 f2
f0
f2
ω1
ω0
ω2
z>1
f0 = f f
1 2
= f1 =
= f2 =
f0
z  z2 1
f0
z  z2 1
f
ω Échelle log
z>1
z=1
z<1
ω0= 1
z = 50
p
2
02
ω1 ω2

1
2z p
0
1
p→jω
Bode Diagram
0
0
-20
-50
-100
-150
ω = →
-200
0
-40
-60
-80
-100
-120
0
-45
Phase (deg)
-45
Phase (deg)
z=5
>> T=tf([1],[1,10,1]);
>> bode (T)
Bode Diagram
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
0 dB
ω0= 1
Passe bas
>> T=tf([1],[1,100,1]);
>> bode (T)
ω = →0
Nyquist
Bode
-90
-135
-90
-135
-180
-4
-2
10
0
2
10
10
10
0
Frequency (rad/sec)
0
z  z2 1
1
50  50  1
2
≈ 0,01
z > 1 : équivalent à :
z  z2 1
1
50  50  1
1
(1 + jω/ω1)
2
4
10
-
-180
-3
-2
10
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
3
10
Frequency (rad/sec)
≈ 100
1
(1 + jω/ω2)
1
5  5 1
2
≈ 0,1
1
5  5 1
2
≈ 10
Il faut monter haut en fréquence pour vérifier ordre 2
z>1
z=1
z<1
Nyquist
Bode
ω0= 1
ω0= 1
z = 50
Nyquist Diagram
1
1
0.8
0.8
ω< 0
0.6
0.6
0.4
ω = →-
0.2
0
ω = →0
ω = →+
-0.2
-0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
 → -/2 ???
-0.6
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0.4
-0.6
ω> 0
-0.8
-1
-1
z=5
Nyquist Diagram
-0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Real Axis
Même lieu…
-3
2
0.2
0.4
0.6
0.8
Mais coordonnées des fréquences différentes
Nyquist Diagram
0.2
Nyquist Diagram
x 10
0
Real Axis
0.15
Il faut monter haut en
fréquence pour vérifier
ordre 2
zoom
Imaginary Axis
1
0.5
0
-
-0.5
0.05
0
-0.05
-0.1
ω = →
-1
0.1
Imaginary Axis
1.5
-0.15
-1.5
-2
-4
-0.2
-0.1
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
>> T=tf([1],[1,100,1]);
>> nyquist (T)
2
3
4
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Real Axis
-4
x 10
>> T=tf([1],[1,10,1]);
>> nyquist (T)
0.1
1
z>1
z=1
z<1
Bode
Nyquist
Bode Diagram
0
- 6 dB
Magnitude (dB)
Cas particulier
Pôle double
1
ω0
ω0= 1
-
ω2
ω02
z=1
-40
-60
-80
0
-45
Phase (deg)
1+2zj
ω
-20
-90
-135
-180
>> T=tf([1],[1,2,1]);
>> bode (T)
z = 1 : équivalent à
-2
-1
10
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
(1 + jω/ω0)
2
1
10
2
10
z>1
z=1
z<1
Nyquist Diagram
1
1+2zj
ω
1
-
ω2
ω0
0.8
0.6
2
0.4
Imaginary Axis
ω0
Nyquist
Bode
0.2
0
ω = →0
ω = →
-0.2
-0.4
ω> 0
-0.6
-0.8
>> T=tf([1],[1,2,1]);
>> nyquist (T)
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Real Axis
Ce passe-bas est clairement un ordre 2 : 2 quadrants traversés
1
z<1
p2
ω0
2
+ 2z
1+2zj
ω
ω0
Le module
1-
p
+1
ω0
-
ω2
ω02
ω2
ω02
2
+ 2z
2
ω
ω0
A une dérivée qui s’annule pour une pulsation particulière :
ωR = ω0
Le module passe par un maximum à ωR appelée pulsation de résonance
la résonance n’existe que si z <
1
Si z << 1, ωR ≈ ω0
2
1 - 2 z2
