Transcript Chapitre 4: Caractérisation des systèmes Performances d ’un système asservi Comportement d ’un « bon » système asservi : – après un changement.

Chapitre 4: Caractérisation des
systèmes
Performances d ’un système asservi
Comportement d ’un « bon » système asservi :
– après un changement de consigne ou une
perturbation, la mesure doit atteindre la consigne,
le plus rapidement possible et sans oscillations
intempestives
3 notions fondamentales à caractériser :
– la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne)
– la rapidité (le plus rapidement possible)
– la stabilité (sans oscillations intempestives)
Nécessité d ’une caractérisation
A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais
expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines
grandeurs représentatives des performances du
système asservi.
2 approches peuvent être utilisées :
– temporelle
– fréquentielle
4.1 Approche temporelle
Principe
e(t)
A
e(t)
t
y(t) ?
Système
– Si le système ne comporte pas d ’intégration,
2 types de réponse sont possibles :
0.45
1.2
0.4
1
0.35
0.25
0.2
Réponse
apériodique
0.15
0.8
Amplitude
Amplitude
0.3
0.6
Réponse oscillatoire amortie
0.4
Réponse temporelle
– La réponse peut être décomposée en deux
parties :
y(t)
t
Régime
Régime
transitoire
permanent
Le gain statique - détermination
temporelle
– Le gain K caractérise le régime permanent :
Dy
K
De
e(t)
y(t)
De
Dy
t
t
Caractérisation du régime transitoire
– Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 :
Ici D1 = 8 %
105 %
100 %
95 %
y(t)
t
tD1
tr
4. 2 Approche fréquentielle
Approche fréquentielle
On s ’intéresse :
– au rapport d ’amplitude (le gain) : r
– au déphasage : j
entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la
pulsation : w
Le gain et le déphasage sont respectivement le
module et l ’argument du nombre complexe
H(jw) correspondant à la FT H(p) :
H ( jw )  r (w )e jj (w )  X (w )  jY (w )
Diagrammes
Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2
types de diagramme :
– diagramme de Bode :
H ( jw )  r (w )e
 jj (w )
Diagramme de Bode
2 courbes :
– G, le module de H, exprimé en dB en fonction de w
– j, le déphasage, exprimé en degré en fonction de w
Gain dB
0
-20
-40 -1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
La bande passante
Bande passante, B, domaine fréquentiel à
l ’intérieur duquel le module de H reste
compris entre 2 bornes :
K
K  H (w ) 
2
ou K dB  G(w )  K dB  3dB
La pulsation correspondant à l ’atténuation de 3 dB est appelée pulsation de coupure, wc
plus la bande passante est élevée, plus le
système est rapide
4.3 Systèmes du premier ordre
Remarque préalable
Mathématiquement, un système du 1er ordre est
régit par une équation différentielle du 1er ordre :
dy
b1  b0 y( t )  a0 e( t )
dt
3.2.1 Systèmes du premier ordre
de type K/(1+Tp)
Fonction de transfert
Système régit par une équation différentielle du
1er ordre sur la sortie :
dy
a0 e(t )  b1  b0 y (t )
dt
Exemple : filtre RC
K
H ( p) 
1  Tp
– K : gain statique
– T : constante de temps
Réponse à un échelon e( t )  A ,t  0
Echelon d ’amplitude A : y(t )  AK (1  e
t T
)
Régime permanent Transitoire
tr  3T
2
pas de résonance
1.8
1.6
2
Exemple: H ( p) 
1 3 p
Amplitude
1.4
1.2
1
0.8
tr
Diagramme de Bode
H ( p) 
2 asymptotes qui se
coupent pour w = 1/T = wc
2
 wc  1 T  0,33
1 3 p
20
Le déphasage évolue
entre 0 et - 90°
f(wc) = - 45°
Gain dB
-20 dB / décade
0
-20
-40
-2
10
-1
10
Frequency
4.2.2 Autres systèmes du premier
ordre
Système de type K(1+Tp)
Les systèmes de ce type ne représentent pas des
systèmes physiques ; ils correspondent à des
filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils
ne sont pas utilisés seuls.
Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
changer les signes du gain et du déphasage des
résultats obtenus pour K/(1+Tp)
Système intégrateur
dy
Equation différentielle : a0 e(t )  b1
dt
K
H ( p) 
p
Exemple :
Vitesse axe moteur
e(t)
1/p
A
Position axe moteur
y(t)
t
Système « instable »
Système de type 1 (une intégrale)
At
t
Système intégrateur
Diagramme de Bode :
K 2
H ( p)  
p p
– pente -20 dB/décade
Gain statique K
– déphasage = -90°
40
KdB  20log10 (2)  6.02 dB
Gain dB
Gain statique en dB
20
0
-20
-1
10
0
10
Frequency (r
Système intégrateur
Diagramme de Nyquist
2
x 10
7
1.5
1
ag Axis
Demi-droite sur l ’axe
imaginaire négatif
0.5
0
w 
w 0
Système dérivateur
de
Equation différentielle : a1  b0 y (t )
dt
H ( p)  K p
Exemple : Génératrice tachymétrique
Position arbre
Kp
Tension génératrice
– Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
changer les signes du gain et du déphasage des
résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist :
demi-droite sur l ’axe imaginaire positif.
3.3 Systèmes du deuxième ordre
Forme générale
Système régit par une équation différentielle du
2ème ordre sur la sortie :
d2y
dy
a0 e(t )  b2
dt
2
 b1
dt
 b0 y(t )
Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre
•
•
•
•
•
q : angle de déviation
d 2q
dq
g (t )  J 2  f
 kq
J : moment d ’inertie
dt
dt
k : coefficient de raideur du ressort
0
10
20
f : coefficient de frottement
g : couple exercé sur le galvanomètre
Fonction de Transfert
K
H ( p) 
1 2 2Z
p 
p 1
2
wn
D
wn
4
w n2
• K : gain statique
• wn : pulsation propre non amortie
• Z : facteur d ’amortissement
( Z 2  1)
Selon Z, le dénominateur admet :
Z  1 • 2 racines réelles, c ’est un système apériodique
Z  1 • 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant
3.3.1 Réponse temporelle
Réponse indicielle
2 comportements distincts selon Z :
Systèmeapériodique : Z  1
Systèmeoscillatoire amorti: Z  1
3
2
Mode non
oscillatoire
1.6
Amplitude
1.4
Mode oscillatoire
amorti
1.2
1