z>1
z=1
z<1
Nyquist
Bode
Bode Diagram
20
1
10
ω0= 1
Magnitude (dB)
ω2
ω
1+2zj
ω0
ω02
z = 0,1
0
-10
-20
-30
-40
0
>> T=tf([1],[1,0.2,1]);
>> bode (T)
Phase (deg)
-45
à ω0 ,  = - 90°
-90
-135
1
II=
II=
-180
-1
2z
1
1 - z2
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2z
ωR = ω0
1 - 2 z2 =
1 – 0,02 = 0,98 ≈ 1 = ω0
z>1
z=1
z<1
Bode
Nyquist
Nyquist Diagram
5
1
ω
ω0
-
ω0
ω0= 1
3
2
2
z = 0,1
Imaginary Axis
1+2zj
4
ω2
>> T=tf([1],[1,0.2,1]);
>> nyquist (T)
Bode Diagram
20
1
0
ω = →0
ω = →
-1
Magnitude (dB)
10
0
-2
ω> 0
-10
-20
-3
-30
-40
0
-4
-45°
Phase (deg)
-45
-5
-5
-90
-135°
-135
-180
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
Résonance :
Augmentation du module
Grande variation angulaire
sur une faible variation de fréquence
5
Lien entre réponse harmonique et comportement temporel (réponse à l’échelon)
Cas du passe bas
Équivalent à 2 premiers ordres
résonance
confondus
Peu marquée
Très marquée
0,707
0
Très séparés
z
1
z
0 Faiblement amortie
Réponse oscillatoire
>> T=tf([1],[1,0.2,1]);
>> step (T)
1
Il faut zoomer au voisinage de
t = 0 pour vérifier ordre 2 :
Tangente horizontale et point
d’inflexion
>> T=tf([1],[1,2,1]);
>> step (T)
Step Response
>>T=tf([1],[1,10,1]);
>> step (T)
Step Response
Step Response
1.8
1.6
1
1
0.8
0.8
1
Amplitude
Amplitude
1.2
0.8
z = 0,1
0.6
0.6
Amplitude
1.4
z=1
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
z=5
0.4
0.2
0
0
10
20
30
Time (sec)
40
50
60
0
-2
0
2
4
6
Time (sec)
8
10
12
14
0
0
10
20
30
Time (sec)
40
50
60
ANALYSE HARMONIQUE
Systèmes d’ordre supérieur à 2
Le tracé de Bode se fait par étapes successives, en partant de tracés élémentaires connus
j ω
ω1
(1 + j ω )
ω1
1
j ω
ω1
1
1
(1 + j ω )
ω1
(1 + j ω ) (1 + j ω )
ω1
ω2
(1 + j ω ) (1 + j ω )
ω1
ω2
2
1+2zj ω - ω
ω0
ω02
1
2
1+2zj ω - ω
ω0
ω02
Ex. 1
1
1
2
1+2zj ω - ω
ω0
ω02
>> TA=tf([1],[1,0.2,1]);
>> bode (TA)
Passe bas Ordre 2, avec résonance
ω0= 1
Bode Diagram
20
(1 + j ω )
ω1
ω1 = 100
z = 0,1
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
- 40 dB/déc
-30
>> T=TA*T3;
>> bode (T)
-40
0
Phase (deg)
-45
-90
Bode Diagram
-135
0
-180
-1
0
10
1
10
10
- 40 dB/déc
Magnitude (dB)
Frequency (rad/sec)
1 rad/s
>> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]);
>> bode (T3)
Passe bas, Ordre 1
- 60 dB/déc
-200
0
0
Sur la courbe de phase, les 2 cassures
(séparées par 2 décades) ne s’influencent
pratiquement pas
-10
-20
- 20 dB/déc
-30
-40
0
Phase (deg)
Magnitude (dB)
-100
-150
Bode Diagram
Phase (deg)
-50
-90
-180
Asymptote oblique
-45
-270
100 rad/s
-1
10
-90
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
3
10
0
10
1
10
2
10
4
10
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
Ex. 2
>> T=tf([1,0.2,1],[0,1]);
>> bode (T)
Bode Diagram
40
1
(1 + j ω )
ω1
Passe haut Ordre 2, avec résonance
ω0= 1
30
Magnitude (dB)
2
1+2zj ω - ω
ω0
ω02
ω1 = 100
z = 0,1
20
+ 40 dB/déc
10
0
>> Tt =T*T3;
>> bode (Tt)
-10
-20
180
Phase (deg)
135
90
Bode Diagram
45
150
0
-1
0
10
+ 20 dB/déc
1
10
10
1 rad/s
>> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]);
>> bode (T3)
Passe bas, Ordre 1
Magnitude (dB)
Frequency (rad/sec)
+ 40 dB/déc
50
0
-50
180
Bode Diagram
0
-10
135
-20
- 20 dB/déc
-30
-40
0
Phase (deg)
Magnitude (dB)
100
90
Phase (deg)
45
-45
0
100 rad/s
-1
10
-90
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
0
10
1
Dans ce cas (z=0,1), les 2 cassures
(séparées par 2 décades) ne s’influencent
pratiquement
pas 2
1
3
4
10
10
Frequency (rad/sec)
100
10
10
2
1+2zj ω - ω
ω0
ω02
Ex. 3
>> T2=tf([1,10,1],[0,1]);
>> bode (T2)
≈ 0,1
≈ 10
ω0= 1
Bode Diagram
+ 40 dB/déc
120
Magnitude (dB)
100
80
(1 + j ω )
ω1
ω1 = 100
>> T =T2*T1;
>> bode (T)
60
40
20
0
180
Bode Diagram
120 dB
120
135
Phase (deg)
z=5
1
90
100
0
-3
10
-2
-1
10
0
10
1
10
2
10
10
3
10
Frequency (rad/sec)
0,1
10
Magnitude (dB)
45
80
80 dB
60
40
40 dB
20
>> T1=tf([0, 1],[1/100, 1]);
>> bode (T1)
Passe bas, Ordre 1
0 dB
0
180
3 cassures :
Bode Diagram
135
-10
-20
- 20 dB/déc
-30
Phase (deg)
Magnitude (dB)
0
90
100
45
0,1
Phase (deg)
-40
0
et
10
0
-3
10
-45
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
-90
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
La courbe réelle de phase « n’a pas le temps » d’atteindre les asymptotes
ANALYSE HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance
Application à l’électronique
ANALYSE HARMONIQUE
Principe , notion de transmittance
Application à l’électronique
Vs
Application n°1 :
montages passifs, (étudiés en TD n° 5)
R1
R2
e(t)
C1
s(t)
L
C1
R1
C2
E
R2
S
R1
R2
e(t)
s(t)
C2
montages passifs, (étudiés en TD n° 6)
L
Ve
R
C
R
Vs
Ve
L
C
Vs
Application n°2 :
Ordre 2, passif
Réponse harmonique de :
ve(jω)
vs(jω)
vs(jω)
H(jω) =
ve(jω)
vs(jω)
ZTH =
vs(jω)
Par pont diviseur de tension :
ve(jω)
vs(jω) =
ETH
j R1 Lω
R1 + j Lω
ETH = ve(jω)
R1
R1 + j Lω
R2
R2 + (1/jCω) + ZTH
R1
R2
Soit : vs(jω) = ve(jω)
R1 + j Lω R2 + (1/jCω) + ZTH
vs(jω)
Ordre 2, passif
ve(jω)
jω/ωn
=
1+2zj
ω
ω0
-
ω2
ω02
Soit :
vs(jω)
ve(jω)
vs(jω)
ve(jω)
jω R2 C
=
1 + jω [R2 C + (L/R1)] – LCω2 (1+R2/R1)
jω/ωn
=
1+2zj
ω
ω0
Par identification :
-
ω2
ω02
ωn =
1
R2 C
1
LC (1+R2/R1)
ω0 =
A.N. : R1 = 1,8 kΩ ; R2 = 1 kΩ ; L = 1 mH ; C = 160 nF.