y(t ) 0.8 1  ( eat  ebt )

2.5
2
Amplitude
1.8

1.5

y(t )   1 1 ect sin(wd  j )
0.6
0.4
-
-
- {
0.5
0.2
0
*
}
Système apériodique
Produit de 2 systèmes du 1er ordre :
K
H ( p) 
(1  T1 p)(1  T2 p)
Réponse à un échelon d ’amplitude A :

1
t T1
t T2 
y(t )  AK 1 
(T1e  T2e )
T1  T2


Régime permanent
Transitoire
Temps de réponse : pour Z  2, on a : tr  6.25
Z
wn
Système oscillatoire amorti
Echelon d ’amplitude A :
Pseudo-pulsation


1
Z wn t
2
y(t )  AK 1 
e
sin(w n 1  Z t  Arccos Z )
2
1 Z


Régime permanent
Transitoire
Temps de réponse : pour Z  0.7, on a : tr 
3
Zw n
Amplitude et temps du 1er dépassement :
D1 (%)  100 e

Z
1 Z 2
t D1 

wn 1  Z 2
Réponse indicielle en fonction de Z
K  1,
w n  1,
Z = 0.1
1.8
Z  0.1, 0.3, 0.5, 0.7,1, 2, 3, 4, 5
1.6
1.4
Il n ’existe pas de relation
simple pour exprimer le
temps de réponse tr. Il est
minimum pour Z = 0.7
Amplitude
1.2
Z=5
1
Z 0.8
< 0.7 0.7
1
>2
tr 3/Zwn 3/wn 5/wn 6.25Z/wn
0.6
Réponse indicielle en fonction de wn
K  1,
w n  0.3, 1, 3
wn = 3
Z  0 .3
wn = 1
1.2
1
mplitude
Plus la pulsation est grande,
plus le système est rapide
0.8
0.6
wn = 0.3
La tangente à l ’origine
1er ordre : tangente verticale
2ème ordre : tangente horizontale
H ( p)1

1
1 7 p
0.9
0.8
plitude
0.7
0.6
0.5
H ( p) 
1
(1  4 p)(1  5 p)
3.3.2 Réponse fréquentielle
Grandeurs caractéristiques
Pulsation de coupure
w c  w n 1  2Z  1  (1  2Z )
2
2 2
Pulsation de résonance
w r  w n 1  2Z
2
Facteur de résonance
M dB  20log(
1
2Z 1  Z 2
)
Diagramme de Bode
Système apériodique
H ( p) 
5
5

16 p 2  10 p  1 (1  2 p)(1  8 p)
wn
2 asymptotes qui se
coupent pour w = wn
Le déphasage évolue
entre 0 et - 180°
50
Gain dB
les asymptotes sont
toujours « sur » la courbe
- 40 dB/décade
0
f(wn) = - 90°
-50
-2
10
-1
10
Frequency
Diagramme de Bode
Système oscillatoire amorti
2 asymptotes qui se
coupent pour w = wn
5
0.25 p 2  0.3 p  1
Le déphasage évolue
entre 0 et - 180°
- 40 dB/décade
20
Gain dB
H ( p) 
wn
wr
0
f(wn) = - 90°
-20
-1
10
10
Frequency
Diagramme de Bode fonction de Z
Z = 0.1
50
K 5
wn  1
Z  0.1, 0.3, 0.7,1, 2, 5
Gain dB
Z=5
0
-50
Z=5
-100 -2
10
Z = 0.1
10
-1
10
Diagramme de Bode fonction de wn
wn = 0.3 wn = 1 wn = 3
K 5
w n  0.3, 1, 3
Z  0.3
Gain dB
20
0
-20
-40 -2
10
wn = 0.3 wn = 1 wn = 3
10
-1
Diagramme de Nyquist
Tangente horizontale pour w 
10
Limite de résonance
8
Apériodique :
5
H ( p) 
(1  2 p)(1  8 p)
4
ag Axis
Oscillatoire amorti :
5
H ( p) 
0.25 p 2  0.3 p  1
6
2
0
Diagr. de Nyquist fonct. de Z et wn
À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de wn
0
Z = 0.3
K 5
wn  1
-5
Z  0.1, 0.3, 0.7, 1, 2
ag Axis
-10
Z = 0.1
-15