ωn = 6250 rad/s
2z
ω0
fn  1 kHz
= R2 C + (L/R1)
ω0 = 63,38 krad/s
f0  10 kHz
D’où z = 5,1
Rem : z > 1 (2 racines réelles) signifie que le polynôme d’ordre 2 s’écrit :
(1+ j/1) (1+j/2) ou (1+ jf/f1) (1+jf/f2)
A.N. : f1  1 kHz ; f2  100 kHz
avec : f =
1
f
f
0
0
f2 =
z  z2 1
z  z2 1
fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz
vs(jω)
ve(jω)
=
jf/fN
(1+ jf/f1) (1+jf/f2)
Étude déjà vue…
vs(jω)
ve(jω)
=
jf/fN
fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz
(1+ jf/f1) (1+jf/f2)
100
1k
10k
100k
1M
0 dB
Tracés
asymptotiques
-20 dB/dec
-20 dB/dec
20 log
+20 dB/dec
+ /2
0
- /2
vs(jω)
ve(jω)
vs(jω)
ve(jω)
=
jf/fN
(1+ jf/f1) (1+jf/f2)
fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz
vs(jω)
jf/fN
=
ve(jω)
fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz
(1+ jf/f1) (1+jf/f2)
>> T1=tf([1/(2*pi*1e3), 0],[0, 1]);
>> bode (T1,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})
>> T2=tf([0, 1],[1/(2*pi*1e3), 1]);
>> bode (T2,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})
>> T3=tf([0, 1],[1/(2*pi*100e3), 1]);
>> bode (T3,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})
Bode Diagram
Bode Diagram
Bode Diagram
20
20
0
0
20
0
-20
91
Magnitude (dB)
40
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
60
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
0
90
89.5
89
4
10
5
10
-45
-90
6
-45
-90
3
10
4
10
10
Frequency (rad/sec)
5
6
10
3
10
4
10
10
Frequency (rad/sec)
5
10
6
10
Frequency (rad/sec)
Bode Diagram
5
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
-25
90
>> T=T1*T2*T3;
>> bode (T,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})
45
Phase (deg)
3
10
Phase (deg)
Phase (deg)
Phase (deg)
90.5
0
-45
-90
100 Hz
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
6
10
100 MHz
Interprétation
v (jω)
Comportement e
en BF
vs(jω)
Comportement
en HF
f = 10 kHz
Lω << R1, R2, 1/Cω
Bode Diagram
5
0
Magnitude (dB)
1/Cω << R1, R2, Lω
I I ≈1
G ≈ 0 dB
=0
-5
f = 1 kHz
-10
I I = 0,707
G = - 3 dB
 = /4
-15
f = 100 kHz
I I = 0,707
G = - 3 dB
 = - /4
-20
R2
=
R2Cp
1/Cp + R2 1 + R2Cp
REQ = R1 // R2
100 Hz -25
100 MHz
90
Phase (deg)
45
1
≈ 1kHz
2  R2 C
REQ
1
=
REQ + Lp 1 + (L/REQ)p
0
-45
-90
3
10
4
10
5
10
6
10
1
≈ 100 kHz
2  REQ/L
Frequency (rad/sec)
1
R2 C
≈ 6,28 krad/s
1
REQ/L
≈ 628 krad/s
Nyquist
Nyquist Diagram
1
>> nyquist (T);
0.8
Comportement
en BF
0.6
f, ω → 0
II→0
 → /2
Bode Diagram
5
-5
0.4
En milieu
de bande
0.2
-10
-15
Imaginary Ax is
Magnitude (dB)
0
I I = 0,707
 = /4
f = 1 kHz
f, ω → 0
-20
-25
90
f, ω → 
f = 10 kHz
0
II≈1
=0
Phase (deg)
45
-0.2
0
-45
-90
3
10
4
10
5
10
6
10
f, ω → 
-0.4
Frequency (rad/sec)
II→0
 → -/2
Comportement
en HF
f = 100 kHz
I I = 0,707
 = -/4
-0.6
-0.8
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Real Axis
Rem : « presque » 2 demi-cercles…
Application n°3 :
Ordre 2, passif
montage proposé en examen de TP « circuit » 2007
R2
R3
R1
ve
C1
C2
Il s’agissait d’établir la réponse harmonique
théorique et expérimentale
vs
Première étape : étude préalable
du circuit R1C1R2C2
Appliquons le théorème de Thévenin
De ce schéma réduit,
on déduit, par pont diviseur, Vs
après remplacement
des expressions de ETH et ZTH,
Deuxième étape : schéma de départ,
et Thévenin aux bornes de C1
R2
ve
R3
R1
C1
On aboutit à :
C2 vs
Au final,
En remplaçant p par jω, on dispose de T(jω),
puis tracé de la réponse harmonique
D’après les valeurs numériques
des composants :
d’un filtre passe-bas, d’ordre 2 :
- pour f tendant vers 0, une atténuation (conséquence
du pont diviseur 0,45, visible sur le schéma quand on
retire les condensateurs)
- une fréquence propre 1,9 kHz,
- au-delà, une asymptote de – 40 dB / décade
Corrigé complet sous une rubrique du site
http://membres.lycos.fr/cepls/
http://membres.lycos.fr/cepls/circuit/circuit.pdf
Nyquist
T=tf([0, 0.45] , [1/(11917)^2, 2*1.9/11917, 1])
Transfer function:
0.45
-------------------------------7.042e-009 s^2 + 0.0003189 s + 1
>> nyquist (T)
Nyquist Diagram
0.25
>> bode (T)
0.2
0.15
0.1
Bode Diagram
Imaginary Axis
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
0
0
ω→0
ω→∞
-0.05
-0.1
-45
Phase (deg)
0.05
-0.15
-90
ω> 0
-135
-0.2
-180
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
5
10
6
10
-0.25
-0.2
-0.1
0
0.1
Real Axis
0.2
0.3
0.4
0.5
Application n°4
VS1
VS2
VS1(p) = Ve(p)
VS2(p) = Ve(p)
VS(p) = VS1(p) – VS2(p)
VS(p) = Ve(p)
Calculer
Ve(p)
1
1+RCp
RCp
1+RCp
Vs(p)
=
1-RCp
Ve(p)
1+RCp
vs(j)
1–jRC
1-RCp
1+RCp
Réponse harmonique
ve(j)
=
Vs(p)
1+jRC
1–jRC
Nouveau !
Une fonction complexe comme 1 – j ω/ωn
présente :
Même module que 1 + j ω/ωn
Phase opposée :
20 log 1 + j ω/ωn
artg (–ω/ωn) = - artg (ω/ωn)
Même module,
même gain
0
90°
0
20 log 1 - j ω/ωn
Phase
inversée
-90°
Ce n’est pas un circuit à phase minimale
20 log 1 - j ω/ωn
0 dB
numérateur
0
vs(j)
ve(j)
=
1–jRC
-90°
1
20 log 1 + j ω/ωn
1+jRC
1
dénominateur
0 dB
0
-90°
0 dB
0
Ce circuit est un déphaseur
-180°
Application n°5:
Ordre 1, actif
montage à base d’une source liée
Calculer vs(j) / ve(j)
Tracer sa réponse harmonique
Bode, Nyquist,
Rem : on peut utiliser le formalisme p, puis remplacer p par jω
ou travailler directement en jω
Remarque : par simplicité d’écriture, on omet (jω) pour les
grandeurs variables : ve(jω) s’écrira ve …
Posons ic,
le courant
circulant
dans le
condensateur
(1)
(12)
(2)
soit :
(3)
(21) :
soit :
Remarque : par simplicité d’écriture, on omet (jω) pour les grandeurs variables : ve(jω) s’écrira ve …
Expressions (12) de v’e et (21) ic que l’on reporte dans (3)
(12)
(21)
(3)
D’où :
On
aboutit
à:
Application numérique.
=
Av = - 2
2
= 2 krad/s
1k.1u
1
=
1 u (100 + 1000 + 200)
soit fn = 318 Hz
= 769rad/s
soit fd = 122,5 Hz
= 2 krad/s
Rappel :
1 – j ω/ωn
présente :
Même module que 1 + j ω/ωn
= - artg (ω/ωn)
T1=tf([-1/2000, 1],[1]);
Bode Diagram
Magnitude (dB)
40
30
1 - j ω/ωn
20
10
0
360
Phase (deg)
Phase :
315
270
2
10
3
4
10
10
Frequency (rad/sec)
5
10
Av = - 2
fn = 318 Hz
fd = 122,5 Hz
Tracé de Bode
f→0
≈ Av = - 2
122,5 Hz
f→ ∞
318 Hz
≈ - Avfd/fn
≈ 0,77
8.0
6 dB
-6 dB / oct
4.0
f
0 dB
180 °
0
SEL>>
-4.0
-2,28 dB
db(V(4))
180d
90d
0d
1.0Hz
p(V(4))
1 Hz
0°
10Hz
10 Hz
100Hz
100 Hz
1.0KHz
Frequency
1 kHz
10KHz
10 kHz
100KHz
100 kHz
Av = - 2
fn = 318 Hz
fd = 122,5 Hz
2
2.0V
Lieu de Nyquist
100 Hz
1.0V
1
1 kHz
10 Hz
10 kHz
0V
1 Hz
-2
-1
100 kHz 1
≈ 0,77
Application n°6 :
Ordre 2, actif
montage à base d’ampli Op (parfait) (vu en cours « SEA1 »)
Calculer us(j) / ue(j)
Tracer sa réponse harmonique
Bode, Nyquist.
RETARD PUR
exp (–Tp)
Réponse harmonique d’un retard pur
Module = 1
p → j
exp (-jT)
Phase = R = - T
retard pur + système linéaire
retard
20 log {Module} = 0 dB
R = - T
Réponse harmonique
de l’association
retard + système :
Système
connu
20 log {Module} : connu
S : connue
20 log {Module} : inchangé
 = -  T + S
Exemple de base : retard + passe bas
1
(log)

Bode Diagram
0
Tracé de
Phase (deg)
-30
-/4
-60
S : - artg 
-90
-2
10
-1
10
0
10
Frequency
1
Tracé de
R : - T
-1
1
10
0
2
10
(rad/sec)

T
Échelles
non comparables !!!

(lin)
rad
1

T
0 repoussé à l’infini
D’où le tracé de
 = -  T + S
(log)
∞
Courbe en exponentielle
Construction graphique :
1
Cas 1 :  <<
La phase du premier ordre est à – 90° alors
que la phase du retard n’a pas encore évolué
1
T
1
1

 (log)
T
Bode Diagram
0
-/4
Phase (deg)
-30
∞
-60
-90
-2
10
-1
10
0
10
Frequency
1
10
2
10
(rad/sec)
 = -  T + S
∞
1/
 <<
1
T
0
T = 0,01
 =1
Si T << , la phase du premier
ordre est à – 90° alors que la
phase du retard n’a pas encore
évolué
Magnitude (dB)
1
-10
-20
-30
Premier ordre seul
-40
0
Phase (deg)
Exemple
numérique
Bode Diagram
-45
≈ -90°
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
à 10 rad/s, T = 0,1 rad
Bode Diagram
Bode Diagram
0
1
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
-10
-20
-30
-40
Premier ordre + retard
-50
0
0.5
0
-0.5
-1
0
Retard pur seul
Phase (deg)
Phase (deg)
-45
-90
≈ -6°
-30
-60
-135
exponentielle
-180
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
exponentielle
-90
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Construction graphique :
Cas 2 :
1
T
1
<< 
La phase du retard est très importante alors que
la phase du premier ordre n’a pas encore évolué
1

1
T
∞
(log)

La rotation de phase de
90° est négligeable
T
Bode Diagram
1
0
<<  T = 100
 =1
Magnitude (dB)
Exemple
numérique :
1
Si T >> , la phase du retard
est très importante alors que
la phase du premier ordre n’a
pas encore évolué
-10
-20
-30
Premier ordre seul
Phase (deg)
-40
0
≈ -qq°
-45
-90
-2
-1
10
10
2
10
Bode Diagram
Bode Diagram
1
0
Magnitude (dB)
-10
Magnitude (dB)
1
10
Frequency (rad/sec)
À 0,1 rad/s
-20
-30
-40
Premier ordre + retard
-50
0
0.5
0
-0.5
Retard pur seul
-1
0
-720
Phase (deg)
-720
Phase (deg)
0
10
-1440
-2160
= - 10 rad = - 570°
-1440
-2160
-2880
-2880
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Les retards purs sont très présents dans des domaines de la physique :
thermique
acoustique
Transmission par des lignes, réseaux, en longues distances
Ondes radio
Dans les asservissements, les retards purs sont néfastes.
« CIRCUIT »
Transformées de Laplace
Analyse harmonique
Quadripôles
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles
Applications
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles
Applications
On appelle
entrée l'accès 11'
sortie l'accès 22'
Tripôle
Matrice représentative de quadripôle : Matrice 2 x 2
Un quadripôle contenant au moins une source
(de courant ou de tension) est un quadripôle actif.
Un quadripôle passif ne contient aucune source.
Tout quadripôle est complètement caractérisé par les
4 éléments d’une de ses matrices représentatives.
Il existe plusieurs matrices représentatives.
Matrice d’impédance
U1 = Z11I1 + Z12I2
U2 = Z21I1 + Z22I2
On « mesure » la valeur des éléments en
imposant une source à un accès et laissant
l’autre en circuit ouvert.
I2=0
Circuit équivalent
I1=0
impédance d'entrée à circuit ouvert
impédance de sortie à circuit ouvert
impédances de transfert à circuit ouvert
Matrice d’admittance
I1 = Y11U1 + Y12U2
I2 = Y21U1 + Y22U2
La matrice Y est l’inverse de la matrice Z.
Circuit équivalent
Elle n’existe donc pas toujours (il faut que Z, si elle existe, soit inversible)
admittance d'entrée en court-circuit
admittance de sortie en court-circuit
admittances de transfert en court-circuit.
Matrices de chaîne T
Rem : le coef A représente U1/U2 à I2 nul
Matrices de transmission t
Rem : confusion possible avec matrice de chaîne
Matrices hybrides H
Rem : les éléments des matrices hybrides sont de
différentes dimensions (V/A, A/V, sans dimension).
Matrices autres…
Il existe des relations de passage pour déterminer une
matrice à partir d’une autre.
Pourquoi autant de matrices ?
1) Lors de connexion entre quadripôles, on choisit une matrice ou une
autre pour calculer plus facilement la matrice résultante.
série : [Z] = [Z’] + [Z’’]
parallèle : [Y] = [Y’] + [Y’’]
Connexion cascade
Matrice de chaîne [ T ] = [ T’ ] . [ T’’ ]
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui
est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1):
I1
U1
I2
U2
Il vient :
impédance d'entrée à circuit ouvert :
impédance de sortie à circuit ouvert :
Z
Z
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et
qui est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1):
I1
U1
I2
U2
impédances de transfert
=Z
=Z
à circuit ouvert.
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui
est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1):
I1
I2
U2
U1
d’où
Pour info :
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui
est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 2):
impédance d'entrée à circuit ouvert.
impédance de sortie à circuit ouvert.
impédances de transfert à circuit ouvert.
Il vient :
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui
est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 3):
Il vient :
Rem 1 : si on fait Zb  0, on retrouve la matrice Z du quadripôle précédent
Rem 2 : si on fait Za  0, on détermine la matrice Z(p) du quadripôle suivant :
L
Il vient :
C
utilisé en T.P. « circuit » : quadripôle passif sans pertes
2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui
est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 4):
impédance d'entrée à circuit ouvert.
impédance de sortie à circuit ouvert.
impédances de transfert à circuit ouvert.
Il vient :
Pour info, matrice hybride :
Quadripôles en cascade : la matrice de chaîne T
résultante est le produit des matrices T de chaque
quadripôles (ordre des matrices = ordre des Quadripôles,
avec cette écriture des matrices)
Il vient :
Produit des matrices
Intéressant : quadripôles en Z du transformateur
M : mutuelle inductance
Transformateur seul
Transformateur chargé
M2 = L1 L2
association de 2 quadripôles
On montre que :
soit :
adapté si Zs = Ze = Zu n2
≈
avec
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles
Applications
1) Fonction de transfert d’un réseau passif : par quadripole
Calculer U2(p)/U1(p)
On reconnaît des « quadripôles » en cascade : la matrice de chaîne T
résultante est le produit des matrices T de chaque quadripôle.
Z
1 Z 
T 

0 1 
Z
 1
T 
1 / Z
0
1 
Produit des matrices
Il vient :
1 R   1 0 1  RCp R 
T 




1 
0 1  Cp 1  Cp
le coef A représente U1/U2 à I2 nul
D’où une façon de calculer la fonction de transfert U2/U1 = 1/A
U2(p)
U1(p)
=
1
1+RCp
2) Continuons le réseau
Rappel :
1 Z 
T 

0 1 
Z
 1
T 
1 / Z
Z
0
1 
(que l’on pouvait écrire directement)
=
déjà vu !
=>
V2(p)
V1(p)
1
=
3) Continuons
le réseau
Il « suffit » d’ajouter
une matrice dans le produit :
Limitons-nous au calcul du seul coefficient utile :
D’où, après développement :
À noter quelque part !
Et ce, avec R1=R2=R3=R et C1=C2=C3=C
V2(p)
V1(p)
4) Modèle du transistor bipolaire en régime dynamique
linéaire petits signaux : quadripôle
B
C
E
Son fonctionnement peut être décrit par un quadripôle
hybride. Chaque paramètre (h11, h12, h21, h22) représente
un phénomène distinct au sein du transistor.
(Par exemple le coefficient β est h21).
Rem : il existe d’autres modèles pour représenter le
fonctionnement du transistor bipolaire en régime
dynamique linéaire petits signaux.
5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le
transfert de puissance moyenne
Cas basique : on dispose d’une source, d’une charge, mais non adaptée
P est fonction de RL
P passe par un
maximum pour
RL = Rth
5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le
transfert de puissance moyenne
Cas basique : on dispose d’une source, d’une charge, mais non adaptée
On
intercale un
quadripôle :
(1)
(2)
De (2) on déduit I2 que l’on place
dans (1), pour en sortir U1/I1 = Zin:
Un calcul similaire
donne U2/I2 (à Eg = 0) ) Zout :
Rem : relation
utilisée tout à l’heure
5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le
transfert de puissance moyenne (suite)
Le quadripôle doit être réglé pour avoir :
(condition de transfert maximal de puissance)
Et Q ayant le moins de pertes possible
ou selon un cahier des charges
donnant l’atténuation sortie/entrée.
max
max
QUADRIPOLE ADAPTATEUR D’IMPEDANCES
Sans résistance
L
C
Exemples de montage adaptateur d’impédance : cas de figure
fréquent (en HF) : quadripôle passif
Les quadripôles passifs (sans source interne), sont définis par 3 paramètres.
donne :
Pour un quadripôle passif,
nous avons Z21 = Z12
Si ce quadripôle passif est symétrique,
nous avons Z11 = Z22
(symétrique : permutation entrée/sortie sans conséquence)
Exemple concret
(purement résistif) :
600 Ohm
50 Ohm
Adapté 600 Ohm
Adapté 50 Ohm
612,21
34,991
34,991
51,01
Logiciel : RFSIM99
(disponible sur le Web)
Vue du point (1), l’impédance est : 577,13 + 34,991 // (16,019+50) =
Vue du point (2), l’impédance est : 16,019 + 34,991 // (577,13+600) =
600
50
Il existe aussi le quadripôle en PI :
Peut se calculer par :
- Association de matrices de chaînes T
- Passage étoile/triangle (Kennelly), si quadripôle en Té
connu
KENNELLY
Et réciproquement
Source Wikipedia
Même exemple concret :
600 Ohm
50 Ohm
Adapté 600 Ohm
Adapté 50 Ohm
Vue du point (1), l’impédance est : 1,873 k // 857,365 + (51,981 // 50) = 600
Vue du point (2), l’impédance est : 51,981 // (857,365 + (1,873 k // 600) = 50
Exemples de montage adaptateur d’impédance en PI :
Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet d’examen…)
Exemples de montage adaptateur d’impédance en PI :
Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet d’examen…)
On atténue puis
on amplifie…
Mais c’est mieux que
d’être désadapté
Et plus robuste
en cas de
fluctuation
d’impédance